Table Of ContentGünther Holzmann | Heinz Meyer | Georg Schumpich
Technische Mechanik Kinematik und Kinetik
Günther Holzmann | Heinz Meyer | Georg Schumpich
Technische Mechanik
Kinematik und Kinetik
10., überarbeitete Auflage
Mit 315 Abbildungen, 138 Beispielen und 172 Aufgaben
Von Prof. Dr.-Ing. Heinz Meyer
unter Mitwirkung von Prof. Dr.-Ing. Georg Schumpich
überarbeitet von Prof. Dr.-Ing. Conrad Eller
und Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer
STUDIUM
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Prof. Dr.-Ing. Conrad Eller vertritt die Lehrgebiete Mechanik und Finite-Element-Methoden im
Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik der Hochschule Niederrhein, Krefeld. Seine
Forschungsinteressen liegen auf dem Gebiet der statischen und dynamischen Stabilität mecha-
nischer Strukturen.
Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer lehrte Technische Mechanik, Leichtbaustatik und Finite Elemente
im Fachbereich Fahrzeugtechnik der Hochschule für Angewandte Wissenschaften und außerdem
Technische Mechanik im hochschulübergreifenden Studiengang Schiffbau in Hamburg.
Prof. Dr.-Ing. Heinz Meyer (verst.), Osnabrück
Prof. Dr.-Ing. Georg Schumpich (verst.), Hannover
1. Auflage 1969
2. Auflage 1972
3. Auflage 1976
4. Auflage 1979
5. Auflage 1983
6. Auflage 1986
7. Auflage 1990
8. Auflage 2000
9. Auflage 2006
10., überarbeitete Auflage 2010
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Lektorat: Thomas Zipsner | Ellen Klabunde
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Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher
von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Satz: Fromm MediaDesign, Selters/Ts
Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8348-0826-4
Vorwort
Der vorliegende Teil 2 des dreibändigen Lehrbuches „Technische Mechanik“ behandelt die
Kinematik und Kinetik. Das Buch richtet sich an Studierende der Ingenieurwissenschaften
sowie an den in der Berufspraxis stehenden Ingenieur. Großer Wert wurde auf eine klar struk-
turierte und verständliche Darstellung des Lehrstoffes gelegt. Anschaulichen Herleitungen galt
dabei der Vorzug gegenüber rein theoretischen Ableitungen.
Die Kinematik und Kinetik bilden die Grundlage für die Behandlung zeitvarianter Problem-
stellungen der Mechanik. Die Kinematik ist die Lehre von den Bewegungen, wobei die wäh-
rend des Bewegungsvorgangs wirkenden Kräfte nicht berücksichtigt werden. In der Kinetik
hingegen werden die durch die einwirkenden Kräfte verursachten Bewegungsänderungen ver-
folgt.
Im vorliegenden Band werden zunächst die Grundgleichungen der Kinematik des Massen-
punktes und des starren Körpers entwickelt. Ergänzt werden diese Betrachtungen durch die
kinematischen Beziehungen zur Beschreibung der Relativbewegung. Ein zentrales Problem der
Kinetik ist das Aufstellen der Bewegungsgleichungen. Dem Anfänger bereitet die zweckmäßi-
ge Wahl eines Koordinatensystems und die damit verbundene Festlegung der Vorzeichen in
den Bewegungsgleichungen vielfach Schwierigkeiten. Ausgehend vom 2. Newtonschen Grund-
gesetz bzw. dem daraus abgeleiteten Prinzip von d´Alembert werden die einzelnen Schritte
erläutert, die zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen führen. Zahlreiche Problemstellungen
der Kinetik lassen sich vorteilhaft mit Hilfe der Erhaltungssätze (Energiesatz, Impulserhal-
tungssatz, Impulsmomenterhaltungssatz) lösen. Die genannten Sätze werden ausführlich herge-
leitet und ihre Anwendung in der Kinetik anhand von aussagekräftigen Beispielen dokumen-
tiert. Eine besondere Bedeutung in der Ingenieurpraxis besitzen die mechanischen Schwingun-
gen, die im letzten Kapitel behandelt werden. Nach der Einführung in die freien und erzwun-
genen Schwingungen von einfachen Feder-Masse-Systemen werden die Untersuchungen auf
Koppelschwinger erweitert. Hieran anschließend werden die Torsions- und Biegeschwingun-
gen von Wellen behandelt, und der für den Ingenieur wichtige Begriff der biegekritischen
Drehzahl wird erklärt.
