Table Of ContentTechnische Mechanik
in Formeln, Aufgaben und Losungen
Von Dr.-Ing. Hans-J. Weidemann
und Prof. Dr.-Ing. Friedrich Pfeiffer
Technische Universitat MOnchen
Mit zahlreichen Abbildungen und Tabellen,
36 Musteraufgaben sowie 166 Ubungsaufgaben
mit Lbsungen
EB
B. G. Teubner Stuttgart 1995
Dr.-Ing. Hans-Jurgen Weidemann
Geboren am 21. Juli 1962 in Lubeck. Abitur im Juni 1981 am Rats
gymnasium Goslar. Von 1983 bis 1988 Studium des Maschinenbaus
an der Technischen Universitat Munchen. Seit 1988 wiss. Assistent
am Lehrstuhl B fUr Mechanik der TU Munchen. 1993 Promotion an
derTU Munchen mit einer Arbeit uber Regelung laufender Roboter.
Prof. Dr.-Ing. Friedrich Pfeiffer
Geboren 1935 in Wiesbaden. Von 1955 bis 1961 Studium des Ma
schinenbaus und 1965 Promotion in Aerodynamik an der Tech
nischen Hochschule Darmstadt. 1966 Entwicklungsingenieur bei
Btilkow GmbH und von 1969 bis 1975 Hauptabteilungsleiter Tech
nische Mechanik (Raumfahrt MBB). Von 1975 bis 1976 Technischer
Assistent bei Dr. L. Btilkow, von 1978 bis 1980 Technischer Ge
schaftsfUhrer der Bayernchemie und von 1980 bis 1982 Entwick
lungsleiter Apparate. Seit 1982 o. Professor fUr Mechanik an der
Technischen Universitat Munchen.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Weidemann, Hans-Jurgen:
Technische Mechanik in Formeln, Aufgaben und L6sungen /
von Hans-Jlirgen Weidemann und Friedrich Pfeiffer.
Stuttgart: Teubner, 1995
(Teubner-Studienblicher: Mechanik)
NE: Pfeiffer, Friedrich:
ISBN 978-3-519-03098-0 ISBN 978-3-322-94779-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-94779-6
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschUtzt. Jede
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Zustimmung des Veri ages unzulassig und strafbar. Das gilt besonders flirVer
vielfii.ltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung
und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Stuttgart 1995
Vorwort
Das vorliegende Ubungsbueh dient der Begleitung der Vorlesungen in Teehniseher
Meehanik I - IV. Es kann und will dabei den Besueh dieser Vorlesungen nieht erset
zen, vielmehr dient es als Grundlage fiir erganzende Ubungen auf dem Gebiet der
Statik, Kinematik und Kinetik.
Aus der Erfahrung des Ubungs- und Vorlesungsbetriebes der letzten Jahre stammt
die Entseheidung, zu der iibliehen Sammlung von Aufgaben und Liisungen als dritte
und vierte Komponente jeweils die wesentliehen Grundformeln am Anfang eines
Kapitels zusammenzustellen und ihren Gebraueh in einer oder mehreren Musterauf
gaben ausfiihrlieh vorzustellen.
Zur optimalen Nutzung dieser Samrnlung miiehten wir dem Leser daher vorsehlagen,
in den Vorlesungen zunaehst das Wesen der jeweiligen Grundformeln zu studieren,
urn sieh ansehliefiend anhand der Musteraufgabe deren Anwendung vor Augen zu
fnhren. Die folgenden Aufgaben dienen dem Selbsttest. Zur effektiven Kontrolle des
Verstandnisses sind die Liisungen der Aufgaben relativ ausfiihrlieh gestaltet.
Die vorliegende Ausgabe ist die erste Gesamtausgabe der Ubungsaufgaben. Trotz
mehrfaeher Durehsieht verbleiben noeh Fehler oder Unklarheiten im Text. Wir sind
Ihnen fiir Hinweise und Verbesserungsvorsehlage jederzeit dankbar.
