Technische Mechanik 1: Statik mit Maple-Anwendungen

234 Pages·2012·5.84 MB·German

by  Friedrich U Mathiak

Technische Mechanik 1
Statik mit Maple-Anwendungen
von
Prof. Dr.-Ing. Friedrich U. Mathiak
Oldenbourg Verlag München
Prof. Dr.-Ing. Friedrich U. Mathiak hat seit 1994 an der Hochschule Neubranden-
burg eine Professur für Technische Mechanik und Bauinformatik inne.
Maple 15. Maplesoft, Abteilung von Waterloo Maple Inc., Waterloo, Ontario.
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Lektorat: Dr. Martin Preuß, Kristin Berber-Nerlinger
Herstellung: Constanze Müller
Titelbild: thinkstockphotos.de
Einbandgestaltung: hauser lacour
Gesamtherstellung: Grafi k & Druck GmbH, München
Dieses Papier ist alterungsbeständig nach DIN/ISO 9706.
ISBN 978-3-486-71285-8
eISBN 978-3-486-71491-3
Vorwort
Von allen Naturwissenschaften ist die Mechanik am engsten mit der Mathematik verknüpft.
Diese starke Einbettung der Mechanik in die Mathematik erschwert erfahrungsgemäß den
Studierenden den Zugang zur Mechanik. Die Lernenden müssen sich sowohl in die Denk-
formen der Physik als auch in die der Mathematik einfühlen, wenn sie mechanische Aufga-
ben erfolgreich lösen wollen.
Im Vergleich zu der rein zahlenmäßigen Bearbeitung (numbercrunching) von Ingenieurpro-
blemen, etwa durch die Methode der finiten Elemente (FEM), sind Computeralgebrasysteme
(CAS) in der Lage, analytische Lösungen zu liefern, mit deren Hilfe der Anwender grundle-
gende Einsichten in das anliegende Problem erhält. Unterstützend wirkt hier die Möglichkeit
der grafischen Aufbereitung des Problems und der abschließenden Darstellung der Ergebnis-
se. Rechenintensive und damit fehleranfällige Aufgaben lassen sich mittels Computerunter-
stützung behandeln. Ist das Problem einmal in der Sprache eines CAS abgelegt, dann können
recht schnell, ohne großen Mehraufwand, Parameterstudien durchgeführt werden. Bei zeit-
abhängigen Problemen besteht die Möglichkeit der Animation der Zustandsgrößen.
Das vorliegende Buch behandelt die klassischen Themengebiete der Statik der starren Kör-
per, wie sie in den meisten Grundvorlesungen zur Technischen Mechanik angeboten werden.
Die anfallenden Grundgleichungen werden computergerecht in Vektor- und Matrizen-
schreibweise formuliert, was einer Programmierung in Maple sehr entgegenkommt. Die
Arbeitsblätter zum Buch können unter der Internetadresse
http://www.oldenbourg-verlag.de/mathiak-technische-mechanik-1
vom Verlags-Server heruntergeladen und in Verbindung mit dem jeweiligen Theorieteil des
Buches interaktiv genutzt werden. Deren Inhalt gliedert sich in zwei Abschnitte. In einem
einführenden Kompaktkurs werden dem Anwender in 11 Lektionen grundlegende Einsichten
in das umfangreiche Programmsystem Maple vermittelt, wobei sich die Inhalte auf die Er-
fordernisse der hier behandelten Problemstellungen beschränken und für einige Studienan-
fänger als Auffrischung des Schulstoffs dienen können.
Selbstverständlich ersetzen diese Lektionen kein Nutzerhandbuch. In diesem Zusammenhang
wird auf die umfangreichen Dokumentationen
http://www.maplesoft.com/documentation_center/
des Programmherstellers verwiesen. Maple selbst verfügt über eine ausgezeichnete Hilfe-
Funktion. Eine Fülle von professionell erstellten Beispielen findet der Anwender unter
VI Vorwort
http://www.maplesoft.com/applications/
Der zweite Teil enthält auf Maple-Arbeitsblättern im Worksheet Mode die Lösungen der im
Buch aufgeführten Beispiele. Die dort bereitgestellten Maple-Prozeduren lassen sich für
ähnlich gelagerte Aufgabenstellungen untereinander kombinieren. Bei einigen Beispielen
werden die Eingabedaten aus Textdateien gelesen, die mit einem im Betriebssystem des
Rechners enthaltenen Editor erzeugt, geändert und betrachtet werden können. Zur Kontrolle
der Eingabedaten und zur Ausgabe der Rechenergebnisse wurden Plot-Prozeduren und Ani-
mationen erstellt. Einige Plot-Prozeduren werden beim Ablauf des entsprechenden Arbeits-
blattes mit der Erweiterung .m im aktuellen Verzeichnis gespeichert, um sie auch für andere
Arbeitsblätter verfügbar zu machen. Die Datenausgabe erfolgt entweder auf dem Bildschirm,
oder die Berechnungsergebnisse werden in eine Datei geschrieben (Erweiterung .out) und im
aktuellen Verzeichnis gespeichert. Weitere Informationen finden sich im Kap. 11.1.
Das Lesen und Verstehen fertiger Quellcodes fördert bei den Studierenden das algorithmi-
sche Denken und die Technik des Programmierens, deshalb wurde bewusst auf trickreiches
Programmieren verzichtet. Um grobe Fehler bei der Eingabe aufzudecken, sind in die Proze-
duren einfache Tests eingebaut, die Fehler dieser Art durch entsprechende Fehlermeldungen
quittieren.
Sämtliche Rechnungen wurden mit dem Programmsystem Maple 15 auf einem handelsübli-
chen Laptop mit einem Intel-Prozessor Core 2 Duo CPU T7300, 2,0 GHz sowie einem Main
Memory von 778 MHz, 2,0 GB RAM unter dem Betriebssystem Microsoft Windows XP
durchgeführt.
Zur Notationsweise ist noch anzumerken, dass in den symbolischen Darstellungen der For-
meln die Vektoren, Matrizen und Tensoren fett gedruckt sind.

