Table Of ContentTem peraturausgleich
in einfachen Karpern
Ebene Platte, Zylinder, Kugel, halbunendlicher Korper
Von
Dr.-Ing. Ulrich Grigull
o. Professor fiir Technische Thermodynamik
an der Technischen Hochschule Miinchen
Mit 9 Abbildungen
und II Tafeln in einer Tasche
Springer- Ve rl ag
Berlin Heidelberg GmbH
1964
Alle Reehte, insbesondere das der Dbersetzung in fremde Spraehen, vorbeha1ten
Ohne ausdriiekliehe Genehmigung des Ver1ages ist es aueh nieht gestattet,
dieses Bueh oder Teile daraus auf photomeehanisehem Wege
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1964
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag OHG., Berlin/Gattingen/Heidelberg 1964
Library of Congress Catalog Card Number: 64-15144
ISBN 978-3-540-03136-9 ISBN 978-3-642-88379-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-88379-8
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamcn, Warenbezeichnungcn llSW.
in diesem Buche berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der An·
nahme, daU solche Namen im Sinne der \Varenzeichen- nnd Markenschutz-Gesetz
gebung als frei zu betrachten waren nnd daher von jedermann benutzt werden diirften.
Vorwort
Dieses Buch enthält vollständig neu berechnete Tafeln, Abbildungen und Zahlentafeln
der nichtstationären eindimensionalen Wärmeleitung ohne innere Wärmequellen in der
ebenen Platte, dem Zylinder, der Kugel und dem halbunendlichen Körper. Die anfängliche
Temperaturverteilung ist gleichförmig angenommen, an den Oberflächen wird Wärme
bei konstanter Umgebungstemperatur und konstantem Wärmeübergangskoeffizienten
übertragen. Auch die Stoffgrößen sollen konstant sein.
Diese Lösungen der FouRIERsehen Differentialgleichung lassen sich überwiegend nur
als unendliche Reihen darstellen, deren numerische Berechnung mühsam ist, wenn man
von Hand rechnen muß. Da die bisher bekannt gewordenen Ergebnisse untereinander
nicht völlig übereinstimmten, schien es zweckmäßig, diese Grundprobleme der nicht
stationären Wärmeleitung erneut mittels elektronischer Rechenautomaten zu berechnen.
Die Ergebnisse dieser Berechnung für die Temperaturen der Oberflächen und der Mitten
sowie der übertragenen Wärmemengen sind in diesem Buche unter Benützung der für
das betreffende Problem maßgebenden Kenngrößen zusammengestellt.
In gewissen Bereichen der Kenngrößen genügt es oft, nur den ersten Term der Reihen
zu verwenden, so daß man geschlossene, bequem zu handhabende Ausdrücke erhält.
Aber es war bisher nicht genau bekannt, welcher Fehler dadurch entsteht. Diese Fehler
berechnung ist in den nachfolgenden Abbildungen wiedergegeben. Es zeigt sich, daß der
Bereich kleiner Fehler, die in vielen Fällen in Kauf genommen werden können, weiter
reicht als bisher angenommen. Das dürfte gerade für die Berechnung von Aufheiz- und
Abkühlvorgängen in der Praxis von Bedeutung sein. Die notwendigen Konstanten sind
ebenfalls in diesem Buche angegeben.
Im Bereich sehr kleiner Zeiten nach einer sprunghaften Temperaturänderung versagt
jede Berechnung mittels Reihen. Man kann aber jeden Körper endlicher Abmessungen
als halbunendlichen Körper ansehen, solange die thermische Einwirkung wesentlich auf
den Oberflächenbereich beschränkt bleibt. Daher sind in diesem Buche auch die Lösungen
für den halbunendlichen Körper mitgeteilt und mit jenen für die Körper endlicher Ab
messungen verglichen.
