tc selçuk üniversitesi fen bilimleri enstitüsü başlangıç değer problemlerinin nümerik ...

79 Pages·2008·1.24 MB·Turkish

T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN
NÜMERİK İNTEGRASYONUNDA
ADIM GENİŞLİĞİ TESPİTİ

Gülnur ÇELİK KIZILKAN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Konya, 2004
T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN
NÜMERİK İNTEGRASYONUNDA
ADIM GENİŞLİĞİ TESPİTİ

Gülnur ÇELİK KIZILKAN

YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI

Bu tez 23/07/2004 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu ile kabul
edilmiştir.

Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL Prof. Dr. Ali SİNAN
(Danışman) (Üye) (Üye)
ii
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
BAŞLANGIÇ DEĞER PROBLEMLERİNİN
NÜMERİK İNTEGRASYONUNDA ADIM GENİŞLİĞİ TESPİTİ
Gülnur ÇELİK KIZILKAN
Selçuk Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı

Danışman: Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN

2004, 71 sayfa

Jüri: Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL
Prof. Dr. Ali SİNAN

Bu çalışmada, Cauchy probleminin nümerik integrasyonu için Picard teoremi
tabanlı değişken adım genişliği seçimi ve hata analizi tabanlı değişken adım genişliği
seçimi elde edilmiştir. Bu seçimlere bağlı olarak adım genişliği ve yaklaşık çözüm
hesaplayan algoritmalar verilmiştir. Bu algoritmalarda, üzerinde çalışılan konveks
kümenin yapısına bağlı olarak oluşabilen bazı problemleri ortadan kaldırmak için Picard
teoremi ve hata analizi tabanlı değişken adım genişliği seçimi verilerek bu seçime bağlı
her bir adımda adım genişliği, yaklaşık hesap ve oluşan lokal hatayı hesaplayan bir
algoritma elde edilmiştir. Verilen algoritmalarla ilgili nümerik örnekler verilmiştir.

Anahtar Kelimeler: Cauchy Problemi, Adım Genişliği Seçimi, Picard Teoremi,
Nümerik İntegrasyon, Lokal Hata, Global Hata
iii
ABSTRACT
Master Thesis
ON THE FINDING OF STEP SIZE IN THE NUMERICAL INTEGRATION OF
INITIAL VALUE PROBLEM
Gülnur ÇELİK KIZILKAN
Selçuk University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics

Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN

2004, 71 pages

Jury: Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN
Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL
Prof. Dr. Ali SİNAN

In this study, we have obtained that variable stepsize choice based on Picard
theorem and variable stepsize choice based on error analysis for numerical integration
of Cauchy problems. Depending on those choices we have given algorithms that
calculates stepsizes and approximations for solutions. In order to defeat some problems
arising from the structure of convex set on which the study is carried on, giving the
variable stepsize choice based on Picard theorem and error analysis, an algorithm has
been obtained which calculates depending on this choice stepsizes, approximations for
solutions and local error taken place in each step. Some numerical examples related to
given algorithm have been demonstrated.

Key Words: Cauchy Problems, Finding of Stepsize, Picard Theorem, Numerical
Integration, Local Error, Global Error
iv
v
İÇİNDEKİLER

ÖZET ………………………………………………………………………………. iii
ABSTRACT ……………………………………………………………………….. iv
ÖNSÖZ ……………………………………………………………………………... v
SEMBOLLER ……………………………………………………………………… vi
1. GİRİŞ …………………………………………………………………………….. 1
2. BİRİNCİ MERTEBEDEN CAUCHY PROBLEMİ …………………………..…10
3. NÜMERİK METOTLAR VE HATA ANALİZİ ………………………………..16
3.1. Metotlar ………………………………………………………………………...16
3.1.1. Euler metodu …………………………………………………………………16
3.1.2. Runge- Kutta metodu ………………………………………………………...17
3.2. Hata Analizi …………………………………………………………………....18
3.2.1. Euler metodu için hata analizi ………………………………………………..19
3.2.2. Runge-Kutta metodu için hata analizi ………………………………………..24
4. ADIM GENİŞLİĞİ STRATEJİSİ ……..…………………………………………29
4.1. Picard Teoremi Tabanlı Adım Genişliği Seçimi..……………………................29
4.2. Hata Analizi Tabanlı Adım Genişliği Seçimi ………………………………….36
4.3. Picard Teoremi ve Hata Analizi Tabanlı Adım Genişliği Seçimi……………....39
4.4. Pratik Adım Genişliği Seçimi….……………...………………………………..42
4.5. Adım Genişliği Kontrolü………………...……………………………………..42
5. ALGORİTMALAR………………………………………………………………44
5.1. Picard Teoremi Tabanlı Adım Genişliği İçin Algoritma……………………….44
5.2. Hata Analizi Tabanlı Adım Genişliği İçin Algoritma…………………………..45
5.3. Picard Teoremi ve Hata Analizi Tabanlı Adım Genişliği İçin Algoritma...........49
6. NÜMERİK ÖRNEKLER ………………………………………………………...51
7. DEĞERLENDİRMELER ………………………………………………………..67
8. KAYNAKLAR …………………………………………………………………..69

vii
ÖNSÖZ

Bu çalışma, Selçuk Üniversitesi Fen- Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü
Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN yönetiminde yapılarak, Selçuk
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur.
Tezimi büyük bir sabır ve titizlikle yöneten hocam Yrd. Doç. Dr. Kemal AYDIN’ a,
tez çalışmam süresince artık geleneksel hale gelen Prof. Dr. Haydar BULGAK
yönetiminde haftalık yapılan lisansüstü seminer programında çalışmalarımı
anlatmama fırsat sağlayan ve bu vesileyle değerli öneri ve eleştirilerinden
faydalandığım Prof. Dr. Haydar BULGAK’ a teşekkürlerimi ve saygılarımı sunarım.
Aynı zamanda, çalışma esnasında beni maddi ve manevi desteğinden yoksun
bırakmayan sevgili ailem ve eşim Mustafa KIZILKAN’ a da teşekkürü bir borç
bilirim.