Das didaktische Konzept des vorliegenden Buches besteht darin, dass jeweils nach einer ver-
ständlichen Einführung in die theoretischen Grundlagen der Lehrstoff anhand von aussagekräf-
tigen Beispielen erklärt und vertieft wird. Die zahlreichen Übungsbeispiele am Ende jedes
Abschnittes bieten die Möglichkeit, den erlernten Stoff im Selbststudium zu vertiefen.
Hamburg / Krefeld, im Juli 2005 Hans-Joachim Dreyer
Conrad Eller
Vorwort zur 10. Auflage
Im Vordergrund der Bearbeitung zur vorliegenden 10. Auflage stand die Verbesserung des
Buchlayouts. So wurde ein Großteil der Bilder durch neue Computergraphiken ersetzt.
Wichtige Merksätze und Formeln wurden durch farbliche Hinterlegung optisch hervorgehoben.
In Anlehnung an die Bände Statik und Festigkeitslehre des Werkes wurde die Nummerierung
der Gleichungen, Tabellen und Bilder umgestellt.
Um Hinweise auf Tabellen und Bilder im laufenden Text schneller auffinden zu können, wur-
den diese fett gedruckt.
In zahlreichen Leserzuschriften wurde der Wunsch nach einem Abschnitt zu den Schwingun-
gen kontinuierlicher Systeme geäußert. Dieser wurde in der vorliegenden Auflage am Ende des
Abschnittes 7 ergänzt.
Die in den zurückliegenden Auflagen im Abschnitt 7 behandelte Beschreibung gedämpfter
Schwingungen mit Hilfe von Ortskurven wurde herausgenommen. Diese Darstellung, die vor-
nehmlich in der Regel- und Elektrotechnik benutzt wird, wird im Zusammenhang mit den
mechanischen Schwingungen kaum verwendet.
Sämtliche Abschnitte des Buches wurden sorgfältig durchgesehen und dabei alle konstruktiven
Anregungen der Leser berücksichtigt.
Allen Benutzern des Buches, von denen wir Anregungen und Hinweise zur Verbesserung er-
hielten, danken wir herzlich. Für weitere Vorschläge zur Verbesserung des Buches sind wir
stets dankbar. Ein besonderer Dank gilt auch dem Verlag Vieweg + Teubner, und hier insbe-
sondere Herrn Thomas Zipsner vom Lektorat Maschinenbau, für die angenehme Zusam-
menarbeit und die gute Ausstattung des Buches.
Hamburg / Krefeld, im August 2010 Hans-Joachim Dreyer
Conrad Eller
Inhalt
Vorwort ................................................................................................................................. V
Vorwort zur 10. Auflage ....................................................................................................... VI
Formelzeichen (Auswahl) .................................................................................................... XI
1 Kinematik des Punktes ................................................................................................. 1
1.1 Eindimensionale Kinematik, Bewegung eines Punktes auf gegebener Bahn ........ 1
1.1.1 Bogenlänge, Bahngeschwindigkeit, Bahnbeschleunigung .......................... 1
1.1.2 Kinematische Diagramme ............................................................................ 4
1.1.3 Gleichförmige Bewegung ............................................................................ 6
1.1.4 Gleichförmig beschleunigte Bewegung ....................................................... 9
1.1.5 Ungleichförmige Bewegung ........................................................................ 16
1.1.6 Aufgaben zu Abschnitt 1.1 .......................................................................... 20
1.2 Allgemeine Bewegung eines Punktes ..................................................................... 23
1.2.1 Ortsvektor, Bahnkurve ................................................................................. 23
1.2.2 Geschwindigkeitsvektor ............................................................................... 24
1.2.3 Beschleunigungsvektor ................................................................................ 27
1.2.4 Bahn- und Normalbeschleunigung .............................................................. 32
1.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 1.2 .......................................................................... 37
1.3 Bewegung auf kreisförmiger Bahn ......................................................................... 38
1.3.1 Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung ........................................ 38
1.3.2 Beschreibung der Kreisbewegung in kartesischen Koordinaten ................. 39
1.3.3 Gleichförmige Kreisbewegung .................................................................... 42
1.3.4 Gleichförmig beschleunigte Kreisbewegung ............................................... 44
1.3.5 Anwendungen der Kreisbewegung .............................................................. 46
1.3.6 Aufgaben zu Abschnitt 1.3 .......................................................................... 52
1.4 Beschreibung der ebenen Bewegung eines Punktes in Polarkoordinaten .............. 55
2 Kinetik des Massenpunktes ......................................................................................... 59
2.1 Das Newtonsche Grundgesetz ................................................................................ 59
