Table Of ContentHolzmann/Meyer 18chumpich
Technische Mechanik
Teil 3 Festigkeitslehre
Von Prof. Dr.-Ing. Günther Holzmann
Fachhochschule für Technik EsslingenjNeckar
unter Mitwirkung von Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer
Fachhochschule Hamburg
und Prof. Dipl-Ing. Helmut Faiss
Fachhochschule für Technik EsslingenjNeckar
4., durchgesehene Auflage
Mit 297 Bildern, 139 Beispielen und 108 Aufgaben
EI3
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1979
Inhaltsübersicht der Teile 1 und 2 des Gesamtwerkes:
Teil 1 Statik Teil 2 Kinematik und Kinetik
Von Professor Dr.-Ing. Georg Schumpich, Von Professor Dr.-Ing. Heinz Meyer,
Hannover, unter Mitwirkung von Osnabrück, unter Mitwirkung von Professor
Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer, Hamburg Dr.-Ing. Georg Schumpich, Hannover
1. Einführung 1. Kinematik des Punktes
2. Grundbegriffe und Axiome der Statik 2. Kinetik des Massenpunktes
starrer Körper 3. Kinetik des Massenpunkthaufens
3. Ebenes Kräftesystem mit einem gemein- 4. Drehung eines Körpers um eine feste Achse
samen Angriffspunkt 5. Kinematik der Scheibe
4. AlIgemeines ebenes Kräftesystem 6. Kinetik des Körpers
5. Systeme aus starren Scheiben 7. Stoß
6. Einführung in die räumliche Statik 8. Mechanische Schwingungen
7. Schwerpunkt
8. SchniUgrößen des Balkens
9. Ebene Fachwerke
10. Reibung
CIP·Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Holzmann, Günther:
Technische Mechanik / Holzmann-Meyer-Schumpich. -
Stuttgart : Teubner.
NE: Meyer, Heinz:; Schumpich, Georg:; Holzmann
Meyer-Schumpich, ...
Teil 3. Festigkeitslehre / von Günther Holzmann.
Unter Mitw. von Hans-Joachim Dreyer u. Helmut
Faiss. - 4., durchges. Auf!. - 1979.
ISBN 978-3-519-36507-5 ISBN 978-3-663-18597-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-18597-0
Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, besonders die der übersetzung, des Nach
drucks, der Bildentnahme, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege, der
Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei Verwertung von Teilen des Werkes,
dem Verlag vorbehalten.
© Springer Fachmedien Wiesbaden 1975
Ursprünglich erschienen bei B.G. Teubner, Stuttgart 1975.
Umschlagg,staltung: W. Koch, Sindelfingen
Vorwort
Die Festigkeitslehre stützt sich auf die Erkenntnis der Elastostatik (Elastizitätstheorie);
sie basiert auch auf den Erfahrungen der Werkstoffmechanik. Im Gegensatz zur
Statik und Kinetik, die - ausgehend von wenigen Grundtatsachen - klar gegliederte
Wissensgebiete sind, stellt die Festigkeitslehre als Lehre von den inneren Kräften fester
Körper heute noch kein derartig systematisch aufgebautes Lehrgebäude dar. Sie ent
wickelte sich aus dem experimentellen Auswerten von Erfahrungen über die Haltbarkeit
von Bauteilen und versuchte dann, diese Erfahrungen theoretisch zu begründen. In der
Elastostatik rechnet man mit idealen homogenen festen Körpern, während Bauteile
des Ingenieurs aus den realen Werkstoffen der Technik bestehen; die Art des möglichen
Versagens dieser Bauteile unter dem Einfluß von Kraftwirkungen ist für die Festig
keitslehre von besonderer Bedeutung. Die in Statik und Kinetik ausreichende Vorstellung
vom starren Körper kann in der Festigkeitslehre nicht aufrechterhalten werden, der
experimentelle Zusammenhang zwischen Kraftwirkung und Verformung ist ihre
wichtigste Voraussetzung.
