TANGENtE A UNA ciRcUNFERENciA

288 Pages·2017·30.44 MB·Spanish

Matemática
Material de apoyo para prueba No. 1
ENTREGA No. 1
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en Casa pone a su disposición la distribución de ítems según los
conocimientos y habilidades específicas de Geometría.
Este documento “Geometría” pretende facilitar la adquisición
de este tema en el nivel de décimo año y le ayudará a resolver 19
ítems que encontrará en la prueba.
Recuerde que en www.dgce.mep.go.cr podrá encontrar ejerci-
cios que le servirán como práctica para la prueba de Matemática.
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Distribución de ítems M
Matemática - EL MAESTRO EN CASA BACHILLERATO
DISTRIBUCIÓN SEGÚN HABILIDADES GENERALES Y ESPECÍFICAS • Prueba 1
Área 1: GeOMeTrÍa. 19 ÍTeMS
Habilidad 1: rePreSenTar laS circunferenciaS de Manera analÍTica y GrÁfica
conocimientos Habilidades Específicas Ítems
Geometría Analítica 1.1 Representar algebraicamente una circunferen-
cia dado su centro y su radio.
v Circunferencia
1.2 Resolver problemas relacionados con la circun-
- Centro
ferencia y sus representaciones. 3
- Radio
1.3 Determinar gráfica y algebraicamente si un
punto se ubica en el interior o en el exterior de
una circunferencia.
Habilidad 2: analizar relaciOneS de POSición
relaTiva enTre recTaS y circunferenciaS
conocimientos Habilidades Específicas Ítems
Geometría Analítica 2.1 Determinar si una recta dada es secante, tan-
gente o exterior a una circunferencia.
v Circunferencia
2.2 Representar gráfica y algebraicamente rectas
- Centro
secantes, tangentes y exteriores a una circun-
- Radio
ferencia.
- Recta secante
2.3 Analizar geométrica y algebraicamente la po-
- Recta tangente
sición relativa entre rectas en el plano desde 4
v Recta exterior el punto de vista del paralelismo y la perpendi-
cularidad.
v Rectas paralelas
2.4 Aplicar la propiedad que establece que una
v Rectas perpendiculares recta tangente a una circunferencia es perpen-
dicular al radio de la circunferencia en el punto
de tangencia.
Habilidad 3: uTilizar la GeOMeTrÍa analÍTica
Para rePreSenTar circunferenciaS y TranSfOrMaciOneS
conocimientos Habilidades Específicas Ítems
Geometría Analítica 3.1 Aplicar traslaciones a una circunferencia.
v Circunferencia
2
- Centro
- Radio
3
M Distribución de ítems
BACHILLERATO Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Habilidad 4: calcular ÁreaS y PerÍMeTrOS de POlÍGOnOS
conocimientos Habilidades Específicas Ítems
Polígonos 4.1 Determinar la medida de perímetros y áreas de
v Lado polígonos en diferentes contextos.
v Radio 4.2 Determinar las medidas de los ángulos internos
y externos de polígonos en diversos contextos.
v Apotema
4.3 Determinar la medida de la apotema y el radio
v Ángulo central
de polígonos regulares y aplicarlo en diferentes
v Ángulo interno
contextos.
5
v Ángulo externo
4.4 Calcular perímetros y áreas de polígonos no
v Diagonal
regulares utilizando un sistema de coordenadas
v Perímetro rectangulares.
v Área 4.5 Resolver problemas que involucren polígonos
v Relaciones métricas y sus diversos elementos.
Habilidad 5: viSualizar y aPlicar caracTerÍSTicaS
y PrOPiedadeS de fiGuraS GeOMéTricaS TridiMenSiOnaleS
conocimientos Habilidades Específicas Ítems
Visualización espacial 5.1 Identificar el radio y el diámetro de una esfera.
v Esfera 5.2 Identificar la superficie lateral, las bases, la al-
v Cilindro circular recto tura, el radio y el diámetro de un cilindro circular
recto.
v Base
5.3 Determinar qué figuras se obtienen mediante
v Superficie lateral
secciones planas de una esfera o un cilindro y
v Radio
características métricas de ellas. 5
v Diámetro
5.4 Reconocer elipses en diferentes contextos.
v Sección plana
v Elipse
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Geometría M
Matemática - EL MAESTRO EN CASA BACHILLERATO
Geometría analítica
La Geometría Analítica es la parte de la Matemática que resuelve proble-
mas geométricos bajo el concurso del Álgebra mediante el uso de sistemas de
coordenadas.
Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana, continúa con
la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con
el desarrollo de la geometría algebraica.
Actualmente la geometría analítica tiene múltiples aplicaciones más allá de
las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de adminis-
tradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.
La Geometría Analítica establece un puente para transitar entre la Geome-
tría y el Álgebra al permitir asociar curvas y ecuaciones. Esto es, la Geometría
Analítica se basa en la idea “a cada punto en un plano le corresponde un par
ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un
punto en un plano”.
Esto lo logra mediante dos cuestiones fundamentales:
t Dado la curva en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
t Dada una ecuación indeterminada, polinomio o función, determinar en un
sistema de coordenadas, la curva que representa.
Lo innovador de la geometría analítica es que representa las figuras geomé-
tricas mediante fórmulas del tipo f(x) = y donde f es una función u otro tipo de
expresión matemática.
La Geometría Analítica fue iniciada y desarrollada por los eminentes mate-
máticos Rene Descartes y Pierre Fermat y claro está por otros matemáticos, a
principios del siglo XVII.
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M Geometría
BACHILLERATO Matemática - EL MAESTRO EN CASA
La circunferencia y el círculo
Una de las figuras geométricas planas que más Cuenta la historia que los babilonios hace
importancia tiene, tanto en Matemática como en sus aproximadamente 6000 años, fueron los primeros en
aplicaciones, es la circunferencia. observar este hecho tan importante, de ahí su afán
de descubrir las propiedades de la circunferencia y
del círculo. Ciertos vehículos con ruedas se manifies-
tan en los jeroglíficos o símbolos sagrados trazados
sobre tiras de papiro por los egipcios en el año 4000
antes de Cristo.
Con la aparición de la rueda, empieza el desa-
rrollo del transporte y de la maquinaria, principales
Una rueda, al dar una vuelta completa, describe factores en el progreso humano.
una trayectoria cuya longitud es el perímetro de la
Todos sabemos cómo utilizar el compás para
circunferencia de la rueda.
trazar figuras que representen circunferencias.
Si dividimos la longitud de esta circunferencia
entre el diámetro de la rueda obtenemos un valor que
es independiente del tamaño de la rueda. Además,
podemos decir que si multiplicamos este valor por
la medida del diámetro obtenemos la longitud de la
circunferencia.
Esta relación entre la longitud de la circunferen-
cia y su diámetro es, posiblemente, la más popular
de todas las constantes matemáticas: el número π.
Observamos que lo esencial en
este proceso de dibujar una circun-
ferencia es que durante el trazo de
la curva no variamos la abertura del
compás, por lo que no alteramos la
distancia entre sus dos puntas, la
punta fija en el punto O y en la que va
marcando los puntos P.
La observación anterior nos per-
mite expresar lo siguiente:
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Geometría M
Matemática - EL MAESTRO EN CASA BACHILLERATO
Consideremos un plano π y en él un punto O Puntos interiores y puntos exteriores
cualquiera pero fijo, o sea, no lo podemos cambiar.
La circunferencia divide el plano en dos regiones,
uno exterior y otro interior.
O
π
Además consideremos un número positivo lla-
mado r. Se llamará circunferencia al conjunto de
Los puntos como X cuya distancia al centro es mayor
todos los puntos del plano π que se encuentran a
que el radio se llaman puntos exteriores, los puntos que
una misma distancia r del punto O.
como Y, que están a una distancia del centro menor que
el radio se llaman puntos interiores a la circunferencia.
Los puntos como P que están a una distancia del centro

