Table Of ContentDIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
R. GRAMMEL . E. HOPF . H.H OPF . F. K. SCHMIDT
B. L. VAN DER WAERDEN
BAND XC
TABELLEN
ZUR
FOURIER TRANSFORMATION
VON
FRITZ OBERHETTINGER
SPRINGER-VERLAG
BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG
1957
TABELLEN
ZUR
FOURIER TRANSFORMATION
VON
DR. FRITZ OBERHETTINGER
PROFESSOR DER MATHEMATIK
AMERICAN UNIVERSITY WASHINGTON, D. C.
SPRINGER-VERLAG
BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG
1957
ALLE RECHTE,
INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN,
VORBEHALTEN
OHNE AUSDRUCKLICHE GENEHMIGUNG DES VERLAGES
1ST ES AUCH NICHT GESTATTET, DIESES BUCH ODER TEILE DARAUS
AUF PHOTHOMECHANISCHEM WEGE (PHOTOKOPIE, MIKROKOPIE) ZU VERVIELFALTIGEN
© BY SPRINGER-VERLAG OHG. BERLIN· GOTTINGEN . HEIDELBERG 1957
SOFfCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1957
ISBN-13: 978-3-642-94701-8 e-ISBN-13: 978-3-642-94700-1
DOl: 10.10071 978-3-642-94700-1
DRUCK DER UNIVERSITATSDRUCKEREI H. STURTZ AG., WORZBURG
MEINER FRAU DOROTHY
GEWIDMET
Vorwort
Die nachfolgenden Tabellen stellen eine Sammlung von Integralen
der folgenden Form dar.
00
(1 ) g(y) = f I(x) cos(xy)dx (Erstes Kapitel)
0
00
(2) g (y) = f I (x) sin (x y) d x (Zweites Kapitel)
0
00
(3 ) g(y) = Jt(x) eixy dx (Drittes Kapitel).
-00
Die Funktion g(y) in (1), (2) und (3) wird der Reihe nach als FOURIER
Kosinus-, FOURIER-Sinus-, und exponentielle FOURIER-Transformation
der Funktion I (x) bezeichnet. Unter gewissen Bedingungen [s. z. B.
eines der im Literaturverzeichnis unter a) aufgefiihrten WerkeJ gelten
die (1), (2) und (3) entsprechenden Umkehrformeln
.0f0
(1 a) I(x) = ~ g(y) cos(xy) dy
o
00
(2a) I(x) = ~ J g(y) sin(xy) dy
o
00
I(x) = .LJg(y) e-ixYdy.
2n
-00
Offensichtlich geht das Formelpaar (3), (3a) in (1), (1 a) oder (2), (2a)
iiber, je nachdem I(x) gerade oder ungerade ist. In den Tabellen sind
Parameter die durch lateinische Buchstaben bezeichnet sind, wenn nicht
anders vermerkt, als positiv und reell vorausgesetzt, wobei fUr die
Beispiele im dritten Kapitel der Parameter yauch negative Werte
annimmt. In den meisten Fallen ist der Giiltigkeitsbereich eines Formel
paares fUr komplexe Werte dieser GraBen sofort ersichtlich. Griechische
Buchstaben bedeuten komplexe Parameter innerhalb des angegebenen
Giiltigkeitsbereiches. In einigen Fallen ist die Funktion g (y) nur iiber
einen Teilbereich von y angegeben. Dies bedeutet, daB sich g (y) fUr
den restlichen Bereich nicht in einfacher Form angeben liiBt. Die
historische Entwicklung der FOURIER-Transformation ist in dem Artikel
VIIT Vorwort
"Trigonometrische Reihen und Integrale" von H. BURKHARDT dar
gestellt. Eine reichhaltige Auswahl von Losungen von Randwert
problemen mittels der FOURIER-Transformation ist in dem Buche von
SNEDDON gegeben. In diesem Zusammenhange sei bemerkt, daB in den
letzten 10 Jahren die auf der FOURIER-Transformation beruhende Me
thode von WIENER und HOPF zur Auflosung von singuHiren Integral
gleichungen (s. z.B. Rap. 4 des Buches von PALEY und WIENER) in
umfangreichem MaBe zur Losung von Randwertproblemen der Beu
gungstheorie herangezogen wurde. Eine Reihe von Anwendungen in
der Theorie der elektrischen Netzwerke findet sich in den I. R. E.