Hier wurde eine gut überschaubare Stoffgliederung angestrebt. Beginnend mit der
Herleitung der Berechnungsgleichungen für die einfachen Grundbeanspruchungen in stab
förmigen Bauteilen, wird dem Leser bereits in Abschnitt 3 das Werkstoffverhalten
bei ruhender und schwingender Beanspruchung unter Berücksichtigung der Kerbwirkung
und sonstiger Einflüsse nahegebracht. Gesichtspunkte des Werkstoffverhaltens werden
auch in den folgenden Abschnitten immer wieder herangezogen. Stabilitätsprobleme,
soweit sie für den Maschinenbau wichtig sind, enthält Abschnitt 10. In Abschnitt 11 sind
dickwandige Hohlzylinder unter Innen-und Außendruck behandelt. Für die Auswertung
von Dehnungsmessungen (Abschn. 9.3) und das Modellverfahren der Spannungsoptik
(Abschn. 12) werden die wichtigsten Grundtatsachen mitgeteilt. In Abschnitt 13, der
für die 3. Auflage neu hereingenommen worden ist, wird eine Einführung in die Methode
der Finiten Elemente oder kurz Finite-Elemente-Methode (FEM) gebracht. Die Methoden
der höheren Mathematik sind dort, wo es sinnvoll ist, herangezogen worden. Die Richt
linie VDI 2226 ist wegen der für Maschinenbauer noch ungewöhnlichen Behandlung der
wiederholten Beanspruchung nicht zugrunde gelegt worden. Auf die Berücksichtigung
der Formdehngrenze bei ungleichförmiger Beanspruchung wurde dagegen hingewiesen.
Die Beispiele und Aufgaben sollen vor allem die Verbindung mit der praktischen
Ingenieurarbeit herstellen. Bewußt habe ich darauf verzichtet, konstruktive Gesichts
punkte zu stark zu betonen. Die Formelzeichenwahl geschah nach den Empfehlungen
von DIN 1304, 1350 und 5497. In Anpassung an die im Gesetz über Einheiten im Meß
wesen vom 2.7. 1969 und seiner Ausführungsverordnung vom 26.6. 1970 genannten
Fristen für die Einführung der Gesetzlichen Einheiten, deren Grundlage das "Inter
nationale Einheitensystem (SI)" bildet, sind ab der 3. Auflage die Einheiten des Inter-
IV Vorwort
nationalen Einheitensystems mit Newton (N) als Einheit der Kraft in den Zahlenbeispielen
eingeführt worden.
Herr Dr.-Ing. H.-J. Dreyer, Hamburg, hat den Abschnitt 10, Knicken und Beulen,
verfaßt, das gesamte Manuskript lektoriert und die Korrekturen gelesen. Ihm sowie den
beiden Mitverfassern des Gesamtwerkes "Technische Mechanik" danke ich herzlich für
viele Anregungen und kritische Hinweise.
Ab der 3. Auflage wurde auf das graphische Verfahren zur Ermittlung von Flächen
momenten 2. Ordnung (Kreis von Mohr-Land) und seine Anwendung verzichtet, da
es in der Praxis nur noch wenig gebraucht wird. Außerdem wurde die Berechnung
rotierender Scheiben fortgelassen. Dafür ist als 13. Abschnitt eine Einführung in die
Methode der Finiten Elemente neu aufgenommen worden, die von Herrn Prof. DipI.-Ing.
H. Fa iss, Esslingen, verfaßt wurde. Für die sorgfältige und klare Darstellung des schwie
rigen Stoffgebietes danke ich ihm herzlich.
