Table Of ContentBerg/Korb
Analysis
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Teil I
Analysis
Lehrstoffkurzfassung und Aufgabensammlung
mit Lösungen
Von
Prof. Dr. Claus C. Berg und
Prof. Dr. Ulf-Günther Korb
unter Mitarbeit von
$ahin Kocak und Klaus Richter
3., durchgesehene Auflage
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Berg, Claus C.:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I von
Claus C. Berg u. Ulf-Günther Korb. Unter Mitarb.
von Sahin Ko~ak u. Klaus Richter. - Wiesbaden :
Gabler
NE: Korb, Ulf-Günther:
Teil 1. Analysis : Lehrstoffkurzfassung u.
Aufgabensammlung mit Lösungen.- 3., durchges.
Aufl- 1985.
ISBN 978-3-409-95015-2 ISBN 978-3-322-87173-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-87173-2
1. Auflage 1975
2. Auflage 1976
Unveränderter Nachdruck 1983
3. Auflage 1985
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1985
Ursprünglich erschienin bei Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden 1985
Alle Rechte vorbehalten. Auch die fotomechanische Vervielfaltigung des Werkes
(Fotokopie, Mikrokopie) oder von Teilen daraus bedarf der vorherigen Zustimmung
des Verlages.
Vorwort
Das vorliegende Buch versteht sich in erster Linie als
eine Aufgabensammlung für Studenten der Wirtschafts
wissenschaften und nicht als ein Lehrbuch. Vorlesungen
der Autoren im Grundstudium der betriebswirtschaftliehen
Fakultät der Universität Mannheim haben immer wieder ge
zeigt, daß zwar kein Mangel an Lehrbüchern der Mathema
tik herrscht, daß es aber häufig an adaequatem Obungs
stoff fehlte, um das in den Vorlesungen vermittelte
Wissen zu vertiefen und zu festigen. Die angebotene Auf
gabensammlung soll diesem Bedürfnis der Studenten nach
Obungsmöglichkeiten Rechnung tragen.
Bei der Konzipierung der Aufgabensammlung zeigte sich
sehr bald, daß eine Präsentation von Aufgaben ohne jeden
Bezug zum Lehrstoff wenig sinnvoll ist. Lehrstoff und
Aufgaben sind nicht trennbar, ohne daß beim Lehrstoff
der Bezug zur praktischen Anwendung und bei den Aufgaben
der Allgemeinheitscharakter der mathematischen Sätze und
Regeln verloren geht. Eine gleichzeitige Berücksichtigung
von Lehrstoff und Aufgaben zwingt jedoch zu einer Setzung
von Prioritäten. Im Falle dieses Buches ist die Präsenta
tion des Lehrstoffes wegen des Vorrangs der Aufgabensamm
lung zu einer Kurzfassung reduziert worden, die die wesent
lichen Sätze und Regeln ohne ausführliche Erklärungen und
Ableitungen zusammenstellt. Eine solche Kurzfassung kann
daher kein Lehrbuch und keine Vorlesung ersetzen. Sie
bildet bestenfalls einen Rahmen, der einen Zusammenhang
zwischen Lehrstoff und Aufgaben schafft und zur Beschäf
tigung mit den Aufgaben anregt. Die Kurzfassung eines
Lehrstoffs bringt jedoch noch weitere Probleme mit sich.
So muß einmal ein nicht unerheblicher Teil mathematischer
Grundkenntnisse vorausgesetzt werden. Andererseits zwingt
auch die Straffung des Lehrstoffs dazu, detaillierte Be
gründungen, Falluntersuchungen und Beweise auszulassen,
die ein rigoroser und mathematisch präziser Ansatz fordern
würde. Das wird dann beispielsweise beim Umgang mit dem
Symbol ·~·, bei der partiellen Differentiation und bei der
Integration deutlich. Wir haben diese Beschränkungen je
doch bewußt in Kauf genommen, um aus der Kurzfassung des
Lehrstoffs nicht doch wieder ein Lehrbuch werden zu lassen.