igual al radio son puntos de la circunferencia.
Es decir,
OX > r si y sólo si X es punto exterior
OY < r si y sólo si Y es punto interior
OP = r si y sólo si P es punto de la circunferencia
Observe que todos los puntos que constituyen
una circunferencia se hallan en un mismo plano π,
es decir, son coplanares. Además, todos esos puntos
Círculo
se hallan a una misma distancia del punto O, o sea
equidistan del punto O. Se llama círculo al conjunto formado por los pun-
tos de una circunferencia y por los puntos interiores
En la figura siguiente los puntos A, B, P son
de la misma. Al punto centro de la circunferencia
puntos de la circunferencia y los segmentos OA, OB,
también se le llama centro del círculo.
OP se llaman radios.
Al extremo del radio que se halla en la circunfe-
rencia se llama extremo exterior. En la figura A, B
y P son extremos exteriores.
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M Geometría
BACHILLERATO Matemática - EL MAESTRO EN CASA
Partes de un círculo t Tangentes, si la distancia d del centro de la
circunferencia a la recta es igual que el radio r
Cuerda
(d = r).
t Secantes, cuando esa distancia d es menor al
radio r (d < r).
Recta exterior a una Circunferencia
Una recta se llama exterior a una circunferencia
si es coplanar a ella y además no tiene ningún punto
común con la circunferencia.
Se llama cuerda de la circunferencia de un
En la figura PQ y RS son dos rectas exte-
círculo a un segmento cuyos extremos son puntos
riores de la circunferencia de centro 0. Nótese que
diferentes de la circunferencia.
la distancia d del centro de la circunferencia a las
En la figura HT y RS son cuerdas de la circun- rectas es mayor que el radio r de la circunferencia.
ferencia de centro O.
P Q
Diámetro d
Si una cuerda de la cir-
O
cunferencia de un círculo es
d
tal que el centro es uno de sus
S
puntos, esa cuerda se llama
diámetro.
R
En la figura AB y CD
son cuerdas de la circunferen- Recta secante a una Circunferencia
cia de centro O que contienen
Se llama secante a una circunferencia a una recta
al punto O, centro de la circunferencia. Por lo tanto
que interseca a la circunferencia en más de un punto.
son diámetros de ésta.

