Teil 8 Konforme Abbildungen Anwendungen (Adobe PDF, 872.9Kb)

25 Pages·2002·1.41 MB·German

by  Hans Walser

ETH Library
Geometrie
Skript für die Vorlesung: 91-157, G, Geometrie, 86-3,
Ausgabe 2002
Educational Material
Author(s):
Walser, Hans
Publication date:
2002
Permanent link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-004377954
Rights / license:
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Hans Walser
Konforme Abbildungen, Anwendungen
Konforme Abbildungen, Anwendungen ii
Inhalt
1 Die HELMERT-Transformation...................................................................1
1.1 Problemstellung............................................................................ 1
1.2 Die Regressionsgerade.....................................................................1
1.3 Übertragung auf konforme Abbildungen................................................ 3
1.4 Zusammenfassung .........................................................................6
1.5 Vergleich mit Drehstreckung.............................................................. 7
2 Die MERCATOR-Karte.............................................................................8
2.1 Disposition der MERCATOR-Karte.........................................................9
2.2 Herleitung über die stereographische Projektion......................................10
2.2.1 Stereographische Projektion Kugel → Ebene..................................11
2.2.2 Abbildung Ebene → Streifen....................................................12
2.3 Vergleich mit Zentralprojektion vom Kugelmittelpunkt aus..........................13
2.4 Geometrische Herleitung der MERCATOR-Karte........................................14
2.5 Zeichnerisches Vorgehen von MERCATOR..............................................15
2.6 Quadratnetz auf der Kugel................................................................15
2.7 Loxodromen ...............................................................................17
3 Konforme Interpolation........................................................................20
3.1 Lineare Interpolation......................................................................20
1994 Probeausgabe
1995 Ergänzungen, Fehlerkorrekturen
1996 Fehlerkorrekturen, kleine Ergänzungen
1997 Umschreibung auf Word 6.0.1, kleine Änderungen
1998 Fehlerkorrekturen
1999 Anpassung an neuen Studienplan
2000 Neue Moduleinteilung. Ergänzungen und Weglassungen
2002 Fehlerkorrekturen. Grafische Überarbeitung
2003 Fehlerkorrekturen
Hans Walser
[email protected]
1 Die HELMERT-Transformation
1.1 Problemstellung
In der ursprünglichen Anwendung von HELMERT ging es darum, für zwei winkeltreue
Karten (Ostpreußen und Polen) mit einem gemeinsamen Überlappungsbereich die Abbil-
dung von der einen Karte auf die andere zu finden. In der heutigen Praxis geht es mei-
stens darum, Daten aus einer lokalen Vermessung in eine übergeordnete Karte einzufü-
gen.
y v
u
1
1 1
x
1
Lokales Koordinatensystem im übergeordneten Koordinatensystem
Der Übergang von einem orthonormierten Koordinatensystem in ein anderes orthonor-
miertes Koordinatensystem in der Ebene ist theoretisch eine gleichsinnige Ähnlichkeit,
also eine Drehstreckung. Eine gleichsinnige Ähnlichkeitsabbildung ist durch Vorgabe von
zwei Punkten und ihren Bildern eindeutig definiert. In der Praxis sind aber oft viel mehr
Punkte vorhanden, die aber noch mit Meßfehlern versehen sind. HELMERT löste das Pro-
blem mit der Ausgleichsmethode der kleinsten Quadrate nach GAUSS. Wir werden sehen,
daß seine Methode eine Übertragung der Theorie der Regressionsgeraden auf die komple-
xe Ebene ist. Der Grund liegt darin, daß eine Drehstreckung im Komplexen durch eine
lineare Funktion beschrieben werden kann; im Reellen beschreibt aber eine lineare Funk-
tion eine Gerade. Wir behandeln daher zunächst die Regressionsgerade im Reellen.
1.2 Die Regressionsgerade
( )
Es ist eine Serie von n Messwertpaaren x ,y ; i =1,K,n gegeben, zwischen denen ein

