TEORIA DA LOCALIZAÇÃO 1. Introdução 1.1 Logística Logística segundo Daskin

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UFPR – Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia
a
MNE769 Teoria da Localização – Prof Deise Maria Bertholdi Costa – 2016.3

TEORIA DA LOCALIZAÇÃO

1. Introdução

1.1 Logística

Logística segundo Daskin [1985] pode ser definido como o projeto e a operação
dos sistemas físico, administrativo e de comunicação, necessários para permitir que as
mercadorias superem obstáculos de tempo e espaço. O projeto toma decisões de longo
prazo que incluem, por exemplo, facilidade de localização e aquisição de frota de
veículos; e a operação considera as atividades de curto prazo, tais como carregamento e
roteirização de veículos e gerenciamento de estoque. Muitos elementos interagem sobre
as decisões Logísticas: produtores e expedidores, transportadoras, governo e
consumidores. Dependendo se é um problema de Logística do setor público ou privado,
estes elementos possuem atividades distintas correlacionadas. Porém, em relação ao
transporte, seja no setor público ou privado, as atividades são análogas; preocupando-se
com o processo de roteirização e scheduling dos veículos, nível de serviço de transporte,
tamanho e composição da frota, configuração da rede.

1.2 A importância da modelagem matemática
Modelo – é uma representação simplificada de um segmento do mundo real.

Informações
Abstrações
Simplificação e aproximações

SISTEMA REAL MODELO

ações

Na modelagem busca-se um balanço ótimo entre a complexidade e operacionalidade dos
modelos.

1.3 Necessidade de um enfoque probabilístico

Classificação dos serviços urbanos:
 rotineiros:
o coleta lixo, entrega de correspondências, jornais
 semi-emergenciais:
o reparo em rotas de água, luz, telefone
 emergenciais:
o bombeiros, ambulâncias, polícia
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2. Problemas de localização

2.1. Problemas de localização de facilidades

2.1.1 p-Medianas (Minisum)

Deseja-se localizar um número pré-especificado de unidades de serviço, de modo a
minimizar a soma das distâncias das mesmas até seus usuários.

Consideremos n vértices x onde:
j
[d ] é a matriz distância entre x e x, e
ij i j
[x ] é a matriz de alocação do vértice j ao vértice i (mediana)
ij

A formulação matemática das p-Medianas é dada por:
n n
Mind x
ij ij
i1 j1
s.a.
n
x 1 para j1..n
ij
i1
n
x p
ii
i1
x  x para i e j  1..n
ij ii

1, se o vértice j é designado a mediana i
x  
ij
0, caso contrário


A F.O. indica que queremos minimizar a soma das distâncias até o vértice mais próximo.
1ª restrição: garante que um vértice x será alocado a apenas um vértice x mediana.
j i
2ª restrição: garante que tenhamos p medianas.
3ª restrição: se o vértice x for mediana teremos pelo menos um vértice x alocado a ele.
i j
Se não for mediana não teremos alocação.

Pode-se utilizar as p-medianas para:
- localizar um depósito numa rede viária para abastecer diversos clientes.
- localizar postos de correio, escolas, terminais de transporte.
- localizar centrais telefônicas, subestações em redes de energia elétrica.

n n
Na F.O. pode-se incluir um peso h para cada vértice j: Minh d x .
j j ij ij
i1 j1
Considerando obter a melhor localização de um depósito que atende a clientes o peso pode
representar a importância dos clientes para a empresa, por exemplo, pode ser proporcional a
demanda total anual, ou a freqüência com que se visita o cliente.

No caso de p-medianas, presume-se que o cliente será atendido pela mediana mais
próxima.

No caso de p-medianas capacitado acrescentamos o conjunto de restrições:
n
q x Q x , i1,..n
j ij i ii
j1
Onde Q é a capacidade da mediana i, e q é a demanda gerada no vértice j.
i j
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Exercício 1:
Determinar as p-medianas para o conjunto de vértices dados. Considerar o deslocamento sobre o
grafo.

x x
1 4
 
 
x2 x3
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Algoritmo para obter 1-mediana (Algoritmo Exaustivo):
1. Obter os conjuntos Y ={x } candidatos a 1-mediana.
k k
2. Obter a matriz D=[d ] das distâncias mínimas entre os conjuntos Y e os nós do grafo x (ou
ij k i
vértices não localizados num grafo, necessariamente)
3. Multiplicar a j-ésima coluna de D pelo peso h, obtendo a matriz D’, onde d’ =d .h.
j ij ij j
4. Para cada linha i da matriz D’ somar seus elementos, obtendo o vetor S.
O nó que corresponde à linha de S com menor valor é a 1-mediana.

Exercício 2:
Utilizando o algoritmo anterior, determinar a mediana do grafo:

x2 
0,2
5
5
4
x   x
1 3
0,3 0,3

6
8
x 
4
0,2
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Exercício 3:
Determinar a 2-mediana do grafo do exercício 2, baseado no algoritmo para 1-mediana.

x2 
0,2
5
5
4
x   x
1 3
0,3 0,3

6
8
x 
4
0,2
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Exercício 4:
Deteminar a in-out mediana (consideramos a ida e volta num grafo direcionado)

2
x 2
4
4 
1
x 
5 x
1 5 3

4
2 7
2

4

 x
2
x
1 4
3
4
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2.1.2 Ponto Central

Consideremos uma determinada área (espaço contínuo) com n pontos P (x,y), i=1,..,n. A
i i i
cada ponto P é associado um peso p (por exemplo, população, quantidade de produtos,
i i
etc).