Transactions on circuit theory". Die erste groBere Sammlung von
FOURIER-Integralen scheint die Zusammenstellung von CAMPBELL im
Bell System Technical Journal zu sein. Diese wurde spiHer von CAMP
BELL und FOSTER erweitert und in Buchform herausgegeben. Weitere
Tabellen enthalt das kiirzlich von A. ERDELYI herausgegebene Werk.
Der vorliegende Band enthalt rund 1800 Formelpaare. Ein erheblicher
Teil davon ist neu und ist unveroffentlichtem Material des Verfassers
entnommen. Verbesserungsvorschlage, insbesondere die Richtigstellung
von Irrtiimern und Druckfehlern werden vom Verfasser dankbar en t
gegengenommen.
American University Washington, D.C. 1956
FRITZ OBERHETTINGER
Inhaltsverzeichnis
Sei!e
Vorwort .................. . VII
Erstes Kapitel: FOURIER-Kosinus-Transformationen
§ 1. Algebraische Funktionen 1
§ 2. Beliebige Potenzen . . . . 5
§ 3. Exponentiaifunktionen . . 10
§ 4. Logarithmische Funktionen 15
§ 5. Trigonometrische Funktionen 18
§ 6. Zyklometrische Funktionen 32
§ 7. Hyperbolische Funktionen. . 34
§ 8. Orthogonale Polynome . . . 43
§ 9. Gamma- und RIEMANN-Zetafunktion 46
§ 10. Fehlerintegral . . . . . . . . . 47
§ 11. Exponentialintegral. . . . . . . 49
§ 12. Integralsinus und Integralkosinus . 50
§ 13. FREsNEL-Integrale . . . . . . . 52
§ 14. LEGENDRE-Funktionen . . . . . 55
§ 15. BESsEL-Funktionen vom Argument x 61
§ 16. BESsEL-Funktionen vom Argument x2 und 1/X 71
§ 17. BESsEL-Funktionen vom Argument (ax2+bx+c)~ 74
§ 18. BESSEL-Funktionen mit trigonometrischem und hyperbolischem
Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
§ 19. BESsEL-Funktionen mit variabler Ordnung. . . . . . . . 84
§ 20. Modifizierte BESsEL-Funktionen vom Argument x 86
§ 21. Modifizierte BESsEL-Funktionen vom Argument x2 und l/X 89
§ 22. Modifizierte BESsEL-Funktionen vom Argument (ax·+ bx + c)"1 91
§ 23. Modifizierte BESsEL-Funktionen mit trigonometrischem und hyper-
bolischem Argument . . . . . . . . . . . . . . . 97
§ 24. Modifizierte BESsEL-Funktionen mit variabler Ordnung 98
§ 25. LOMMEL-Funktionen . . . . . 100
§ 26. ANGER- und WEBER-Funktionen 101
§ 27. STRuvE-Funktionen. . . . . . 103
§ 28. Elliptische Integrale . . . . . 10 5
§ 29. Parabolische Zylinderfunktionen 107
§ 30. WHITTAKER-Funktionen . 108
§ 31. Thetafunktionen . . . . . . . 109
Zweites Kapitel: FOURIER-Sinus-Transformationen
§ 1. Algebraische Funktionen 110
§ 2. Beliebige Potenzen . . . . 116
§ 3. Exponentialfunktionen . . 121
§ 4. Logarithmische Funktionen 126
§ 5. Trigonometrische Funktionen 130
§ 6. Zykiometrische Funktionen 144
§ 7. Hyperbolische Funktionen. . 145
x Inhaltsverzeichnis
Seite
§ 8. Orthogonale Polynome 153
§ 9· Gammafunktion . . 1 57
§ 10. Fehlerintegral . . . . 157