i i
linearer Zusammenhang y = f(x)= ax+b vermutet wird.
y
1
x
1
Serie von n Messwertpaaren
Gesucht ist also eine Funktion y = f(x)= ax+b (effektiv gesucht sind die beiden
Koeffizienten a und b), so daß die Summe der Quadrate der Abweichungen
Konforme Abbildungen, Anwendungen 2
∑n (y −(ax +b))2
i i
i=1
minimal wird. Der Graph dieser Funktion heißt Regressionsgerade. Wir haben also den
Wert
Φ(a,b)= ∑n (y −(ax +b))2 = ∑n (y −ax −b)2
i i i i
i=1 i=1
zu minimieren. Nullsetzen der partiellen Ableitungen nach a und b ergibt:
∂Φ ∑n ( )( )
= 2 y −ax −b −x = 0
∂a i i i
i=1
∂Φ = ∑n 2(y −ax −b)(−1)= 0
∂b i i
i=1
Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen
∑n ∑n ∑n
x y −a x x −b x = 0
i i i i i
i=1 i=1 i=1
∑n ∑n
y −a x −bn= 0
i i
i=1 i=1
1
Aus der zweiten Gleichung folgt nach Multiplikation mit :
n
y −ax −b = 0
1∑n 1∑n
wobei x:= x und y:= y gesetzt wird; x und y sind also die arithmetischen
n i n i
i=1 i=1
Mittel der Meßwerte x beziehungsweise y . Für die gesuchten Koeffizienten a und b gilt
i i
also:
y = ax +b
Die Regressionsgerade verläuft durch den Schwerpunkt der Meßwerte.
Wir führen nun neue Koordinaten mit dem Ursprung im Schwerpunkt, so genannte rela-
tive Koordinaten, zum Schwerpunkt, ein:
ξ= x− x und η= y− y
y η
ξ
(x ,y )
1
x
1
Koordinaten relativ zum Schwerpunkt
Konforme Abbildungen, Anwendungen 3
In diesen Koordinaten bleibt für die Regressionsgerade der Restansatz η= aξ. Das Ab-
solutglied b verschwindet. Die Minimierungsbedingung verlangt nun noch die Minimisie-
rung von:
Ψ(a)= ∑n (η−aξ)2
i i
i=1
Aus
dΨ ∑n ( )( )
= 2 η−aξ −ξ = 0
da i i i
i=1
ergibt sich
∑n ∑n
ξη−a ξ2 = 0
i i i
i=1 i=1
und damit
∑n
ξη
i i
a = i=1
∑n
ξ2
i
i=1
oder, in den ursprünglichen Koordinaten:
∑n ( )( )
x − x y − y
i i
a = i=1
∑n (x − x)2
i
i=1
Zusammenfassung:
• Die Regressionsgerade verläuft durch den Schwerpunkt (x,y).
∑n ( )( )
x − x y − y
i i
• Steigung a der Regressionsgeraden a = i=1
∑n (x − x)2
i
i=1
1.3 Übertragung auf konforme Abbildungen
( )
Gegeben sind nun n Passpunkte z x ,y , j =1,2,K,n in der z-Ebene und n zugeord-
j j j
( )
nete Passpunkte w u ,v , j =1,2,K,n in der w-Ebene.
j j j
Konforme Abbildungen, Anwendungen 4
y z-Ebene v w-Ebene
x u
Zugeordnete Passpunkte
Gesucht ist eine lineare konforme Abbildung w = f(z), welche die Zuordnung z aw

j j
am besten (nach der Methode der kleinsten Quadrate) approximiert. Aus dem Ansatz
w = f(z)= az+b, a = a +ia , b = a +ia
1 2 3 4
ergibt sich die reelle Darstellung:
u = a x−a y+a
1 2 3
v = a x+a y+a
2 1 4
Für n= 2, das heißt wenn nur zwei Urbildpunkte und deren Bilder gegeben sind, ergibt
sich durch Einsetzen:
u −(a x −a y +a )= 0
1 1 1 2 1 3
v −(a x +a y +a )= 0
1 2 1 1 1 4
u −(a x −a y +a )= 0
2 1 2 2 2 3
v −(a x +a y +a )= 0
2 2 2 1 2 4
Dies ist ein lineares Gleichungssystem für die vier gesuchten Koeffizienten a ,a ,a ,a .
1 2 3 4
Für n>2 muß mit der Methode der kleinsten Quadrate gearbeitet werden, das heißt, es
muß
( ) ∑n ( ( ))2 ( ( ))2
Φ a ,a ,a ,a = u − a x −a y +a + v − a x +a y +a
 