La longitud del diámetro se designa general-
mente por d y se cumple que el diámetro es igual
a dos radios.
d = 2 r

�
Posiciones relativas de una
recta y la circunferencia
� Por ejemplo:
Una recta y una circunferencia pueden ser:
La recta CD es una recta secante de la circun-
t exteriores, si la distancia d del centro de la
ferencia con centro O, puesto que interseca a dicha
circunferencia a la recta es mayor que el radio r
circunferencia en dos puntos A y B.
de la circunferencia (d > r).
8
�
Geometría M
Matemática - EL MAESTRO EN CASA BACHILLERATO
Observe que toda recta secante contiene una
cuerda. Recuerde: Por cada punto de una circunfe-
rencia pasa una tangente y sólo una.
En la figura anterior, tenemos que CD contiene
a la cuerda AB.
ejemplo:
Recta tangente a una circunferencia
En la figura siguiente, l es secante y t es tan-
Una recta se llama tangente a una circunferencia gente a la circunferencia en el punto c. Al segmento
si es coplanar a ella y la interseca en uno y sólo un OC se le llama radio de contacto.
punto. Al radio que contiene el punto de tangencia se
le llama radio de contacto. Decimos que la recta y la
circunferencia son tangentes en el punto de contacto.

El punto de intersección se llama Punto de
Tangencia o punto de contacto.
resumiendo:
Por ejemplo:
La recta AB es una recta tangente de la circun-
secante
ferencia con centro O, puesto que interseca a dicha
circunferencia en el punto A. También, tenga presente
�
que si AB es una recta tangente de la circunferencia
� diámetro
en el punto A entonces AB se llama un segmento
tangente desde el punto B a la circunferencia.
cuer rad tangente
d i
a o
A
C
D Formas de trazar una
circunferencia
Observe que toda recta tangente contiene un
segmento tangente. El trazo de una circunferencia es uno de los más
simples. Éste se puede hacer, por ejemplo, con un
En la figura anterior, tenemos que la recta CD
clavo o tachuela y con un hilo tal como lo hacen los
contiene al segmento tangente CD .
9
�
�
�
M Geometría
BACHILLERATO Matemática - EL MAESTRO EN CASA
jardineros, pero se obtienen gráficas más precisas ejemplo 3
utilizando un compás.
Tiene su centro en C (- 4,2) y es tangente al eje X.
Algunos ejemplos de trazos de circunferencias
y
ejemplo 1
Tiene su centro en C (2,1) y radio r = 4.
y
x
x
Actividad 1
1. Indique qué segmentos son radios:
ejemplo 2
Por ejemplo:
Tiene su centro en el origen y pasa por el punto
P (3,4). a) A B OA
y O OD
C D
b) A B __________
__________
O
D
__________
x
C E
A
c) __________
O B __________
C
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