Table Of ContentP. Hagedorn · S. Otterbein
Technische
Schwingungslehre
Lineare Schwingungen diskreter
mechanische Systeme
Mit 184 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo 1987
Peter Hagedorn
Dr./Univ. de Sao Paulo, Professor fUr Mechanik an der
Technischen Hochschule Darmstadt
Dr.-log. Stefan Otterbein
HeidestraBe 45,7000 Stuttgart30
ISBN-13:978-3-540-18096-8 e-ISBN-13:978-3-642-83164-5
DOl: 10.1007/978-3-642-83164-5
CIP-Code-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Hagedorn, Peter:
Technische Schwingungslehre: lineare Schwingungen diskreter mechan. Systeme/
P. Hagedorn; S. Otterbein.-
Berlin; Heidelberg; NewY ork; London; Paris; Tokyo: Springer, 1987
ISBN-13:978-3-540-1S096-S
NE: Otterbein, Stefan.
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© Springer-Verlag Berlin, Heidelberg 1987
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2160/3020-543210
Vorwort
Die Entwicklung der Rechenmoglichkeiten in den letzten Jahrzehnten hat die an
die Ingenieurausbildung zu stellenden Anforderungen geandert: Es ist heute
ohne prinzipielle Schwierigkeiten moglich, selbst an einem Heimcomputer das
dynamische Verhalten auch groBer mechanischer Systeme zu simulieren, zumindest
fUr lineares Systemverhalten und solange die Modellbildung befriedigend ist.
Die Systeme mit "vielen Freiheitsgraden" sind aber in alteren LehrbUchern der
Technischen Schwingungslehre ein Thema, das oft nur am Rande behandelt wird.
Auch die FOURIERtransformation, die heute aus Laborpraxis und Berechntmgen
- besonders in ihrer diskreten Form - nicht mehr wegzudenken ist, konunt in
vielen LehrbUchern zu kurz. Die vorliegende Technische SchwingungsLehre will
hier eine LUcke schlieBen. Dabei sind wir bemliht, einen Mittelweg einzuschla
gen, der zwar mathematische Strenge - sowei t moglich und zum vollstandigen
Verstandnis notwendig - fordert, jedoch gleichzeitig Mathematik nicht zum
Selbstzweck werden laBt, sondern inuner die Beschreibung des dynamischen
Verhaltens physikalischer Systeme zum Ziel hat. Wer weiB, welches Unheil die
unbedachte Anwendung nichtverstandener Rechenprogranune anrichten kann und auch
inuner wieder anrichtet, wird die Notwendigkeit vertiefter theoretischer Grund
kenntnisse anerkennen.
Diese Anforderungen haben sich in den Studienplanen der Diplom-Ingenieu
re an allen unseren Technischen Hochschulen und Universitaten niedergeschlagen
und das Vor lesungsangebot in den theoretisch orientierten Fachern, zu denen
die Technische Schwingungslehre oder Systemdynamik zahlt, ist heute an vielen
Orten umfassender als vor einigen Jahrzehnten. An der TH Darmstadt z.B. wird
die Technische Schwingungslehre dreisemestrig gelesen, und zwar fUr Studenten
der Fachrichtungen Mechanik, Maschinenbau, Bauingenieurwesen, Elektrotechnik,
Physik und Mathematik. Dabei umfaBt die Technische Schwingungslehre I die
Behandlung der Schwingungen diskreter mechanischer Systeme, d.h. von Systemen
mit endlich vie len Freiheitsgraden. In der Technischen Schwingungslehre II
werden dagegen kontinuierliche mechanische Systeme behandelt, wobei Aspekte
der Wellenausbreitung, des Energieflusses usw. berUcksichtigt werden. Auch die
verschiedenen Arten der Diskretisierung, d.h. der Abbildung kontinuierlicher
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auf diskrete Systeme. ist Gegenstand der Sehwingungslehre II. Die Vorlesung
des dritten Semesters besebaftigt sieh mit der Theorie Niehtlinearer
Sehwingungen.
