Table Of ContentSpringer. . Lehrbuch
Walter Schnell· Dietmar Grass· Werner Hauger
Technische Mechanik
Band 2: Elastostatik
Vierte Auflage
Mit 137 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Prof. Dr. Walter Schnell
Prof. Dr. Oietmar Gross
Prof. Dr. Wemer Ha uger
Institut ftir Mechanik, TH Darmstadt
HochschulstraBe 1, D-6100 Darmstadt
Die 2. Auflage erschien 1989 in der Reihe
"HeidelbergerTaschenbiicher" als Band 216
ISBN 978-3-540-55289-5 ISBN 978-3-662-10246-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-10246-6
D1e Deutsche B1bhothek-CIP-Emheitsaufnahme
Schnell, Walter. Techmsche Mechamk 1 Walter Schnell , D1etmar Gross ,
Wemer Hauger.-Berhn , He1delberg , New York , London ,
Pans ; Tokyo , Hong Kong , Barcelona , Budapest Sprmger
(Spnnger-Lehrbuch)
Bd.l u. d T. Gross, D1etmar Techmsche Mechamk
Bd. 3 u. d T. Hauger, Wemer Techmsche Mechamk
NE Gross,D1etmar, Hauger,Werner
Bd. 2 Elastostatlk -4. Aufl -1992
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Ursprüng1ich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heide1berg New York 1992
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Satz K. Tnltsch, Wurzburg,
2160/3020 - 5 4 3 2 1 O-Gedruckt auf saurefre1em Pap1er
Vorwort
Die Elastostatik setzt den ersten Band des dreibändigen Lehrbuches
der Technischen Mechanik fort. Sie beschäftigt sich mit den Bean
spruchungen und den Verformungen elastischer Körper.
Das Buch ist aus Lehrveranstaltungen hervorgegangen, die von
den Autoren flir Studenten aller Ingenieurfachrichtungen gehalten
wurden. Der dargestellte Stoff orientiert sich im Inhalt an den Me
chanikkursen, wie sie an deutschsprachigen Hochschulen abgehal
ten werden. Dabei wurde zugunsten einer ausfUhrliehen Darstellung
der Grundlagen auf die Behandlung mancher spezieller Probleme
verzichtet.
Auch dieser Band erfordert aktive Mitarbeit des Lesers, da die
Mechanik nicht durch reines Literaturstudium zu erlernen ist. Eine
sachgerechte Anwendung der wenigen Gesetzmäßigkeilen setzt
nicht nur die Kenntnis der Theorie voraus, sondern erfordert auch
Übung. Letztere ist nur durch selbständiges Bearbeiten von Aufga
ben zu erwerben. Die Beispiele am Schluß jedes Kapitels sollen
hierflir eine Anleitung geben.
Wir danken herzliehst Frau I. Melzer, Frau G. Otto und Frau I.
Schmidt, die mit viel Geduld, Sorgfalt und Liebe das Manuskript
angefertigt haben.
Dem Springer-Verlag danken wir für das Eingehen auf unsere
Wünsche und für die ansprechende Ausstattung des Buches.
Darmstadt, im Juli 1992 W. Schnell
D. Gross
W. Hauger
Inhaltsverzeichnis
Einführung . . . . . . .