2.1.1 Das Grundgesetz und die Axiome der Kinetik ............................................ 59
2.1.2 Das Grundgesetz in Komponentenform ...................................................... 64
2.1.3 Bemerkungen zum Lösen von Aufgaben der Kinetik ................................. 65
2.1.4 Bewegung bei konstanter Bahnkomponente der Kraft ................................ 66
2.1.5 Prinzip von d’Alembert ................................................................................ 69
2.1.6 Bahnkomponente der Kraft abhängig vom Ort, freie Schwingungen ......... 74
2.1.7 Aufgaben zu Abschnitt 2.1 .......................................................................... 81
2.2 Arbeit, Energie, Leistung ........................................................................................ 84
2.2.1 Arbeit einer Kraft ......................................................................................... 84
2.2.2 Energie ......................................................................................................... 93
2.2.3 Arbeitssatz und Energieerhaltungssatz ........................................................ 96
2.2.4 Leistung einer Kraft, Wirkungsgrad ............................................................ 106
2.2.5 Aufgaben zu Abschnitt 2.2 .......................................................................... 113
2.3 Bewegung eines Körpers in einem ihn umgebenden Medium ............................... 115
VIII Inhalt
2.3.1 Widerstandsgesetze ...................................................................................... 115
2.3.2 Fall eines Körpers in einem ihn umgebenden Medium ............................... 118
2.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 2.3 ........................................................................... 122
2.4 Impulssatz, Impulsmomentsatz ............................................................................... 122
2.4.1 Impuls, Impulssatz ....................................................................................... 123
2.4.2 Impulsmoment, Impulsmomentsatz ............................................................. 126
3 Kinematik des Körpers ................................................................................................. 128
3.1 Ebene Bewegung eines starren Körpers ................................................................. 128
3.1.1 Momentanpol, Polbahnen ............................................................................ 128
3.1.2 Aufgaben zu Abschnitt 3.1 ........................................................................... 132
3.2 Geschwindigkeits- und Beschleunigungszustand einer Scheibe ............................ 133
3.2.1 Momentanpol als Geschwindigkeitspol ....................................................... 133
3.2.2 Satz von Euler .............................................................................................. 136
3.2.3 Maßstäbe und Konstruktion der Normalbeschleunigung ............................ 139
3.2.4 Aufgaben zu Abschnitt 3.2 ........................................................................... 142
3.3 Kinematik der Relativbewegung ............................................................................ 143
3.3.1 Führungs- und Relativbewegung ................................................................. 143
3.3.2 Absolut- und Coriolisbeschleunigung .......................................................... 145
3.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 3.3 ........................................................................... 153
4 Kinetik des Massenpunktsystems ................................................................................ 154
4.1 Schwerpunktsatz ..................................................................................................... 154
4.2 Impuls- und Impulserhaltungssatz .......................................................................... 156
4.3 Impulsmoment, Impulsmomentsatz ........................................................................ 159
4.4 Bewegung bei veränderlicher Masse – Raketenbewegung .................................... 161
4.5 Aufgaben zu Abschnitt 4 ........................................................................................ 167
5 Kinetik des Körpers ...................................................................................................... 168
5.1 Allgemeine Bewegung. Körper als Grenzfall eines Massenpunktsystems ............ 168
5.2 Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse .............................................. 171
5.2.1 Grundgesetz für die Drehbewegung, Impulsmomentsatz ............................ 171
5.2.1.1 Grundgesetz für die Drehung um eine feste Achse ........................ 171
5.2.1.2 Massenträgheitsmomente einfacher Körper ................................... 173
5.2.1.3 Massenträgheitsmomente um parallele Achsen,
Satz von Steiner .............................................................................. 176