Neubrandenburg, im Januar 2012 Friedrich U. Mathiak
Inhalt
Vorwort V
1 Einleitung 1
1.1 Einige historische Bemerkungen ................................................................................ 2
1.2 Grundlagen der Mechanik .......................................................................................... 7
1.3 Begriffe der Mechanik .............................................................................................. 11
1.4 Bewegungen ............................................................................................................. 21
2 Allgemeine Einführung des Kraftbegriffs 23
2.1 Einteilung der Kräfte ................................................................................................ 24
2.2 Gravitation und Schwerkraft .................................................................................... 29
2.3 Federkräfte elastischer Federn .................................................................................. 31
3 Zentrale Kräftesysteme 33
3.1 Zentrale ebene Kräftesysteme .................................................................................. 34
3.2 Zentrale räumliche Kräftesysteme ............................................................................ 41
4 Allgemeine Kräftesysteme am starren Körper 45
4.1 Allgemeine ebene Kräftesysteme ............................................................................. 46
4.1.1 Das Kräftepaar .......................................................................................................... 49
4.1.2 Das Moment einer Kraft bezogen auf einen Punkt ................................................... 53
4.2 Allgemeine räumliche Kräftesysteme ...................................................................... 54
4.2.1 Das Moment einer Kraft bezogen auf einen Punkt ................................................... 54
4.2.2 Das Moment einer Kraft bezogen auf eine Achse .................................................... 55
4.2.3 Dyname, Kraftschraube und Zentralachse ................................................................ 56
4.3 Die Reduktion ebener Kräftesysteme ....................................................................... 58
4.4 Das räumliche Problem ............................................................................................ 63
4.5 Die Reduktion kontinuierlich verteilter Kräfte ......................................................... 66
4.6 Die Gleichgewichtsbedingungen .............................................................................. 72
VIII Inhalt
5 Physikalische und geometrische Größen von Körpern, Flächen und Linien 77
5.1 Momente nullten Grades, Volumen, Masse und Gewicht eines Körpers ................. 77
5.2 Momente ersten Grades, Schwerpunkt und Massenmittelpunkt eines Körpers ....... 78
5.3 Schwerpunkt und Mittelpunkt einer Fläche ............................................................. 86
5.4 Schwerpunkt und Mittelpunkt einer Kurve ............................................................ 101
5.4.1 Die Bogenlänge ...................................................................................................... 101
5.4.2 Schwerpunkt und Mittelpunkt einer Raumkurve ................................................... 103
5.4.3 Die Guldinschen Regeln ........................................................................................ 107
5.5 Flächenmomente zweiten Grades ........................................................................... 110
5.5.1 Transformationsgesetze für Flächenmomente zweiten Grades .............................. 113
5.5.2 Hauptflächenträgheitsmomente .............................................................................. 120
5.5.3 Aus Rechtecken zusammengesetzte Querschnitte .................................................. 126
6 Die Statik der starren Körper 129
6.1 Lager ...................................................................................................................... 129
6.2 Berechnung von Lagerreaktionsgrößen.................................................................. 133
7 Die Schnittlasten eines statisch bestimmt gelagerten geraden Balkens 143
7.1 Schnittlastenermittlung am Balken auf zwei Stützen ............................................. 147
7.1.1 Der Balken auf zwei Stützen unter Einzelkraft F .................................................. 147
z
7.1.2 Der Balken auf zwei Stützen unter Einzelkraft F .................................................. 150
x
7.1.3 Der Balken auf zwei Stützen unter Einzelmoment M ............................................ 151
7.1.4 Der Balken auf zwei Stützen unter Linienkraft q(x) .............................................. 153
7.2 Die Schnittlastendifferenzialgleichungen ............................................................... 157
7.3 Zusammengesetzte Systeme starrer Körper ........................................................... 169
8 Fachwerke 175
8.1 Statisch bestimmte ebene Fachwerke ..................................................................... 175
8.2 Statisch unbestimmte Fachwerke ........................................................................... 178
8.3 Das Knotenschnittverfahren ................................................................................... 179
8.4 Die Rittersche Schnittmethode ............................................................................... 183
9 Die Statik der Seile, Ketten und Stützlinienbögen 185
9.1 Das Seil unter Querbelastung q(x) ......................................................................... 185
9.2 Das Seil unter Eigengewichtsbelastung q(s) .......................................................... 195
9.3 Die Stützlinie eines Bogens ................................................................................... 206
Inhalt IX
10 Literaturverzeichnis 213
11 Verzeichnis der Maple-Prozeduren und Datensätze 215
11.1 Maple-Kompaktkurs ............................................................................................... 215
11.2 Liste der Berechnungsprozeduren .......................................................................... 216
11.3 Liste der Grafikprozeduren .................................................................................... 218
11.4 Liste der Einleseprozeduren ................................................................................... 219
11.5 Liste der Ausgabeprozeduren ................................................................................. 219
11.6 Liste der Eingabedaten ........................................................................................... 220
Sachregister 221