Die Lösungen für die vier "einfachen" Körper lassen sich für sehr viel mehr Fälle
anwenden, als es auf den ersten Blick scheint. Häufig kann man die Wärmeleitung in
komplizierten Körpern mit ausreichender Genauigkeit durch die in einfachen Körpern
annähern. Da die FouRIERsehe Differentialgleichung linear ist, lassen sich durch Kombi-
IV Vorwort
nation verschiedener Anfangs- und Randbedingungen ganze Familien neuer Lösungen
aufstellen, darunter auch solche für zwei- und dreidimensionale Probleme. Damit diese
Möglichkeiten für die Berechnung praktischer Fälle nutzbar gemacht werden können,
müssen die einfachen Lösungen in genügender Genauigkeit vorliegen und bequem zu
gänglich sein. Diesem Zwecke soll das vorliegende Buch dienen, in dem besonderer Wert
auf übersichtliche Darstellung und einheitliche Bezeichnungsweise nach dem heutigen
Stand der Normung gelegt wurde.
Die hier mitgeteilten Zahlenwerte wurden auf den Digitalrechnern IBM 650, Zuse Z22
und Siemens 2002 berechnet. An der Programmierung waren die Herren Dr. W. LoDE,
Dr. H. K. DETTMAR und Ing. E. MARRE, sämtlich Leverkusen, sowie meine Mitarbeiter,
die Herren Dr. F. MAYINGER und Dipl.-Ing. H. TRATZ, beteiligt. Herr cand. ing. J. BACH
besorgte die Zeichenarbeit. Der Verfasser dankt allen Genannten für ihre Unterstützu~g,
ferner den Farbenfabriken Bayer, Leverkusen, und den Siemens-Schuckertwerken,
Erlangen, für die zur Verfügung gestellte Rechenzeit.
München, im Dezember 1963
U. Grigull
Inhaltsübersiebt
Seite
Einleitung . 1
Ebene Platte 1
Zylinder 5
Kugel 8
Halbunendlicher Körper 11
Beispiele zur Auswertung 13
Schrifttum . . . . . . . 16
Ve rzeicbnis der Tafeln
1 Ebene Platte, Temperatur in der Mitte
2 Ebene Platte, Wandtemperatur
3 Ebene Platte, Wärmemenge
4 Zylinder, Temperatur in der Mitte
5 Zylinder, Wandtemperatur
6 Zylinder, Wärmemenge
7 Kugel, Temperatur in der Mitte
8 Kugel, Wandtemperatur
9 Kugel, Wärmemenge
10 Halbunendlicher Körper, Temperatur im Innem, Fo < 30
11 Halbunendlicher Körper, Temperatur im Innern, Fo < 0,3
Grigull, Temperaturausgleich in einfachen Körpern
Formelzeichen
a Temperaturleitfähigkeit, a = A.f(cp e)
spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck
Cp
Cm, Cw, Cq Konstanten
E Konstante
Q in der Zeit t übergegangene Wärmemenge
Qc Enthalpie zur Zeit t = 0, bezogen auf Umgebungstemperatur
r radiale Koordinate
R Radius
Zeit
Too Umgebungstemperatur
X Wandabstand
X halbe Plattendicke
Wärmeübergangskoeffizient
(X
b, fl• V Eigenwerte
L1 relativer Fehler
{} Temperaturdifferenz zur Umgebungstemperatur
{}c konstante Anfangstemperatur
{}m Temperatur in der Mitte
{}w Wandtemperatur
A. Wärmeleitfähigkeit
e Dichte
Bi= 1XX/A.; 1X xfA.; 1X RfA BIOT-Zahll
Fo = a tfX2; a tfx2; a tfR2 FouRIER-Zahl
1 Bedeutet in dem Quotienten cx Xj). das Zeichen ). die Wärmeleitfähigkeit des strömenden
Mediums, so ist die Abkürzung Nu (NussELT-Zahl) üblich (vgl. [6]). Dieser Fallliegt hier nicht vor.