Das vorliegende Bueh entsprieht etwa dem Inhalt der an der Teehnisehen
Hoehsehule Darmstadt yom ersten Verfasser seit zehn Jahren gehaltenen Vorle
sung Teehnisehe Sehwingungslehre I. Es werden also die Sehwingungen von
Systemen mit endlieh vielen Freiheitsgraden untersueht. wobei jedoeh die
Modellbildung und das Aufstellen der Bewegungsgleiehungen nieht im Vordergrund
steht. sondern gegenUber der Erklarung der Phiinomene und der mathematisehen
Behandlung etwas in den Hintergrund rUekt. Das Bueh riehtet sieh sowohl an
Studenten der genannten Faehriehtungen. als aueh an den Ingenieur in der
Praxis. Es gliedert sieh in fUnf Kapitel.
1m ersten Kapi tel wird eine Einftihrung in die Teehnisehe Sehwingungs
lehre gegeben. die "Kinematik" der Sehwingungen behandel t. und das mehr oder
weniger elementare mathematisehe RUstzeug bereitgestellt. Dazu gehort insbe
sondere der zentrale Begriff der harmonisehen Sehwingung. die - neben ihrer
selbstiindigen Bedeutung - als Baustein komplizierterer Zeitfunktionen dient:
So werden periodisehe Sehwingungen als Uberlagerung abziihlbar unendlieh vieler
Harmoniseher (FOURIERreihen) dargestellt. die Deutung niehtperiodiseher
Sehwingungen als Uberlagerung Uberabziihlbar unendlieh vieler Harmoniseher
(FOURIERintegrale) wird allerdings erst in Kapi tel 5 gegeben. Zu diesem
Verstiindnis der FOURIERintegrale bzw. der FOURIERtransformation sind die
versehiedenen Darstellungen (reeller und komplexer) harmoniseher Sehwingungen
wiehtig. die daher im ersten Kapi tel vielleieht eingehender als in anderen
LehrbUehern Beaehtung finden.
Das zweite Kapitel behandelt die Sehwingungen von Systemen mit nur einem
Freiheitsgrad. Dabei werden zuniiehst Phasenkurven und die Linearisierung
niehtlinearer Probleme erklart. dann die Losungseigensehaften der linearen
Sehwingungsgleiehung fUr freie und erzwungene Sehwingungen bei harmoniseher
Erregung besproehen und damit verbundene physikalisehe Begriffe. wie Leistung
und Arbei t. dynamisehe Naehgiebigkeit und meehanisehe Impedanz sowie unter
sehiedliehe Iliimpfungsarten diskutiert. Erste Anwendungen ergeben sieh beim
Problem der Sehwingungsisolierung. AnsehlieBend stellen wir bei periodiseher
Erregung die beiden - fUr die Sehwingungslehre typisehen - Vorgehensweisen zur
Behandlung erzwungener Sehwingungen gegenUber: einersei ts die Verfahren im
Zei tbereieh. anderersei ts die im Frequenzbereieh. Den AbsehluB bildet die
niehtperiodisehe Erregung. wobei sieh die Darstellung in diesem Kapi tel auf
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den Zeitbereich beschrankt. (Die Methoden im Frequenzbereich. die den Begriff
der FOURIERintegrale benotigen. werden dann in Kapitel 5 bereitgestellt.) Dazu
flihren wir die Sprung- und StoBantwort ein und erklaren die Losungsdarstellun
gen durch das DUHAMEL- und das Faltungsintegral als Anwendung des Superposi
tionsprinzips.
Das dri tte Kapitel nimmt eine Zwischenstellung ein: Es befaBt sich
ausschlieBlich mit Systemen mit zwei Freiheitsgraden. Dabei werden neue Phano
mene. die beim Ubergang von nur einem auf mehrere (hier zwei) Freiheitsgrade
moglich sind. auf einsichtige Weise erklart und anschaulich dargestellt. Aus
didaktischen GrUnden verwenden wir hier noch keine Matrizen- und Vektor
schreibweise. Die genannten neuen Phanomene beinhal ten z.B. gyroskopische
Terme. die ja bei nur einem Freiheitsgrad nicht moglich sind. und die Tat
sache. daB bei entsprechenden Dampfungsgesetzen keine Entkopplung der einzel
nen Freiheitsgrade im Reellen mehr moglich ist. Unter den Anwendungsbeispielen
finden sich die kritische Drehzahl eines LAVAL-Laufers sowie das Problem der
Schwingungstilgung.