Die Methode der Finiten Elemente gewinnt in der Praxis für die Festigkeitsberechnung
komplizierter BauteiIe zunehmend an Bedeutung, da die numerische Rechnung für das
Lösen des dabei zu entwickelnden Gleichungssystems mit oft Hunderten oder Tausenden
von Unbekannten heute in den zur Verfügung stehenden leistungsfähigen elektronischen
Rechenanlagen keine Schwierigkeit mehr bereitet. Verfasser und Verlag waren sich
einig, daß die Aufnahme dieser bei vielen Ingenieuren und in vielen AusbiIdungsstätten
noch weitgehend unbekannten Methode in ein modemes Lehrbuch notwendig ist, aber
naturgemäß nur eine knappgefaßte Einführung sein kann. Es wurde eine Darstellung
der Theorie auf elementarer Grundlage versucht, da die Rückbesinnung auf die elemen
taren Zusammenhänge am besten geeignet ist, den Anschluß an die unmittelbare Erfah
rung zu gewinnen. An der Fachhochschule für Technik Esslingen ist das Gebiet als Wahl
pflichtfach in das Vorlesungsangebot aufgenommen und seit mehr als einem Jahrzehnt
an vielen Ingenieurabschlußarbeiten erprobt worden. Da in vielen Industriebetrieben mit
dieser Methode seit Jahren erfolgreich gearbeitet wird, erschien es uns an der Zeit, sie
Studenten und den in der Praxis stehenden Ingenieuren durch dieses Lehrbuch bekannt
zu machen. Viele positive Reaktionen aus dem Benutzerkreis zeigten, daß dieser Schritt
richtig war.
In der vorliegenden 4. Auflage wurden bekannt gewordene Druckfehler beseitigt sowie
sachliche und stilistische Verbesserungen vorgenommen.
Anregungen zur Verbesserung des Buches und Hinweise auf Unstimmigkeiten nehme
ich immer gerne entgegen.
Esslingen/Neckar, im Sommer 1979 Günther Holzmann
Inhalt
Formelzeichen . x
1. Einführung
1.1. Aufgaben der Festigkeitslehre .
1.2. Beanspruchungsarten . . . . . 2
1.3. Schnittmethode - Spannungen - Krafteinleitung . 4
1.4. Formänderungen - Zusammenhang mit den Spannungen. 7
2. Zug- und Druckbeanspruchung
2.1. Zug- und Druckspannungen. 8
2.2. Zugversuch. . . . . . . . 9
2.2.1. Spannungs-Dehnungs-Diagramm - Hookesches Gesetz. 9
2.2.2. Elastisches Verhalten - Federung - Formänderungsarbeit 11
2.2.3. Kennwerte - Zähes und sprödes Werkstoffverhalten . . 14
2.3. Druckversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1. Spannungs-Dehnungs-Diagramm - Hookesches Gesetz. 16
2.3.2. Kennwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4. Berechnung von Bauteilen unter Zug- und Druckbeanspruchung . 18
2.4.1. Einfache Belastungsfäl1e. . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2. Flächenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.3. Spannungen in dünnwandigen zylindrischen Ringen. 25
2.4.4. Wärmespannungen - Schrumpfspannungen . . 27
2.4.5. Längs der Stabachse veränderliche Spannungen. 30
2.4.6. Aufgaben zu Abschnitt 2.4. . . . . . . . . . 34
3. Zulässige Beanspruchung und Sicherheit - Beurteilung des Versagens
3.1. Ruhende oder statische Beanspruchung. . . ..... 36
3.2. Schwingende oder dynamische Beanspruchung. . . .,. 37
3.2.1. Grenzspannung bei dynamischer Beanspruchung . 37
3.2.2. Durch die elementare Berechnung nicht erfaßte Einflüsse 41
3.3. Anwendung auf Zug-Druck-Beanspruchung . 45
3.4. Aufgaben zu Abschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
VI Inhalt
4. Biegebeanspnachung gerader Balken
4.1. Flächenmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1. Begriffsbestimmung. . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.2. Flächenmomente 2. Ordnung für einfache Flächen 54