5.2.1.4 Reduzierte Masse, Trägheitsradius ................................................. 179
5.2.1.5 Anwendungen des Grundgesetzes für die Drehbewegung ............. 180
5.2.1.6 Impulsmomentsatz bei Drehung um eine feste Achse ................... 188
5.2.1.7 Zentrifugalmomente, Hauptachsen, Hauptträgheitsmomente ....... 190
5.2.1.8 Anwendungen des Impulsmomentsatzes. Dynamische..................
Auflagerreaktionen. Auswuchten ................................................... 194
5.2.1.9 Resultierende Trägheitskraft, Trägheitsmittelpunkt ....................... 203
5.2.1.10 Aufgaben zu Abschnitt 5.2.1 .......................................................... 209
Inhalt IX
5.2.2 Arbeit, Energie und Leistung bei der Drehbewegung ................................. 214
5.2.2.1 Arbeit .............................................................................................. 214
5.2.2.2 Kinetische Energie ......................................................................... 215
5.2.2.3 Arbeitssatz ...................................................................................... 216
5.2.2.4 Potenzielle Energie, Energieerhaltungssatz ................................... 222
5.2.2.5 Leistung .......................................................................................... 225
5.2.2.6 Aufgaben zu Abschnitt 5.2.2 .......................................................... 227
5.3 Ebene Bewegung eines starren Körpers ................................................................. 228
5.3.1 Bewegungsgleichungen ............................................................................... 228
5.3.2 Impulsmomenterhaltungssatz ...................................................................... 233
5.3.3 Aufgaben zu Abschnitt 5.3 .......................................................................... 235
5.4 Kinetik der Relativbewegung ................................................................................. 238
5.4.1 Aufgaben zu Abschnitt 5.4 .......................................................................... 242
5.5 Energie, Arbeit und Leistung bei allgemeiner und ebener Bewegung ................... 245
5.5.1 Kinetische Energie ....................................................................................... 245
5.5.2 Leistung ........................................................................................................ 247
5.5.3 Arbeit ........................................................................................................... 248
5.5.4 Arbeitssatz, Leistungssatz, Energieerhaltungssatz ...................................... 248
5.5.5 Aufgaben zu Abschnitt 5.5 .......................................................................... 252
5.6 Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt ........................................... 253
5.6.1 Impulsmomentsatz ....................................................................................... 253
5.6.2 Der geführte symmetrische Kreisel ............................................................. 256
5.6.3 Aufgaben zu Abschnitt 5.6 .......................................................................... 257
6 Stoß ................................................................................................................................. 259
6.1 Allgemeines, Definitionen ...................................................................................... 259
6.2 Gerader zentraler Stoß ............................................................................................ 260
6.2.1 Elastischer Stoß ............................................................................................ 261
6.2.2 Plastischer Stoß ............................................................................................ 266
6.2.3 Wirklicher Stoß ............................................................................................ 268
6.3 Gerader exzentrischer Stoß gegen einen drehbar gelagerten Körper,
Stoßmittelpunkt ....................................................................................................... 272
6.4 Aufgaben zu Abschnitt 6 ........................................................................................ 274
7 Mechanische Schwingungen ........................................................................................ 278
7.1 Grundbegriffe .......................................................................................................... 278
7.2 Freie ungedämpfte Schwingungen ......................................................................... 283
7.3 Freie Schwingungen mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung ................... 287
7.3.1 Aperiodische Bewegung .............................................................................. 289
7.3.2 Freie gedämpfte Schwingung ...................................................................... 291
7.3.3 Aperiodischer Grenzfall ............................................................................... 298
7.4 Erzwungene Schwingungen .................................................................................... 299
7.4.1 Erregung über eine Feder ............................................................................. 299
7.4.2 Erzwungene Schwingungen durch Fliehkrafterregung ............................... 305
7.4.3 Koppelschwingung. Schwingungstilger ...................................................... 311
X Inhalt
7.5 Schwingungen von Wellen ..................................................................................... 315
7.5.1 Torsion einer einfach besetzten Welle ......................................................... 315
7.5.2 Biegekritische Drehzahl der mit einer Scheibe besetzten Welle ................. 316
7.5.3 Die mit mehreren Scheiben besetzte Welle ................................................. 320
7.5.4 Schwingungen kontinuierlicher Systeme ..................................................... 325
7.6 Aufgaben zu Abschnitt 7 ........................................................................................ 330
Anhang ................................................................................................................................. 331
Lösungen zu den Aufgaben ............................................................................................ 331
Abschnitt 1.1 ........................................................................................................... 331
Abschnitt 1.2 ........................................................................................................... 333
Abschnitt 1.3 ........................................................................................................... 334
Abschnitt 2.1 ........................................................................................................... 336
Abschnitt 2.2 ........................................................................................................... 336
Abschnitt 2.3 ........................................................................................................... 337
Abschnitt 3.1 ........................................................................................................... 338
Abschnitt 3.2 ........................................................................................................... 339
Abschnitt 3.3 ........................................................................................................... 341
Abschnitt 4 .............................................................................................................. 342
Abschnitt 5.2.1 ........................................................................................................ 342
Abschnitt 5.2.2 ........................................................................................................ 345
Abschnitt 5.3 ........................................................................................................... 347
Abschnitt 5.4 ........................................................................................................... 348
Abschnitt 5.5 ........................................................................................................... 350
Abschnitt 5.6 ........................................................................................................... 351
Abschnitt 6 .............................................................................................................. 352
Abschnitt 7 .............................................................................................................. 353
Weiterführende Literatur ................................................................................................ 355
Stichwortverzeichnis .......................................................................................................... 356
Hinweise auf DIN-Normen in diesem Werk entsprechen dem Stande der Normung bei Ab-
schluss des Manuskriptes. Maßgebend sind die jeweils neuesten Ausgaben der Normblätter des
DIN Deutsches Institut für Normung e.V. im Format A 4, die durch den Beuth-Verlag GmbH,
Berlin und Köln, zu beziehen sind. – Sinngemäß gilt das Gleiche für alle in diesem Buche
angezogenen amtlichen Bestimmungen, Richtlinien, Verordnungen usw.