1m vierten Kapitel schlieBlich behandeln wir Systeme mit endlich vielen
Freiheitsgraden. Hier benutzen wir erstmals die Matrizenschreibweise. und es
werden die meisten der in den vorangehenden Kapiteln schon erarbeiteten Zusam
menlilinge nochmals zusammengefaBt und verallgemeinert. Besondere Beachtung
verdienen dabei die Extremaleigenschaften der Eigenwerte und die einfachen
M"dglichkei ten. die sie dem konstruierenden Ingenieur oft bieten. urn Eigen
frequenzen zurnindest grob abzuschatzen. Eine Einflihrung in die nurnerischen
Verfahren zur Losung der Eigenwertprobleme wird ebenfalls gegeben. Das Kapitel
schlieBt mft einem Abschni tt tiber die Theorie der experimentellen Modalana
lyse. die ja inzwischen in fast aIle Schwingungslabors Eingang gefunden hat;
man stellt aber immer wieder fest. daB auch erfahrenen Praktikern die theore
tischen Zusammenlilinge hier nicht vollstandig bekannt sind. was u.U. zu
falschen Schltissen aus den Versuchsergebnissen flihren kann.
1m flinften Kapitel wird die FOURIERtransformation und ihre Anwendung auf
Probleme der Schwingungslehre behandelt. Seit der Wiederentdeckung des AIgo
ri thmus der schnellen FOURIERtransformation (FFT). der ja im Prinzip schon
GAUSS bekannt war. wird in den schwingungstechnischen MeB- und Auswertegeraten
mit gutem Grunde zunehmend davon Gebrauch gemacht. und zumindest die Grund
lagen sollten heute jedem sich mit dynamischen Problemen befassenden Ingenieur
gelaufig sein. Die wichtigsten Eigenschaften der FOURIERtransformation werden
wiedergegeben und anhand von Beispielen erlautert. Ais Anwendung besprechen
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wir dann die Behandlung erzwungener Schwingungen im Frequenzbereich und
beleuchten den Zusammenhang mit den - in Kapitel 2 besprochenen - Methoden im
Zeitbereich. AnschlieBend fUhren wir die Korrelationsfunktion und Leistungs
spektren ein. SchlieBlich wird eine kurze EinfUhrung in die Theorie der
Zufallsschwingungen gegeben. wie sie zur Beschreibung winderregter Gebaude
schwingungen oder auch von Fahrzeugschwingungen hiiufig verwendet wird. Wir
beschriinken uns dabei auf die Behandlung mechanischer Systeme mi t nur einem
Freiheitsgrad im Spektralbereich. Die Erweiterung auf groBere Systeme ist aber
elementar durchfUhrbar.
Am Ende eines jeden Kapitels ist jeweils eine Reihe von Ubungsaufgaben
angegeben. oft mit Hinweisen zu ihrer Losung. Viele dieser Aufgaben stammen
aus den zu der Darmstadter Vorlesung gehorenden Hauslibungen. andere sind neu
und gelegentlich nicht ganz elementar. Auch die Literatur ist nach Kapi teln
getrennt angegeben.
Dieses Buch ware ohne die Mitwirkung von jetzigen und frtiheren Mitarbei
tern nicht moglich gewesen. Insbesondere danken wir den Herren Dr.-Ing. K.
Kelkel. Dr.-Ing. K. Krapf. Dr.-Ing. K.E. Meier-Dornberg. Dipl.-Ing. U. Neu
mann. Dipl.-Ing. J. Schmidt. Dipl.-Ing. S. Spar schuh und Dr.-Ing. J. Walla
sehek sowie den lnsti tutssekretarinnen Frau R. Popp und Frau L. Kolb. Die
Herren Dipl.-Ing G. Biedenbaeh und cand.-ing M. Kraus haben das Manuskript neu
gesehrieben und die technische Dberarbeitung durchgeflihrt; ihre Hilfsbereit
sehaft. ihre Mi tarbei t und ihr stetes Engagament sind nieht hoch genug
einzusehiitzen. Dem Springer-Verlag danken wir fUr die gute Zusammenarbeit.