M iinehen, im Dezember 1994 Hans-J. Weidemann
F. Pfeiffer
Inhaltsverzeichnis
1 Stereostatik 1
1.1 Grundlagen
1.1.1 Vektorrechnung
1.1.2 Linien und ebene Fliichen 2
1.1.3 Guldin'sche Regeln 6
1.2 Kriiftegleichgewicht . 14
1.2.1 Statische Bestimmtheit 14
1.2.2 Ebenes Kriiftegleichgewicht 15
1.2.3 Riiumliches Kriiftegleichgewicht 19
1.3 Fachwerke 30
1.4 Schnittreaktionen 40
1.5 Seilstatik . 61
1.6 Prinzip der virtuellen Arbeit 70
1.7 Reibung 80
2 Elastostatik / Fluidstatik 94
2.1 Spannungen und Dehnungen 94
2.l.l Spannungen 94
2.1.2 Dehnungen 98
2.2 Zug und Druck · 103
2.3 Torsion. · 110
2.3.1 Kreis- und kreisringfiirmige Querschnitte · 111
2.3.2 Geschlossene diinnwandige Querschnitte · 113
2.3.3 Offene diinnwandige Querschnitte · 116
2.4 Biegung · 130
2.4.1 Fliichentriigheitsmomente · 130
Inhaltsverzeichnis III
2.4.2 Ebene Biegung 134
2.4.3 Schiefe Biegung 140
2.5 Knickung ...... . 152
2.6 Energiemethoden in der Elastostatik 157
2.7 Fluidstatik............... 168
3 Kinematik 182
3.1 Einachsige Bewegungen . 182
3.2 Ebene Kinematik . . . 185
3.3 Riiumliche Kinematik . 195
3.4 Relativkinematik 199
4 Kinetik 212
4.1 Impulssatz .................... . · 212
4.1.1 Impulssatz fur massenkonstante Systeme · 212
4.1.2 Punktmassen in zentralen Kraftfeldern . .217
4.1.3 Impulssatz fur massenveriinderliche Systeme · 220
4.2 Drallsatz.. · 230
4.3 Energiesatz · 249
4.3.1 Potentielle Energie · 250
4.3.2 Kinetische Energie .250
4.3.3 Energiesatz · 251
4.4 StoBprobleme · 263
4.5 Schwingungen · 282
4.6 Lagrange'sche Gleichungen II. Art · 312
A Vektorrechnung 340
A.l Eigenschaften von Vektoren · 340
A.2 Vektoren in Koordinatendarstellung · 343
B Matrixrechnung 345
C Tabellen 350
D Register 351
Tabellenverzeichnis
Stereostatik 1
1.1 Grundformeln: Linienschwerpunkt . 2
1.1 Grundformeln: Flachenschwerpunkt 3
1.1 Grundformeln: Schwerpunkt zusammengesetzter Flachen 4
1.1 Tabelle: Schwerpunkt einfacher Flachen 4
1.1 Grundformeln: Guldin'sche Regeln ... 6
1.2 Grundformeln: Statische Bestimmtheit (Ebener Fall) 14
1.2 Grundformeln: Ebene Lagertypen 15
1.2 Grundformeln: Kraftegleichgewicht 15
1.3 Grundformeln: Knotenpunktsverfahren 30
1.3 Grundformeln: Ritter- Schnitt 31
1.4 Schnittreaktionen im Balken(Ebener Fall) 40
1.4 Foppl - Klammern 40
1.5 Seilstatik..... 61
1.6 Prinzip der virtuellen Arbeit 70
1. 7 Reibung .......... . 80
Elastostatik 94
2.1 Mohr'scher Spannungskreis 94
2.1 Dehnungen .. 98
2.2 Zug und Druck 103
2.3 Torsion von Kreisquerschnitten 111
2.3 Torsion geschlossener dunnwandiger Querschnitte 113
2.3 Torsion offener dunnwandiger Querschnitte 117
2.4 Flachentragheitsmomente 130
2.4 Flachentragheitsmomente 131
Tabellenverzeichnis v
2.4 Ebene Biegung 134
2.4 Schiefe Biegung 140
2.5 Euler'sche Knickfiille 152
2.6 Formiinderungsenergie 157
2.6 Castigliano / Menabrea 157
2.7 Fluidstatik 168
Kinematik 182
3.1 Einachsige Bewegung: Nomenklatur 182
3.1 Liisungsfiille fUr einachsige Bewegungen . 182
3.1 Ebene Bewegung . 186