1 Zug und Druck in Stäben 4
1.1 Spannung . 4
1.2 Dehnung . . . . . 10
1.3 Stoffgesetz . . . . . 11
1.4 Einzelstab . . . . . 14
1.5 Statisch bestimmte Stabsysteme 24
1.6 Statisch unbestimmte Stabsysteme 28
2 Spannungszustand . . . . . . . . . 34
2.1 Spannungsvektor und Spannungstensor 34
2.2 Ebener Spannungszustand .... 37
2.2.1 Koordinatentransformation . 38
2.2.2 Rauptspannungen . . . . 41
2.2.3 Mohrscher Spannungskreis 46
2.2.4 Dünnwandiger Kessel . . 51
2.3 Gleichgewichtsbedingungen . . 53
3 Verzerrungszustand, Elastizitätsgesetz . 56
3.1 Verzerrungszustand . . 56
3.2 Elastizitätsgesetz . . . 60
3.3 Festigkeitshypothesen . 67
4 Balkenbiegung. . . . . . 69
4.1 Einführung . . . . . 69
4.2 Flächenträgheitsmomente 71
4.2.1 Definition . . . . 71
4.2.2 Parallelverschiebung der Bezugsachsen 77
4.2.3 Drehung des Bezugssystems,
Hauptträgheitsmomente . . . . 80
4.3 Grundgleichungen der geraden Biegung 86
4.4 Normalspannungen ........ . 90
4.5 Biegelinie . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.1 Differentialgleichung der Biegelinie 93
VIII Inhaltsverzeichnis
4.5.2 Einfeldbalken . . . . . . . 97
4.5.3 Balken mit mehreren Feldern 106
4.5.4 Superposition . . . . . . . 110
4.6 Einfluß des Schubes . . . . . . 120
4.6.1 Schubspannungen . . . . . 120
4.6.2 Durchbiegung infolge Schub 129
4.7 Schiefe Biegung . . . . 131
4.8 Biegung und Längskraft 139
4.9 Temperaturbelastung . . 142
5 Torsion ......... . 146
5.1 Die kreiszylindrische Welle 147
5.2 Dünnwandige geschlossene Profile 156
5.3 Dünnwandige offene Profile . . . 165
6 Der Arbeitsbegriff in der Elastostatik 173
6.1 Arbeitssatz und Formänderungsenergie 174
6.2 Das Prinzip der virtuellen Kräfte 183
6.3 Einflußzahlen und Vertauschungssätze 198
6.4 Anwendung des Arbeitssatzes aufstatisch unbestimmte
Systeme . . . . . . . . . . . . . . 20 I
7 Knickung . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.1 Verzweigung einer Gleichgewichtslage 217
7.2 Der Euler-Stab. 220
Sachverzeichnis . . . 229
Einführung
Im ersten Band (Statik) wurde gezeigt, wie man allein mit Hilfe der
Gleichgewichtsbedingungen das Kräftespiel an Tragwerken untersu
chen kann. Dabei wurde der reale Körper durch den starren Körper
angenähert. Diese Idealisierung ist jedoch zur Beschreibung des me
chanischen Verhaltens von Bauteilen oder Konstruktionen meist
nicht hinreichend. Bei vielen Ingenieurproblemen sind auch die De
formationen der Körper vorherzubestimmen, zum Beispiel um un
zulässig große Verformungen auszuschließen. Der Körper muß
dann als deformierbar angesehen werden.
Um die Deformationen zu beschreiben, ist es erforderlich, geeig
nete geometrische Größen zu definieren; dies sind Verschiebungen
und Verzerrungen. Durch kinematische Beziehungen, welche die
Verschiebungen und die Verzerrungen verknüpfen, wird die Geo
metrie der Verformung festgelegt.
Neben den Verformungen sind die Beanspruchungen von Bau
teilen von großer praktischer Bedeutung. In der Statik haben wir
bisher nur Schnittkräfte ermittelt. Sie allein lassen keine Aussage
über die Belastbarkeit von Tragwerken zu (ein dünner bzw. ein dik
ker Stab aus gleichem Material werden bei unterschiedlichen Kräf
ten versagen). Als geeignetes Maß für die Beanspruchung wird da
her der Begriff der Spannung eingefuhrt. Durch Vergleich einer
rechnerisch ermittelten Spannung mit einer auf Experimenten ba
sierenden •zulässigen Spannung kann man die Tragfähigkeit von
Bauteilen beurteilen.
Die Verzerrungen (Deformationen) sind mit den Spannungen
(Belastungen) verknüpft. Die physikalische Beziehung zwischen bei
den Größen heißt Stoffgesetz. Es ist abhängig vom Werkstoff, aus
dem ein Bauteil besteht, und kann nur mit Hilfe von Experimenten
gewonnen werden. Die technisch wichtigsten metallischen und
nichtmetallischen Materialien zeigen bei nicht zu großen Beanspru
chungen einen linearen Zusammenhang von Spannung und Verzer
rung. Er wurde schon von R. Hooke (1635-1703) in der damaligen
Sprache der Wissenschaft mit "ut tensio sie vis" formuliert. Ein
Werkstoff, der dem Hookeschen Gesetz genügt, heißt linear-ela
stisch; wir wollen ihn kurz elastisch nennen.