4.1.3. Abhängigkeit der Flächenmomente 2. Ordnung von der Lage des
Koordinatensystems . . . . . . . . 57
4.1.4. Flächenmomente für beliebige Flächen 66
4.1.5. Aufgaben zu Abschnitt 4.1. 69
4.2. Gerade Biegung. . . . . . . . . . . . . 70
4.2.1. Reine Biegung. . . . . . . . . . . 71
4.2.2. Biegung bei veränderlichem Biegemoment 78
4.2.3. Träger und Wellen gleicher Biegebeanspruchung 82
4.2.4. Aufgaben zu Abschnitt 4.2. . . 85
4.3. Schiefe oder allgemeine Biegung ... 87
4.3.1. Biegespannungen und NuIlinie . 87
4.3.2. Aufgaben zu Abschnitt 4.3 . . . 92
4.4. Zulässige Spannung und Sicherheit bei Biegung 93
4.4.1. Grenzspannung . . . . . . . . . . . 93
4.4.2. Kerbwirkung . . . . . . . . . . . . 94
4.4.3. Versagen bei ruhender und schwingender Beanspruchung 94
4.4.4. Anwendung auf Biegebeanspruchung 95
4.4.5. Aufgaben zu Abschnitt 4.4. . . . . . . . . . . . . . 98
5. Durchbiegung gerader Balken. Elastische Linie
5.1. Krümmung der Biegelinie . . . . . . . . 99
5.2. Durchbiegung - Differentialgleichung der Biegelinie . 100
5.3. Mohrsche Analogie . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4. Zeichnerische Ermittlung der Durchbiegung nach Mohr. 114
5.5. Formänderungsarbeit bei der Biegung - Biegefedern . . 118
5.6. Vergleichende Beurteilung von Biegespannung und Durchbiegung 122
5.7. Durchbiegung bei schiefer Biegung. 124
5.8. Aufgaben zu Abschnitt 5 . . . . . 125
6. Statisch unbestimmte Systeme
6.1. Allgemeines. . . . 127
6.2. Starre Lagerung. . . . . 127
6.3. Elastische Lagerung . . . 132
6.4. Einfluß der statisch unbestimmten Lagerung bei Wellen und Trägem auf
die Biegebeanspruchung und die Durchbiegung 134
6.5. Geschlossene Rahmen . 139
6.6. Aufgaben zu Abschnitt 6 . . . . . . . . . . 141
Inhalt VII
7. Verdrehbeanspruchung (Torsion) prismatischer Stäbe
7.1. Verdrehbeanspruchung gerader Stäbe. . . . . 143
7.1.1. Schubspannung und Schubverformung - Hookesches Gesetz -
Formänderungsarbeit . . . . . . . . 144
7.1.2. Torsionsstäbe mit Vollkreisquerschnitt .. 145
7.1.3. Torsionsstäbe mit Kreisringquerschnitt .. 148
7.1.4. Torsionsstäbe mit beliebiger Querschnittform 152
7.1.5. Kerbwirkung, Grenzspannungen und zulässige Spannung bei Torsion 157
7.1.6. Formänderungsarbeit bei der Verdrehung - Drehstabfedern . . .. 159
7.1.7. Vergleichende Beurteilung von Schubspannung und Torsionswinkel . 162
7.1.8. Aufgaben zu Abschnitt 7.1. . . . . 163
7.2. Verdrehbeanspruchung gekrümmter Stäbe. 164
7.2.1. Zylindrische Schraubenfedern 164
7.2.2. Aufgaben zu Abschnitt 7.2. 169
8. Schubbeanspruchung durch Querkräfte
8.1. Einfache Scherung. . . . . . . 171
8.2. Schubspannungen durch Querkräfte bei der Biegung . . . . . . . . .. 173
8.3. Abschätzung der Größenordnung der Schubspannung im Verhältnis zur
Biegespannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.4. Schubspannungen in Profilträgern - Schubmittelpunkt . 178
8.5. Berechnung von genieteten und geschweißten Trägem 181
8.6. Schubverformung . . . 183
8.7. Aufgaben zu Abschnitt 8 . . 185
9. Zusammengesetzte Beanspruchung
9.1. Einteilung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.1.1. Zusammengesetzte Zug-oder Druck-und Biegebeanspruchung . 187
9.1.2. Biegung stark gekrümmter Träger . . . . . . . . . 193
9.1.3. Zusammengesetzte Schub-und Verdrehbeanspruchung 199
