Teil 3 Projektive Abbildungen analytischer Zugang (Adobe PDF, 859.5Kb)

31 Pages·2002·1.39 MB·German

by  Hans Walser

ETH Library
Geometrie
Skript für die Vorlesung: 91-157, G, Geometrie, 86-3,
Ausgabe 2002
Educational Material
Author(s):
Walser, Hans
Publication date:
2002
Permanent link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-004377954
Rights / license:
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Hans Walser
Projektive Abbildungen, analytischer Zugang
ETH-Z
Projektive Abbildungen, analytischer Zugang ii
Inhalt
1 Analytische Beschreibung einer projektiven Abbildung.....................................1
1.1 Sonderfall einer projektiven Perspektivität.............................................. 1
1.2 Allgemeiner Fall............................................................................ 2
1.2.1 Beispiele.............................................................................4
1.3 Zusammenfassung: Analytische Beschreibung einer projektiven Abbildung......11
2 Homogene Koordinaten........................................................................12
2.1 August Ferdinand MÖBIUS................................................................12
2.2 Formeln und Methoden...................................................................14
2.2.1 Gleichung der Geraden in der Ebene............................................14
2.2.2 Affine Abbildung im Raum mit Ursprung als Fixpunkt.......................14
2.2.3 Beschränkung auf Verhältnisse..................................................14
2.2.4 Folge für die Abbildungsgleichungen...........................................15
2.2.5 Neue Bezeichnung.................................................................15
2.2.6 Raum und projektive Ebene......................................................16
2.2.7 Uneigentliche Punkte..............................................................16
2.2.8 Definition der homogenen Koordinaten.........................................17
2.2.9 Geradengleichung..................................................................18
2.2.10 Verbinden zweier Punkte........................................................18
2.2.11 Schneiden zweier Geraden......................................................20
2.3 Zusammenfassung: Homogene Koordinaten..........................................22
3 Modelle der projektiven Ebene................................................................22
3.1 Abstraktes Modell.........................................................................22
3.2 Räumliches Modell........................................................................23
3.3 Normierung ξ =1........................................................................24
3
3.4 Normierung ξ2 +ξ2 +ξ2 =1 (Einheitskugel)........................................25
1 2 3
3.5 Zusammenfassung: Modelle der projektiven Ebene...................................26
4 Affine Abbildungen als Sonderfall der projektiven Abbildungen.........................26
4.1 Der Sonderfall.............................................................................26
4.2 Doppelverhältnis und Teilverhältnis.....................................................27
4.3 Zusammenfassung: Affine Abbildungen als Sonderfall..............................28
Der vorliegende Skript-Modul dient als Arbeitsunterlage der Vorlesung Geometrie.
1995 Erstausgabe
1996 Ergänzungen
1999 Überarbeitung
2000 Neue Moduleinteilung. Ergänzungen
2002 Fehlerbereinigung
Hans Walser
[email protected]
1 Analytische Beschreibung einer projektiven Abbildung
1.1 Sonderfall einer projektiven Perspektivität
Wir behandeln zunächst den Sonderfall einer projektiven Perspektivität. Zur Konstruktion
eines geeigneten Koordinatensystems verwenden wir die Fixpunktgerade s und den Fix-
punkt S .
S
P
s
P
a
b
Koordinatensystem im Sonderfall
( )
Für den Urbildpunkt P führen wir die Koordinaten P x ,x , für den Bildpunkt P die
1 2
( )
Koordinaten P x ,x ein. Wir erhalten dann die Beziehungen:
1 2
x1 = x1
p p−x
2
x2 = − x2
q p−x
2
Projektive Abbildungen, analytischer Zugang 2
Daraus ergeben sich die Abbildungsgleichungen für eine projektive Perspektivität:
x = px1
1 p−x
2
x = −qx2
2 p−x
2
Bemerkungen:
• Die Abbildungsgleichungen sind gebrochen linear.
• Nullsetzen des Nenners (p− x = 0) liefert die Gleichung der Verschwindungsgera-
2
den.
1.2 Allgemeiner Fall
Für die Behandlung der allgemeinen projektiven Abbildungen benötigen wir folgenden
Satz: Jede projektive Abbildung ω kann dargestellt werden als Zusammensetzung einer
affinen Abbildung α und einer projektiven Perspektivität ω′, also: ω=ω′oα.
Da wir die Abbildungsgleichungen einer affinen Abbildung und einer projektiven Per-
spektivität kennen, können wir daraus die Abbildungsgleichungen für eine allgemeine
projektive Abbildung finden.
Für den Beweis des Satzes bilden wir die Eckpunkte eines Quadrates auf die Eckpunkte
eines beliebigen Viereckes ab. Dahinter steckt die Idee, die allgemeine projektive Abbil-
dung durch vier Punkte und ihre Bilder zu beschreiben, wobei die vier Urbildpunkte die
Ecken des Einheitsquadrates sind.
Projektive Abbildungen, analytischer Zugang 3
C
D C
D
B
A B
A
Projektive Abbildung eines Quadrates auf ein beliebiges Viereck
Wir konstruieren zunächst eine projektive Perspektivität ω, welche das Viereck ABCD
0
rückwärts auf ein Parallelogramm A′B′C′D′ abbildet. Das Quadrat kann dann vorwärts
mit einer affinen Abbildung α auf das Parallelogramm A′B′C′D′ abgebildet werden, und
zusammen mit der Umkehrabbildung ω′ von ω ergibt sich die gesuchte projektive Ab-
0
bildung ω =ω′oα.
α
Für die affine Abbildung α : AaA′ gelten die Abbildungsgleichungen:
x′ = b x +b x + f
1 11 1 12 2 1
x′ = b x +b x + f
2 21 1 22 2 2
ω′
Für die projektive Perspektivität ω′: A′aA haben wir die Abbildungsgleichungen:
x = px1′
1 p−x′
2
x = −qx2′
2 p−x′
2
Projektive Abbildungen, analytischer Zugang 4
Durch Einsetzen ergeben sich für die Abbildungsgleichungen für die allgemeine projektive
Abbildung ω. Diese sind wiederum gebrochen linear:
Abbildungsgleichungen einer projektiven Abbildung ω:
a x +a x +a
x = 11 1 12 2 13
1 a x +a x +a
31 1 32 2 33
a x +a x +a
x = 21 1 22 2 23
2 a x +a x +a
31 1 32 2 33
Bemerkungen:
1. Nullsetzen des Nenners liefert wiederum die Gleichung der Verschwindungsgeraden.
( )
2. Die Matrix a hat zwar neun Elemente; wegen der Normierungsmöglichkeit durch
ij
Kürzen oder Erweitern enthält sie allerdings nur acht wesentliche Elemente. Dies muss
auch so sein, da eine projektive Abbildung durch vier Punkte und ihre Bilder gegeben
ist, also durch acht Informationen.
1.2.1 Beispiele
1.2.1.1 Vier Punkte und ihre Bilder gegeben
ω
Als Beispiel studieren wir die projektive Abbildung ω mit O(0,0)aO(10,2),
ω ω ω
A (1,0)aA(12,6), B (0,1)aB(6,9), C (1,1)aC(8,18).
Projektive Abbildungen, analytischer Zugang 5
x
2
C
10
B
A
B C
O
x
O A 1
10
Beispiel
Projektive Abbildungen, analytischer Zugang 6
Mit der Normierung a =1 erhalten wir durch Einsetzen der Koordinaten der gegebenen
33
Punkte und ihrer Bilder die Abbildungsmatrix:
a a a   0 −6 10
11 12 13
   