Wir hoffen, mit diesem Buch einem allgemeinen studenti
schen Bedürfnis Rechnung getragen zu haben. Zu Dank sind
wir in erster Linie unseren Mitarbeitern Herrn §ahin
Ko~ak und Herrn Klaus Richter verpflichtet, die eine Haupt
last bei der Erstellung der Aufgaben und Lösungen getragen
haben. Für kritische Stellungnahmen dürfen wir uns auch
bei Herrn Dipl.-Kaufm. Jürgen Hörtig und Herrn Dipl.-Kaufm.
Rainer Stadel bedanken. Das Manuskript wurde mit vieler
Mühe von Herrn Klaus Richter und Herrn Bernhard Rieder er
stellt, wofür wir uns ganz besonders bedanken. Für Schwächen
und Fehler des Buches fühlen sich die Autoren selbstverständ
lich allein verantwortlich.
Claus C. Berg
Ulf-Günther Korb
Iobaltsverzeichnis
1. Grundlagen der Mengenlehre 5
1.1. Mengen 5
1.1.1. Der Mengenbegriff 5
1.1.2. Definitionen von Mengen 7
1.2. Mengenoperationen • •· 10
1.2.1. Vereinigung von Mengen 10
1.2.2. Durchschnitt von Mengen 11
1.2.3. Differenz von Mengen 12
1.2.4. Relationen zwischen Mengen 1 3
1.2.5. Kartesisches Produkt 14
1.3. Abbildungen von Mengen 15
1.3.1. Definitions- und Wertebereich 15
1.3.2. Injektive und surjektive Abbildungen 17
1.3.3. Umkehrung von Abbildungen 18
2. Die reellen Zahlen • 20
2.1. Das System reeller Zahlen • 20
2.1.1. Natürliche Zahlen und vollständige Induktion • 20
2.1.2. Ganze, rationale und irrationale Zahlen. 22
2.2. Ungleichungen, Intervalle und Betrag 25
2.2.1. Ungleichungen und Intervalle 25
2.2.2. Absoluter Betrag • 26
2.3. Folgen 21'3
2.3.1. Schranken und Grenzwerte 28
2.3.2. Arten von Folgen • 31
2.3.3. Rechnen mit Grenzwerten 34
.
. .
3. Funktionen einer reellen Veränderlichen • 36
3.1. Funktionsbegriff und Funktionstgpen • • • 36
3.1.1. Funktion, Definitions- und ~ertebereich • 36
3.1.2. Die Umkehrfunktion • 38
3.1.3. Funktionstgpen • 40
3.2. Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen • 44
3.2.1. Grenzwert einer Funktion • 44
3.2.2. Stetigkeit einer Funktion •••••• 46
3.3. Asgmptoten, Pole, Konvexität • • 49
3.3.1. Asgmptotisches Verhalten von Funktionen • 49
3.3.2. Pole von Funktionen • • 51
3.3.3. Konvexität von Funktionen • • • • 52
4. Differentiation einer reellen Veränderlichen 54
4.1. Die Differentiation einer Funktion • • • 54
4.1.1. Der Differenzenquotient • • 54
4.1.2. Differentialquotient und Differenzierbarkeit
einer Funktion • • 56
4.1.3. Das Differential • 61
4.2. Differentiationsregeln • • 62
4.2.1. Differentiation von f(x) = c und f(x) X 62
4.2.2. Differentiation der Summe zweier Funktionen 62
4.2.3. Differentiation des Produkts zweier Funktionen. • 63
4.2.4. Differentiation der Potenzfunktion. • 63
4.2.5. Differentiation des Quotienten zweier Funktionen 66
4.2.6. Differentiation einer inversen Funktion 68
4.2.7. Differentiation zusammengesetzter Funktionen • 68
4.2.8. Differentiation einer impliziten Funktion • 71
4.2.9. Höhere Ableitung einer Funktion ••• • 72
4.3. Differentiation ausgezeichneter Funktionen 73
o •••
4. 3. J. Die Exponentialfunktion • 7 3
o • •
4.3.2. Die Logarithmusfunktion. o ••• o • o 75
4.3o3. Trigonometrische Funktionen o o o o o o o o 77