Gülnur ÇELİK KIZILKAN
v
KULLANILAN SEMBOLLER

t : Grid noktaları
i
h : i inci adımdaki adım genişliği
i
x(t ): Cauchy probleminin tam çözümünün t noktasındaki değeri
i i
y :Cauchy probleminint noktasındaki nümerik metot kullanarak elde edilen
i i
yaklaşık çözümünün değeri
LE : i inci adımda oluşan lokal hata
i
GE : i inci adımdaki global hata
i
h*: Pratik adım genişliği parametresi
: İstenilen hata seviyesi
 : i inci adımda lokal hata için istenilen hata seviyesi
L
i
 : Global hata için istenilen hata seviyesi
g

vi
1
1. GİRİŞ

Diferensiyel denklemler, birçok fiziksel problem ve olayı matematiksel olarak
tanımlamaya yarar. Dolayısıyla diferensiyel denklemlerin analitik çözümü için doğru
çözüm işlemleri bulmak önemli bir problemdir.

x f(t,x)
x(t )  x , t tT (1.1)
0 0 0

Cauchy problemini ele alalım. Hemen şu sorular akla gelir: Problemin çözümü var
mı? Eğer varsa hangi şartlarda tektir? Literatürde bu soruların cevabını Picard
Teoremi vermektedir. Ayrıca, genellikle pratikte tam çözüm bulmak ya mümkün
değildir yada hesaplanması çok zordur. Dolayısıyla son yıllarda, yaklaşık çözüm
bulmak için nümerik çözüm yöntemleri oldukça önem kazanmıştır.

1.1. Problemin Tanıtımı

Nümerik metotlar iteratif olduklarından (1.1) Cauchy probleminin çözümünün
hesaplanmasında büyük kolaylıklar sağlamasına rağmen nümerik metot kullanılması
ile elde edilen çözüm problemin tam çözümün yerine kullanılabilecek kadar yakın
olmayabilir. Bu nedenle nümerik metotlarla hesaplama yapılırken adım genişliği
seçimi öne çıkmaktadır. Literatür çalışmalarının çoğunda sabit adım genişliği
seçilerek hesaplama yapılmıştır. Fakat sabit adım genişliği seçildiğinde yaklaşık
çözümün tam çözümden uzaklaşmaması için adım genişliğinin çok küçük seçilmesi
gerekmektedir. Bu ise pratik değildir.
2001-2002 eğitim öğretim yılında Uygulamalı Matematik Araştırma
Merkezi’nde Prof. Dr. Haydar Bulgak yönetiminde yapılan lisansüstü seminer
çalışmalarında, Cauchy probleminin nümerik integrasyonunda Picard Teoremi
üzerinde temellenen adım genişliği stratejileri, N. Chumakova, H. Bulgak, A. Bulgak
ve K. Aydın tarafından tartışılmıştır. Ancak bu çalışmalar sonuçlandırılmamıştır. Bu
tez çalışması bu seminerden esinlenerek yapılmıştır.
2
Bu çalışmada (1.1) Cauchy probleminin nümerik integrasyonuda kullanılacak
nümerik metodun analitik çözüme yakın sonuçlar vermesi için uygun h- adım
j
genişliği belirlemek hedeflenmiştir.

1.2. Literatür Özeti

(1.1) Cauchy probleminin nümerik çözümü için kullanılan birçok nümerik
metot vardır. bunlardan birisi üç adım BDF (backward differentiation formulae)
metodudur. Guglielmi ve Zennaro (2001) çalışmalarında;  ler h ye bağlı
j,i j
fonksiyonlar olmak üzere

u  u  u  u ,(j=0,1,…)
j3 j,2 j2 j,1 j1 j,0 j

homojen lineer fark denkleminin companion matrisini ele alarak üç adım BDF
metodunun kararlı olmasını sağlayan h t t (j=0,1,…) adım genişliği spektral
j j1 j
yarıçap yardımıyla elde etmişlerdir.

Beyn ve Garay (2002); homojen birinci mertebeden diferensiyel Cauchy
probleminden hareketle homojen olmayan yarı lineer diferensiyel Cauchy problemi
için adım genişliği önermişlerdir. Ancak, tahminlerinin adım genişliği seçimine
temel bir kural oluşturmak için yeterli olmadığını belirtmişlerdir.

Rice ve Do (1995), adım genişliğini kontrol eden iki metottan bahsetmişlerdir.
Bunlardan birisi Bailey (1969) tarafından önerilen bir metottur. Herhangi bir
integrasyon metoduna uygulanabilen bu metotta y = (y ,y ,…,y )T ve y(t ) = y
1 2 N n n
vektörü için y= |y(t )-y(t )| farkı hesaplanır. y nin i-inci bileşeni için a) eğer
n+1 n
y/y<0,01 ise h adım genişliğinin yerine 2h alınır. b) Eğer y/y>0,1 ise h adım
i i i i
genişliği yerine h/2 alınır. c) a ve b şıkları sağlanmıyorsa hadım genişliği aynı kalır.
Rice ve Do, Bailey’ in adım genişliği kontrolü ile ilgili önerdiği bu metot hakkında
detaylı bilgi vermemiştir.