Einleitung
Numerische Lösungen für die nichtstationäre eindimensionale Wärmeleitung mit der
Randbedingung dritter Art scheinen erstmals von GRÖBER [1, 2] sowie von GuRNEY
und LURIE [3] veröffentlicht worden zu sein. Die Werte von GRÖBER wurden später
durch BACHMANN [4] erweitert. In der amerikanischen Literatur werden meist die Werte
von HEISLER [5] verwendet. Die genannten Ergebnisse wurden durch Handrechnung
oder mit Hilfe elektrischer Analogieverfahren erhalten. Da es sich um Elementarprobleme
der nichtstationären Wärmeleitung handelt, schien eine Neuberechnung mittel's elek
trischer Rechenautomaten sinnvoll, zumal die bisherigen Ergebnisse untereinander nicht
vollständig übereinstimmten.
Es handelt sich um Lösungen der Differentialgleichung
a&
ae=aL1if, (1)
m der LI d.en LAPLACEschen Differentialoperator bedeutet, mit der Anfangsbedingung
if = ifc für t = 0 (2)
und der Randbedingung
(3)
wenn x die Längenkoordinate bedeutet und der Index w für die Wand gilt. Die Größen a,
IX, A. und die Umgebungstemperatur sind konstant angenommen. Die nachfolgenden
Berechnungen beziehen sich auf die ebene Platte, den Zylinder, die Kugel und den halb
unendlichen Körper.
Ebene Platte
Die Lösung von Gl. (1) für die ebene Platte der Dicke 2X mit beidseitigem Wärme
übergang [6] lautet
-{{}} = k~ = oo <'l + 2 .s in<'l <'lk <'l exp( -ok2F o) cos(ok xfX). (4)
• k = l k Sill k COS k
In dieser Gleichung zählt die Längenkoordinate x von der Mittelebene aus, die FouRIER
Zahl ist durch Fa = a tfX2 definiert, und die Eigenwerte ok sind die Lösungen der trans
zendenten Gleichung
cot o = ofBi (5)
und sind damit Funktionen allein von Bi = IX X ( A., der Kenngröße des Wärmeübergangs.
Man kann daher Gl. (4) in der allgemeinen Form
; =/(Fo,Bi,xjX) (6)
•
2*
2 Ebene Platte
schreiben, die man auch aus den Gln. (1) bis (3) unmittelbar durch Ähnlichkeitsbetrach
tungen hätte erhalten können. Die Temperatur der Mittelebene {}m erhält man aus
Gl. (4) mit x = 0:
-{{} m} -_ k~="o" o 15 + 2 .S .l l6lu ..,k 15 exp (-ok2 F 0) = j (F 0, Bz.) (7)
c k = 1 k Sill k COS k
und die Wandtemperatur {}w mit x = X:
_{{_}} _!-!..k.-~=""o o .. +.2. S .l l..l u..,k .. exp(-ok2 F o)coso.~;= j (Fo, Bz.) . (8)
c k = 1 uk Sllluk COSuk
Die in der Zeit t zwischen Platte und Umgebung übertragene Wärmemenge Q erhält
man aus der Gleichung
(9)
in der Qc die Enthalpie der Platte zur Zeit t = 0, bezogen auf die Umgebungstemperatur,
bedeutet.
Die Gin. (7) bis (9) wurden mittels des Digitalrechners Siemens 2002 mit 8 Gliedern
der Reihen (k = 8) für 44 Werte der FouRIER-Zahl berechnet, und zwar bei jeweils fest
gehaltenem Parameter Bi, für den 40 Werte gewählt wurden. Der Wert Bi= oo ent
spricht der konstanten Wandtemperatur {}w, also der Randbedingung erster Art. Für
jeden Wert Bi wurde entweder mit allen 44 Fa-Werten gerechnet oder die Rechnung
dann abgebrochen, wenn die Summe der 3 Werte
iL)
~ + ~ + (' 1 - < 10-3
{}, {}. Q.
geworden war, weil kleinere Werte in technischen Fällen nicht mehr interessant sind.