1 2 3 4 j 1 j 2 j 3 j 2 j 1 j 4
j=1
( )
minimiert werden. Wir setzen zunächst die partiellen Ableitungen von Φ a ,a ,a ,a
1 2 3 4
nach a und a gleich Null:
3 4
∂Φ = ∑n 2(u −(a x −a y +a ))(−1)= 0
∂a j 1 j 2 j 3
3 j=1
∂Φ = ∑n 2(v −(a x +a y +a ))(−1)= 0
∂a j 2 j 1 j 4
4 j=1
Daraus ergibt sich:
Konforme Abbildungen, Anwendungen 5
∑n ∑n ∑n
u = a x −a y +na
j 1 j 2 j 3
j=1 j=1 j=1
∑n ∑n ∑n
v = a x +a y +na
j 2 j 1 j 4
j=1 j=1 j=1
1
Nach Multiplikation mit und den Substitutionen
n
1∑n 1∑n
x:= x , y:= y , z{ := x +iy
n j n j
j=1 j=1 Mittelwert
1∑n 1∑n
u:= u , v:= v , w{ :=u +iv
n j=1 j n j=1 j Mittelwert
ergibt sich
u = a x −a y +a
1 2 3
v = a x +a y +a
2 1 4
oder in komplexer Schreibweise:
w = az +b
Es gilt also:
Der Schwerpunkt z = x +iy wird durch die gesuchte Transformation exakt auf den Bild-
schwerpunkt w =u +iv abgebildet; der Schwerpunkt des Bildes ist das Bild des
Schwerpunktes.
Wir führen nun neue Koordinaten relativ zum Schwerpunkt ein:
ξ = x − x , η = y − y , µ =u −u , ν = v −v
j j j j j j j j
ν
y z-Ebene v w-Ebene
η
ξ
µ
x u
Koordinaten relativ zum Schwerpunkt
Damit wird der neue Ursprung zum Fixpunkt. Es bleibt ein Restansatz, bei dem das Ab-
solutglied b = a +ia entfällt:
3 4
( )( )
µ+iν= a +ia ξ+iη
1 2
µ= aξ−a η
1 2
ν= a ξ+aη
2 1
Zu minimieren ist noch:
Konforme Abbildungen, Anwendungen 6
( ) ∑n ( ( ))2 ( ( ))2
Ψ a ,a = µ − aξ −a η + ν − a ξ +aη
 
1 2 j 1 j 2 j j 2 j 1 j
j=1
( )
Nullsetzen der partiellen Ableitungen von Ψ a ,a nach a und a liefert:
1 2 1 2
∂Ψ ∑n ( ( ( ))( ) ( ( ))( ))
= 2 µ − aξ −a η −ξ +2 ν − a ξ +aη −η = 0
∂a j 1 j 2 j j j 2 j 1 j j
1 j=1
∂Ψ ∑n ( ( ( ))( ) ( ( ))( ))
= 2 µ − aξ −a η +η +2 ν − a ξ +aη −ξ = 0
∂a j 1 j 2 j j j 2 j 1 j j
2 j=1
Daraus ergibt sich:
∑n ∑n ∑n ∑n ∑n ∑n
µξ + νη = a ξ2−a ηξ +a ξη +a η2
j j j j 1 j 2 j j 2 j j 1 j
j=1 j=1 j=1 14j=41 44244j=41 43 j=1
0
∑n ∑n ∑n ∑n ∑n ∑n
− µη + νξ = −a ξη +a η2 +a ξ2+a ηξ
j j j j 1 j j 2 j 2 j 1 j j
j=1 j=1 14j2=143 j=1 j=1 14j2=143
14−4Σ 4444442444444Σ443
0
Für die gesuchten Koeffizienten a und a erhalten wir:
1 2
∑n ∑n ∑n ∑n
µξ + νη − µη + νξ
j j j j j j j j
a = j=1 j=1 und a = j=1 j=1
1 ∑n ∑n 2 ∑n ∑n
ξ2 + η2 ξ2 + η2
j j j j
j=1 j=1 j=1 j=1
1.4 Zusammenfassung
( ) ( )
Gegeben: n Punkte z x ,y , j =1,2,K,n und n Bildpunkte w u ,v , j =1,2,K,n,
j j j j j j
n>2.
Gesucht: Konforme lineare Abbildung w = f(z).
1. Mittelwerte:
1∑n 1∑n
x:= x , y:= y
n j n j
j=1 j=1
1∑n 1∑n
u:= u , v:= v
n j n j
j=1 j=1
2. Relative Koordinaten (sog. „reduzierte Koordinaten“):
ξ = x − x , η = y − y , µ =u −u , ν = v −v
j j j j j j j j
Konforme Abbildungen, Anwendungen 7
3. Koeffizienten:
∑n ∑n ∑n ∑n
µξ + νη − µη + νξ
j j j j j j j j
a = j=1 j=1 und a = j=1 j=1
1 ∑n ∑n 2 ∑n ∑n
ξ2 + η2 ξ2 + η2
j j j j
j=1 j=1 j=1 j=1
4. Abbildungsgleichungen in reduzierten Koordinaten:
µ= aξ−a η
1 2
ν= a ξ+aη
2 1
1.5 Vergleich mit Drehstreckung
Eine Drehstreckung mit dem Ursprung als Fixpunkt hat die Abbildungsgleichungen:
µ= rcosαξ−rsinαη
ν= rsinαξ+rcosαη
Dabei ist r der Streckungsfaktor und α der Drehwinkel.
y
x
Drehstreckung mit r = 0.5 und α = 45°
Der Vergleich mit unseren Abbildungsgleichungen
µ= aξ−a η
1 2
ν= a ξ+aη
2 1
liefert:
a = rcosα und a = rsinα
1 2
Damit erhalten wir für den Streckungsfaktor r
r = a2 +a2 = a
1 2
und für den Drehwinkel α:
a
tanα= 2 ⇒ α=arga
a
1