2 Einführung
Im vorliegenden Band werden wir uns auf die Statik solcher ela
stisch deformierbarer Körper beschränken. Dabei setzen wir stets
voraus, daß die Verformungen und damit auch die Verzerrungen
sehr klein sind. Dies trifft in sehr vielen technisch wichtigen Fällen
tatsächlich zu. Daneben bringt es den großen Vorteil mit sich, daß
die Gleichgewichtsbedingungen mit guter Näherung am unverform
ten System aufgestellt werden können; auch die kinematischen Be
ziehungen sind dann einfach. Nur bei Stabilitätsuntersuchungen,
wie zum Beispiel beim Knicken (Kapitel 7), muß man die Gleichge
wichtsbedingungen am verformten System formulieren.
Bei allen Problemen der Elastostatik muß man auf drei - ihrem
Herkommen nach recht unterschiedliche- Arten von Gleichungen
zurückgreifen: a) Gleichgewichtsbedingungen, b) kinematische Be
ziehungen, c) Elastizitätsgesetz. Bei statisch bestimmten Systemen
können die Schnittgrößen und damit die Spannungen aus den
Gleichgewichtsbedingungen direkt ermittelt werden. Die Verzer
rungen und die Verformungen folgen dann mit Hilfe des Elastizi
tätsgesetzes und der kinematischen Beziehungen in getrennten
Schritten.
Die Berücksichtigung von Deformationen macht es nun aber
auch möglich, die Kräfte und die Verformungen statisch unbestimm
ter Systeme zu analysieren. In diesem Fall sind die Gleichgewichts
bedingungen, die kinematischen Beziehungen und das Elastizitäts
gesetz gekoppelt und können nur gemeinsam gelöst werden.
Wir werden uns in der Elastostatik nur mit einfachen Beanspru
chungszuständen befassen und uns auf die in der Praxis wichtigen
Fälle von Stäben unter Zug bzw. Torsion und von Balken unter Bie
gung konzentrieren. Bei der Aufstellung der zugehörigen Gleichun
gen bedienen wir uns häufig bestimmter Annahmen über die Verfor
mung oder die Verteilung der Spannungen. Diese Annahmen gehen
auf experimentelle Untersuchungen zurück und gestatten es dann,
das vorliegende Problem mit einer technisch ausreichenden Genau
igkeit zu beschreiben.
Eine besondere Bedeutung kommt bei elastischen Körpern dem
Arbeitsbegriff und den Energieaussagen zu. So lassen sich verschie
dene Probleme besonders zweckmäßig mit Hilfe von Energieprinzi
pien lösen. Ihrer Formulierung und Anwendung ist Kapitel6 gewid
met.
Das Verhalten deformierbarer Körper wurde seit Beginn der Neu
zeit untersucht. So haben schon Leonardo da Vinci (1452-1519)
und G. Galilei (1564-1642) Theorien aufgestellt, um die unter
schiedliche Tragfähigkeit von Stäben und Balken zu erklären. Auf
J. Bernoulli (1654-1705) und L. Euler (1707-1783) gehen die ersten
Einftihrung 3
systematischen Untersuchungen zum Verformungsverhalten von
Balken zurück. Von Euler wurde in diesem Zusammenhang auch
die Theorie des Knickens von Stäben entwickelt; die große techni
sche Bedeutung dieser Überlegungen wurde erst viel später erkannt.
Den Grundstein für eine in sich geschlossene Elastizitätstheorie legte
A. L. Cauchy (1789-1857); von ihm stammen die Begriffe Span
nungszustand und Verzerrungszustand. Seitdem wurden sowohl die
Elastizitätstheorie als auch die Näherungstheorien, welche in der
Technik bei speziellen Tragwerken zur Anwendung gelangen, durch
Beiträge von Ingenieuren, Physikern und Mathematikern ausgebaut
- eine Entwicklung, die auch heute noch anhält. Daneben wurden
und werden immer noch Theorien aufgestellt, die das Verhalten von
Körpern aus Dichtelastischen Materialien (zum Beispiel aus plasti
schen Materialien) beschreiben. Hiermit werden wir uns jedoch im
Rahmen dieses Buches nicht beschäftigen.