Formelzeichen (Auswahl)
(cid:71)
A Fläche F , F resultierende Kraft
R R
A, B, C Integrationskonstanten F Seilkraft
S
a Beschleunigung F, F Bahn- und Normalkomponente
(cid:71) t n
a Beschleunigungsvektor der Kraft
(cid:71)
a absolute Beschleunigung F Widerstandskraft
(cid:71)abs(cid:71) W
a ,a , ... Beschleunigung der Punkte F , F , F skalare Komponenten der Kraft
B C x y z
B, C, ... f statische Auslenkung einer
(cid:71) st
a Rotationsbeschleunigung des Feder
CB
Punktes C bezüglich B G Gleitmodul
(cid:71)
a Coriolisbeschleunigung g Fallbeschleunigung
(cid:71)Cor
a Führungsbeschleunigung H Heizwert
F
a Normal- oder Zentripetal- h Höhe
n
beschleunigung I axiales Flächenmoment
a Radialbeschleunigung 2. Grades
(cid:71)r
a Relativbeschleunigung I polares Flächenmoment
(cid:71)rel p
a Schwerpunktbeschleunigung 2. Grades
S
a Tangential- oder Bahn- I , I , I Flächenmoment bezüglich der
t x y z
beschleunigung x-, y- und z-Achse
a , a , a skalare Komponenten des i Trägheitsradius
x y z
Beschleunigungsvektors i Übersetzungsverhältnis
a Umfangsbeschleunigung J Massenträgheitsmoment
(cid:77)
c Federkonstante J reduziertes Massenträgheits-
red
c Drehfederkonstante moment
d
c Ersatzfederkonstante J Massenträgheitsmoment
g S
c Widerstandsbeiwert bezogen auf den Schwerpunkt
W
d Durchmesser J , J , J (cid:189) Massenträgheitsmoment
x y z
(cid:190)
E Energie, Elastizitätsmodul J(cid:91), J(cid:75), J(cid:93)(cid:191) bezüglich der x-, y- und z-Achse
E kinetische Energie bzw. der (cid:91)-, (cid:75)- und (cid:93)-Achse
k
Ep potenzielle Energie Jxy, Jyz, Jzx Zentrifugalmoment
E potenzielle Energie der Feder J , J , J Zentrifugalmoment
pf (cid:91)(cid:75) (cid:75)(cid:93) (cid:93)(cid:91)
E potenzielle Energie der Lage j imaginäre Einheit
ph
(cid:71) (cid:71) (cid:71)
e ,e ,e Einsvektoren des Zylinder- (s. DIN 1302)
r (cid:77) z
koordinatensystems k Dämpfungskonstante
(cid:71) (cid:71) (cid:71) (cid:71)
e ,e ,e Einsvektoren des natürlichen L Impulsmoment
t n b (cid:71) (cid:71)
Koordinatensystems, Tangenten-, L , L Impulsmoment bezüglich eines
0 S
Normalen- und Binormalen- festen Punktes 0 und bezüglich
Einsvektor des Schwerpunktes
(cid:71) (cid:71) (cid:71)
e ,e ,e Einsvektoren des kartesischen l Länge
x y z
Koordinatensystems l reduzierte Pendellänge
(cid:71) red (cid:71)
F,F Kraft, Kraftvektor M, M Drehmoment, Drehmoment-
F Auftriebskraft vektor
A
F Fliehkraft M Kreiselmoment
F (cid:71) K
F , F Gewichtskraft M , M , M Komponenten des
G G x y z
F , F Haft-, Gleitreibungskraft Drehmomentvektors
h r
F Querkraft m Masse
q