a a a = 3 4 2
 21 22 23  
a a a  −1 −1 1
31 32 33 6 3
Die Brüche können mit der Normierung von zum Beispiel a = −6 zum Verschwinden
33
gebracht werden. Wir erhalten dann die neue Abbildungsmatrix
a a a   0 36 −60
11 12 13
a a a  =−18 −24 −12
 21 22 23  
a a a   1 2 −6
31 32 33
und damit die Abbildunggleichungen:
x = 36x2−60
1 x +2x −6
1 2
x = −18x1−24x2−12
2 x +2x −6
1 2
Daraus ergibt sich für die Verschwindungsgerade die Gleichung: x +2x −6= 0
1 2
Für die Umkehrabbildung erhalten wir durch Auflösen nach x und x die Gleichungen:
1 2
x = −14x1−8x2+156
1 x −3x −54
1 2
x = 10x1−5x2−90
2 x −3x −54
1 2
Daraus ergibt sich für die Fluchtgerade die Gleichung: x −3x −54 = 0
1 2
Durch Abbilden der Nachbarquadrate des Einheitsquadrates ergibt sich ein sogenanntes
MÖBIUS-Netz, das projektive Bild des Quadratnetzes.
Projektive Abbildungen, analytischer Zugang 7
x
2
C
10
B
A
O
B C
x
O A 1
10
F l u c h t g e r a d e
MÖBIUS-Netz