9.1.4. Aufgaben zu Abschnitt 9.1. . . . . . . . . . . . . 200
9.2. Der Spannungszustand - Geometrie der Spannungen . . . 201
9.2.1. Geschlossene dünnwandige zylindrische und kugelförmige Behälter
unter innerem und äußerem Überdruck . . . . . 203
9.2.2. Ebener - zweiachsiger - Spannungszustand . . 204
9.2.3. Räumlicher - dreiachsiger - Spannungszustand . 216
9.2.4. Aufgaben zu Abschnitt 9.2. . . . . . . . . . . 217
9.3. Formänderungen des ebenen Spannungszustands . . . . 218
9.3.1. Allgemeines Hookesches Gesetz für den ebenen Spannungszustand 218
9.3.2. Beziehungen zwischen den Werkstoffkonstanten E, G und JA 220
9.3.3. Volumenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 221
VIII Inhalt
9.3.4. Abschätzung der Größenordnung der Querzahl p. . 221
9.3.5. Dehnungsmessungen - Berechnung der Spannungen 222
9.3.6. Aufgaben zu Abschnitt 9.3. . . . . . . . . . . . 225
9.4. Festigkeitshypothesen - Versagen bei mehrachsiger Beanspruchung 225
9.4.1. Vergleichsspannung t1v • • • • • • • • • • • • • • • 227
9.4.2. Berechnungsgleichungen - Korrekturzahl nach C. Bach. 228
9.4.3. Aufgaben zu Abschnitt 9.4. . . . . . . . . . . . . . 233
10. Knicken und Beulen
10.1. Eulersche Knicklast 235
10.1.1. Außermittiger Kraftangriff 235
10.1.2. Mittiger Kraftangriff . . . 237
10.1.3. Andere Randbedingungen 239
10.2. Knickspannungsdiagramm und ru-Verfahren. 242
10.2.1. Knickspannungsdiagramm . 242
10.2.2. ru-Verfahren ....... . 245
10.3. Beulung dünnwandiger Hohlkörper . 247
10.3.1. Kreiszylinder unter Axialdruck 247
10.3.2. Konstanter Außendruck 248
10.4. Aufgaben zu Abschnitt 10 ..... 250
11. Rotationssymmetrischer Spannungszustand in Scheiben
11.1. Herleitung der Grundgleichungen 251
11.1.1. Gleichgewichtsbedingung . . . . . . . . 251
11.1.2. Verträglichkeitsbedingung . . . . . . . 252
11.2. Dickwandige zylindrische Behälter unter Innen- und Außendruck 253
11.2.1. Spannungsverteilung - Vergleichsspannung . . . . . . 254
11.2.2. Fließbeginn - vollplastischer Grenzzustand . . . . . . 259
11.2.3. Näherungsrechnung im teilplastischen Bereich - Berechnungs-
vorschriften . . . . . . . . . . . . . . . . 261
11.2.4. Mehrlagenbehälter - Schrumpfverbindungen . 264
11.2.5. Aufgaben zu Abschnitt 11.2. . . . . . . . . 268
12. Modellverfahren der Festigkeitslehre
12.1. Spannungsoptik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
13. Finite-Elemente-Methode
13.1. Grundbegriffe ... 276
13.2. Einfache Elemente . 278
13.2.1. Prismatisches Stabelement 278
13.2.2. Dreieckiges Scheibenelement 288
Inhalt IX
13.3. Strukturaufbau und Problemlösung 294
13.3.1. Bezugssysteme . . . . . . 294
13.3.2. Gesamtsteifigkeitsmatrix . . 298
13.3.3. Unterdrückte Freiheitsgrade 303
13.3.4. Lösung des linearen Gleichungssystems und Auswertung 305
13.3.5. Zusätzliche Verformungen 306
13.3.6. Randbedingungen 308
13.4. Einführende Beispiele 311
Anhang
Lösungen zu den Aufgaben 319
Weiterführendes Schrifttum und Taschenbücher 330
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
Hinweise auf DYN-Normen in diesem Werk entsprechen dem Stande der Normung bei Abschluß des Manuskriptes.
Maßgebend sind die jeweils neuesten Ausgaben der Normblätter des DIN Deutsches Institut für Normung (früher
DNA) im Format A 4, die durch den Beuth-Yerlag GmbH, Berlin und Köln, zu beziehen sind. - Sinngemäß gilt das
gleiche für alle in diesem Buche angezogenen amtlichen Bestimmungen, Richtlinien, Verordnungen usw.