5o Relative Xnderungsraten und Elastizität von Funktionen 79
0
5.1o Relative Xnderungsraten 79
0
5.1.1. Der Begriff der relativen Xnderungsrate 79
o 0
5.1.2. ~konomische Beispiele o 0 0 79
5.2. Elastizität 82
o o o o 0
5.2.1. Der Begriff der Elastizität 8 2
o 0
5.2.2. Logarithmische Ableitung einer Funktion 84
o 0
6. Diskussion von Funktionen einer Veränderlichen 86
6.1. Grundanalyse 86
o o • o o 0
6.1.1. Definitions- und Wertebereich, Symmetrie 86
0
6.1.2. Asymptotisches Verhalten 89
0 0
6.1.3. Nullstellen 90
o o o o
6.2. Extremwerte und Wendepunkte • 92
6o2.1. Relative und absolute Extrema . 92
o
6.2.2. Notwendige Bedingung für relative Extrema 93
o
6.2.3. Konvexität einer Funktion •• • 95
6.2.4. Hinreichende Bedingung für relative Extrema • • • 96
6.2.5. Notwendige und hinreichende Bedingung für
einen Wendepunkt 99
o • o • 0 0
7. Differentiation mehrerer reeller Veränderlicher. • 102
7.1. Partielle Differentiation einer Funktion zweier
Veränderlicher •••••••••••••••••••• 102
7.1.1. Der Begriff der partiellen Differentiation ••• 102
7.1.2. ~konomische Beispiele ••••••••••• 107
7.2. Optimierung einer Funktion mehrerer Veränderlicher. .109
7.2.1. Optimierung ohne Nebenbedingungen .109
7.2.2. Optimierung mit Nebenbedingungen • • 111
8. Integration • • 11 3
8.1. Bestimmtes Integral. • 11 3
8.1.1. Definition des bestimmten Integrals • 11 3
8.1.2. Sätze über bestimmte Integrale. • 116
8.2. Unbestimmtes Integral. • 118
8.2.1. Definition des unbestimmten Integrals • 118
8.2.2. Integrationsregeln. • 118
8.3. Integrationsmethoden .120
8.3.1. Partielle Integration .1 20
8.3.2. Substitutionsmethode. .122
8.4. Uneigentliche Integrale. .124
8.4.1. Definition und Berechnung eines uneigentlichen
Integrals • .124
8.4.2. akonomische Beispiele .126
9. Reihen .128
9.1. Definitionen und Arten von Reihen. .128
9.1.1. Der Begriff der Reihe .128
9.1.2. Arithmetische und geometrische Reihen .129
9.2. akonomische Anwendungen. .132
9. 2.1. Zinseszinsrechnung. • 132
9.2.2. Kapitalwertermittlung .134
Lösungen • • .136-217
1. Grundlagen der Mengenlehre
1.1. Mengen
1.1.1. Der Mengenbegriff
Eine Menge ist die Zusammenfassung von bestimmten, wohlunter
schiedenen Objekten. Die Objekte einer Menge bezeichnen wir als
die Elemente der Menge.
Schreibweise: aES heißt "a ist ein Element der Menge S ".
a~S heißt "a ist kein Element der Menge S".
S={a,b,c} heißt "die Menge s besteht aus den Ele
menten a,b und c".
S={a,b,c, .•. } heißt "die Menge s besteht aus den
Elementen a,b,c und anderen Elementen".
Man unterscheidet zwei Schreibweisen:
Explizite Schreibweise: Die Elemente der Menge wer
den aufgezählt.
Implizite Schreibweise: Die Elemente der Menge wer
den durch Bedingungen gekennzeichnet.
Beispiel: Die Menge aller geraden Zahlen größer +1 und klei-
ner +10 ist: A={2,4,6,B}
Die Menge N der natürlichen Zahlen ist:
N= { 1 , 2, 3 , 4 , ••• }
Merke: Die Elemente einer Menge müssen voneinander ver
schieden sein:
Die endliche Folge 1,2,2,3,3,3,4 enthält die wohl
unterschiedenen Objekte 1,2,3,4.
Die Menge der Elemente dieser Folge ist daher {1,2,3,4}.
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