Die Ergebnisse dieser Rechnung sind in den Tafeln 1 bis 3 in halblogarithmischer Dar
stellung über Fo mit dem Parameter 1/Bi und wechselndem Abszissenmaßstab auf
getragen. Eine ähnliche Form wählte auch HEISLER [5] für einen Teil seiner Diagramme.
Die zur Berechnung notwendigen 8 Eigenwerte ok wurden nach Gl. (5) durch Iteration
nach dem NEWTONsehen Näherungsverfahren berechnet; die Iteration wurde abgebrochen,
wenn die Verbesserung durch den nächsten Schritt kleiner als 10-6 wurde. Das Ergebnis
ist in Zahlentafelt zusammengestellt.
Zahlentafel1. Lösungen der Gleichung cot 15 = 15fBi
1/Bi
0 1,570 796 4,712389 7,853982 10,99557 14,13717 17,27876 20,420 35 23,56195
0,1 1,428 870 4,305801 7,228110 10,20026 13,21419 16,25936 19,32703 22,41085
0,2 1,313 838 4,033568 6,909 596 9,892753 12,93522 16,01066 19,10552 22,212 56
0,5 1,076874 3,643 597 6,578334 9,629 561 12,72230 15,83361 18,95468 22,08148
0,8 0,930 757 3,485 897 6,473921 9,554 863 12,664 75 15,78698 18,91554 22,047 78
1 0,860 334 3,425 618 6,437 298 9,529 335 12,645 29 15,77129 18,90241 22,03650
2 0,653271 3,292310 6,361620 9,477 486 12,606 01 15,73972 18,87604 22,013 86
5 0,432 841 3,203 935 6,314846 9,445949 12,582 27 15,720 69 18,86016 22,00024
8 0,346354 3,180 870 6,303 015 9,438022 12,576 31 15,715 92 18,85619 21,996 83
10 0,311053 3,173097 6,299 059 9,435377 12,574 32 15,71433 18,854 86 21,99570
20 0,221 760 3,157427 6,291133 9,430 081 12,570 35 15,71115 18,852 21 21,99342
50 0,140952 3,147946 6,286367 9,426900 12,567 96 15,70924 18,850 62 21,99206
80 0,111571 3,145567 6,285174 9,426105 12,567 37 15,70876 18,85022 21,991 72
100 0,099834 3,144 773 6,284 776 9,425840 12,56717 15,70860 18,85009 21,99160
Ebene Platte 3
Die Kurven in Tafel1 bis 3 verlaufen größtenteils fast geradlinig. Das bedeutet, daß
der erste Term der Reihe in Gl. (7), (8) oder (9) für den Kurvenverlauf bestimmend ist.
Um diese Erscheinung bei praktischen Rechnungen ausnutzen zu können, muß man
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5 ' Ebene Platte
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' ' Fa~ at/X2 LI relativer Fehler
~ ' ' des 1. Terms -
Bi=ocX/2
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Fo----
Abb. 1. Ebene Platte. Relativer Fehler des ersten Terms
den Fehler kennen, der bei alleiniger Verwendung des ersten Terms entsteht. Hierzu
wurde bei allen gerechneten Werten der Quotient aus dem ersten Term -& und der Summe
1
der 8 Glieder 1: -& gebildet. Der Ausdruck
:D -
LI= 1 (10)
stellt den Betrag des relativen Fehlers dar. Für Mittel- und Wandtemperatur unter
scheiden wir Llm und Lfw, die in Abb. 1 über Fo mit 1/Bi als Parameter aufgetragen sind.
Description:Dieses Buch enthält vollständig neu berechnete Tafeln, Abbildungen und Zahlentafeln der nichtstationären eindimensionalen Wärmeleitung ohne innere Wärmequellen in der ebenen Platte, dem Zylinder, der Kugel und dem halbunendlichen Körper. Die anfängliche Temperaturverteilung ist gleichförmig