3.3 KARDAN -Winkel 195
3.3 EULER - Winkel . 196
3.4 Relativkinematik: Notation · 200
3.4 Grundformeln: 'Coriolis-Formel' · 200
3.4 Grundformeln: Relativkinematik · 201
3.4 Grundformeln: Beschleunigungen · 201
Kinetik 212
4.1 Impuls · 212
4.1 Impulssatz, massenkonstante Systeme · 213
4.1 Keplersche Gesetze .......... . · 218
4.1 Impulssatz, massenveriinderliche Systeme · 220
4.2 Triigheitstensor . . . . . . . . . . · 231
4.2 Tabelle: Massentriigheitsmomente · 231
4.2 Grundformel: Satz von Steiner. · 232
4.2 Drall · 232
4.2 Dralliinderung · 232
4.2 Drallsatz · 233
4.2 Drallsatz: Sonderfiille · 233
4.3 Potentielle Energie · 250
4.3 Kinetische Energie · 250
4.3 Energiesatz .. .. · 251
VI Tabellenverzeichnis
4.4 Notation: StoBprobleme .264
4.4 Tabelle: StoBarten ... .264
4.4 Grundformeln: StoBzahl c · 265
4.5 Grundformeln: Gedampfte Eigenschwingung .282
4.5 Grundformeln: DampfungsmaBe · 283
4.6 Grundformeln: Lagrange II · 312
Vektorrechnung 340
A.l Vektoren: Klassifizierung · 340
A.2 Vektoren: Addition / Subtraktion .340
A.3 Vektoren: Skalarprodukt · 341
A.4 Vektorprodukt · 342
A.5 Spatprodukt . .343
A.6 Komponenten eines Vektors .343
A.7 Vektoren: Rechenregeln . . .343
1 Stereostatik
1.1 Grundlagen
1.1.1 Vektorrechnung
Siehe auch Anhang A: Vektorrechnung.
Aufgabe 1
Man zeige mit Hilfe der Vektorrechnung, daB die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen
Vierecks Eckpunkte eines Parallelogramms sind.
Aufgabe 2
+ +
Ein Vektor a wird auf den Vektor r = ex ey ez projiziert. Wie groB ist der Betrag
p dieser Projektion ?
Aufgabe 3
Der Vektor p hat den Betrag p = 5. Man zerlege ihn in 3 aufeinander senkrechte
Vektoren x, y, z, so daB sich deren Betrage wie 1 : 2 : 3 verhalten. Wie groB sind diese
Betrage und welche Winkel bilden x, y und z mit p ?
Aufgabe 4
Gegeben seien die Vektoren a = (3,6,2), b = (1,2,-1) und c = (0,0,2). Wie groB
muB man den skalaren Faktor ,\ wahlen, wenn a + ,\ . b und c den Winkel a = 60°
einschlieBen sollen ?
Aufgabe 5
Die beiden Vektoren a = (1,2,3) und b = (2,2,5) gehen von Ursprung (0,0,0) aus und
spannen eine Ebene auf. Man berechne die Vektoren, die auf dieser Ebene senkrecht
stehen und denselben Betrag wie der Vektor e = (1,1,1) haben.
2 Kap. 1.1 Grundlagen
Aufgabe 6
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren a = 5ex + aey + 2ez, b =
3ex+4ey-lez und c = 2ex-IOey+4ez gegeben. Welchen Betrag muB die Komponente
ay = a haben, damit die 3 Vektoren komplanar sind?
Aufgabe 7
Ein Dreieck im Raum werde durch die Vektoren a = (3,5,2) und b = (7,1,4) aufge
spannt. Man berechne mit Hilfe der Vektorrechnung seine Flache.
1.1.2 Linien und ebene FHichen
Grundformeln: Linienschwerpunkt
L Linie der Liinge L
LS Lin1iLen schwerpunkt
rLS -I rdL
r· JL a "
I
'is L dLi
dL VdX2 + dy2
Musteraufgabe 1
Ein Linienstiick gehorcht der Funktion y = ~.
Ihre Enden liegen auf den Punkten (-2,2) und
(4,8). Wie lang ist die Linie und wo liegt ihr
Schwerpunkt7
-2 4 x