O ponto central C(x,y) procurado é obtido minimizando-se a soma das distâncias
ponderadas deste ponto C aos pontos P(x,y), ou seja, deseja-se
i i i

2 2 1/2
Min f(xy) = Σ p . { (x-x) + (y-y) }
i i i

Derivando em relação a x e y obtém-se:
 n
f(x,y)p .(xx ).{(xx )2 (yy )2}1/2
i i i i
x
i1

 n
f(x,y)p .(yy ).{(xx )2 (yy )2}1/2
i i i i
y
i1
Sendo que estas derivadas existem quando C(x,y) ≠ P(x,y).
i i i

Igualando as derivadas parciais a zero, tem-se:

n p .(x x )
 i i  0
{(x x )2 (y y )2}1/2
i1 i i

n p .(y y )
 i i  0
{(x x )2 (y y )2}1/2
i1 i i

Isolando x e y em cada equação:

n p .x
 i i
{(x x )2 (y y )2}1/2
x  i1 i i Equação (1)
n p
 i
{(x x )2 (y y )2}1/2
i1 i i

n p .y
 i i
{(xx )2 (y y )2}1/2
y  i1 i i Equação (2)
n p
 i
{(xx )2 (y y )2}1/2
i1 i i

As equações obtidas formam um sistema de equações não lineares que pode ser
resolvido iterativamente.
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Algoritmo para obter o Ponto Central:

0 0 0
Passo 1. Faça k=0 e obtenha uma primeira estimativa do ponto central C (x ,y ) supondo
0
que a distância dele até qualquer dos pontos P(x,y) seja a mesma. Denote por D esta
i i i
distância.

n p .x n
 i i  p .x
n.D0 i i
x0  i1  i1
n p n
 i  p
n.Do i
i1 i1

n p .y n
 i i  p .y
n.D0 i i
y0  i1  i1
n p n
 i  p
n.Do i
i1 i1

k k k k+1 k+1
Passo 2. Usando os valores obtidos para C (x ,y ) calcule x e y através das
k k
equações (1) e (2) , onde (x,y) é substituído por (x ,y ), ou seja:

n p .x
 i i
{(xk x )2 (yk  y )2}1/2
xk1  i1 i i
n p
 i
{(xk x )2 (yk  y )2}1/2
i1 i i

n p .y
 i i
{(xk x )2 (yk  y )2}1/2
yk1  i1 i i
n p
 i
{(xk x )2 (yk  y )2}1/2
i1 i i

k k+1 k+1
Passo 3. Se a d(C ,C ) < ε então pare, e C≈C é o ponto central procurado. Caso
contrário, continue no passo 2.

Convergência: podemos considerar que as diferenças relativas entre os valores das
coordenadas sejam menores ou iguais a precisão ε desejada, ou seja, que
k+1 k k
ε = |x - x | / x ≤ ε
1
k+1 k k
ε = |y - y | / y ≤ ε
2

Observação: este método não é válido quando C coincide com um dos pontos P (pois o
i
denominador será nulo). Uma forma simples de contornar este problema é acrescentar
2
uma pequena quantidade positiva na distância, que passa a ser dada por {(x-x) + (y-
i
2 1/2
yi) } + ΔD (por exemplo, 0.05% da unidade de medida considerada).
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Exercício: Determinar a localização do ponto central para o conjunto de pontos dados.

x x
1 4
 
 
x x
2 3
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2.1.3 p-Centros (Minimax)

Deseja-se instalar um posto de serviço (pronto socorro, unidade do corpo de bombeiros, posto
policial) para servir diversas comunidades. Este posto deve ser instalado numa dessas
comunidades. O objetivo é minimizar a distância entre o posto de serviço e a comunidade mais
distante, isto é, otimizar o pior caso.

Formulação do problema utilizando grafos:
Formamos um grafo G onde os vértices representam as comunidades e os arcos a rede de
estradas ligando estas comunidades. O objetivo é determinar o vértice do grafo que minimiza a
distância até o vértice mais distante.
Podem ser atribuídos pesos aos vértices. Estes pesos podem representar, por exemplo, a
probabilidade de cada comunidade necessitar o posto de serviço.

Algoritmo para 1-centro:
1) Obter a matriz D=[d ] das distâncias mínimas entre os nós do grafo.
ij
2) Multiplicar a j-ésima coluna de D pelo peso p, obtendo a matriz D’, onde d’ = d . p.
j ij ij j
3) Para cada linha i da matriz D’ obter o seu maior elemento, formando o vetor M.
O nó que corresponde à linha de M com menor valor é o 1-centro.

Exercício 1:
Utilizando o algoritmo anterior, determinar o 1-centro para o conjunto de vértices dados.

x x
1 4
 
 
x x
2 3