Darmstadt. im Juli 1987 P. Hagedorn
S. Otterbein
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe 1
1.1 Einflihrung 1
1.2 Periodische Schwingungen 6
1.3 Harmonische Schwingungen 8
1.3.1 Die Parameter harmonischer Schwingungen 8
1.3.2 Komplexe Schreibweise harmonischer Schwingungen 13
1.3.3 tiberlagerung harmonischer Schwingungen 21
1.4 Darstellung periodischer Funktionen durch FOURIERreihen 26
1.4.1 FOURIERkoeffizienten. Amplituden- und Phasenspektrum 26
1.4.2 Komplexe FOURIERreihen 34
1.5 Aufgaben zu Kapitel 1 41
Literatur zu Kapitel 1 45
2 Systeme mit einem Freiheitsgrad 46
2.1 Die Methode der kleinen Schwingungen 46
2.2 Phasenkurven . 51
2.3 Freie ungedampfte Schwingungen 56
2.4 Freie gedampfte Schwingungen 63
2.5 Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Erregung 77
2.5.1 Harmonische Kraftanregung 77
2.5.2 Leistung und Arbeit bei harmonischer Kraftanregung 91
2.5.3 Andere Arten harmonischer Erregung 97
2.5.4 Mechanische Impedanz 109
2.5.5 Strukturdampfung und andere Dampfungsarten 117
2.6 Erzwungene Schwingungen bei periodischer Erregung 122
2.6.1 Behandlung im Zeitbereich 122
2.6.2 Behandlung im Frequenzbereich 126
2.7 Erzwungene Schwingungen bei beliebiger Erregung 132
x
2.7.1 Sprung- und StoBantwort 132
2.7.2 DUHAMEL- und Faltungsintegral 139
2.8 Aufgaben zu Kapitel 2 148
Literatur zu Kapitel 2 166
3 Systeme mit zwei Freiheitsgraden 168
3.1 Freie ungedampfte Schwingungen 168
3.2 Erzwungene ungedampfte Schwingungen bei harmonischer Erregung 185
3.3 Freie ged3rnpfte Schwingungen 190
3.4 Erzwungene gedampfte Schwingungen 196
3.5 Entartete FaIle . 201
3.5.1 Der Fall verschwindender Eigenwerte: semidefinite
potentielle Energie 201
3.5.2 Systeme mi t "halben Freihei tsgraden" 205
3.6 Gyroskopische Terme 208
3.7 Beispiele und Anwendungen 216
3.7.1 Kritische Drehzahl eines LAVAL-Laufers: Beispiel
eines Systems mit einem doppelten Eigenwert 216
3.7.2 Schwingungstilgung . 220
3.8 Aufgaben zu Kapitel 3 227
Literatur zu Kapitel 3 233
4 Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden 235
4.1 Freie ungedampfte Schwingungen 235
4.1.1 Das Eigenwertproblem 235
4.1.2 Extremaleigenschaften der Eigenwerte, EinschlieBungssatz 243
4.1.3 Das RITZ-Verfahren . 264
4.1.4 Numerische Verfahren zur Losung der Eigenwertprobleme 267
4.2 Freie gedampfte Schwingungen 278
4.3 Erzwungene Schwingungen 287
4.3.1 Harmonische Erregung 287
4.3.2 Allgemeine periodische Erregung 295
4.4 Systeme mit gyroskopischen Termen 295
4.5 Systeme mit "zirkulatorischen" Kraften 304
4.6 Experimentelle Modalanalyse 310
4.7 Aufgaben zu Kapitel 4 316
Literatur zu Kapitel 4 321
XI
5 Die FOURIERtransformation und ihre Anwendungen in der
Schwingungslehre 323
5.1 Das FOURIERintegral als Verallgemeinerung der FOURIERreihen 323
5.2 Die wichtigsten Eigenschaften der FOURIERtransformation 339
5.3 Behandlung erzwungener Schwingungen im Frequenzbereich 373
5.4 Kreuzkorrelationsfunktion und Autokorrelationsfunktion 391
5.5 Anwendung auf Zufallsschwingungen . 407
5.5.1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 407
5.5.2 Stochastische Prozesse und Schwingungen . 426
5.5.3 Behandlung von Zufallsschwingungen mechanischer Systeme
im Spektralbereich . 435
5.6 Aufgaben zu Kapitel 5 441
Literatur zu Kapitel 5 454
Anhang: Korrespondenzen der FOURIER transformation 456
Namens- und Sachverzeichnis . 459