§ 11. Exponentialintegral. . 159
§ 12. Integralsinus und Integralkosinus . 160
§ 13. FREsNEL-Integrale . . . . . . . 162
§ 14. LEGENDRE-Funktionen . . . . . 163
§ 15. BESsEL-Funktionen vom Argument x 165
§ 16. BESsEL-Funktionen vom Argument x2 und llx 174
§ 17. BESsEL-Funktionen vom Argument (ax2+ bx + c)~ 177
§ 18. BESsEL-Funktionen mit trigonometrischem und hyperbolischem
Argnment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
§ 19. BESsEL-Funktionen mit variabler Ordnung. . . . 183
§ 20. Modifizierte BESsEL-Funktionen vom Argument x 184
§ 21. Modifizierte BESSEL-Funktionen vom Argument x2 und 11x 186
§ 22. Modifizierte BESsEL-Funktionen vom Argument (ax2+ bx + c)~ 188
§ 23. Modifizierte BESsEL-Funktionen mit trigonometrischem und hyper-
bolischem Argument . . . . . . . . . . . . . . . 191
§ 24. Modifizierte BESsEL-Funktionen mit varia bIer Ordnung 192
§ 25· LOMMEL-Funktionen . . . . . 194
§ 26. ANGER- und WEBER-Funktionen 194
§ 27· STRuvE-Funktionen. . . . . . 195
§ 28. Elliptische Integrale . . . . . 197
§ 29. Parabolische Zylinderfunktionen 198
§ 30. WHITTAKER-Funktionen. . . . 199
Drittes Kapitel: Exponentielle FOURIER-Transformationen. 201
Anhang: Zusammenstellung von Abkiirzungen und Definitionen der Funk-
tionssymbole 207
Literatur ..... . 214
Berichtigungen
S. 4, Formel 7, rechte Seite: (~ n Y' anstatt (+ n y Y.
S. 10, Formel 7, rechte Seite: Faktor y fehlt.
S. 11, letzte Formel, linke Seite: x2n anstatt x~2n.
S. 14, Formel5, rechte Seite: (nb)~ anstatt nb~.
+
S. 21, Formel 4, linke Seite: b2 anstatt - b2 im Nenner.
S. 36, Formel 6, rechte Seite: cos (~ 15) anstatt cos ( ~ b) im ~ellller.
S. 39, Formell, linke Seite: cosh[b(a2-x2)~J anstatt cosh [b(a2-x2)J.
S. 48, Formel6, linke Seite: -Erf(ax-1) anstatt Erfc(ax-1).
S. 49, Formel2, rechte Seite: Ei(-~ab+iay) anstatt i(-ab+iay).
S. 59, Formel 2, linke Seite: oberer Index f! fehlt.
Erstes Kapitel
F OURIER-Kosinus-Transformationen
§ 1. Algebraische Funktionen
f(x) I g(y) = oi f (x) cos(xy)dx
1 O<x<a I y-lsin (a y)
o x>a
x O<x<1
2-x 1<x<2 4y-2cos y sin2 (~ y)
0 x>2
0 O<x<a
- Ci(ay)
X-I x>a
x-1 ni (2y)-l
x-A O<x<a
(2n)l y-! C (a y)
0 x>a
0 O<x<a (2n)~ y-! [~ - C (a y) 1
x-i x>a
+
(a X)-l - si (a y) sin (a y) - Ci (a y) cos (a y)
+
0 O<x<b - sin (ay) si[y(a b)] - cos(ay) X
+
(a X)-l x>a xCi[y(a+b)]
(;~:~l [cos(ay+ ~ nn)si(ay)-
-sin(ay+ ~ nn)x
n = 2,3,4, ... n-l
+m~l ~:~1\\!
X Ci (a y) X
X sin [~ n(n - m) 1a -m(_ y)n-m-l
Oberhettinger, Tabellen
2 1. FOURIER-Kosinus-Transformationen
f(x) g(y) = if (x) cos (x y) dx
o
+ +
0 O<x<b a-I [cos (ay) Ci(ay by)
X-I (a + xtl x>b + sin (ay) si(ay + by) - Ci(by)]
nL-l
(m-1)!( +b)-m(_ )n-m-l
(n-1)! a y X
m=l
0 O<x<b xsin [ -1n (n-m)-by1 - (-y)n-l X
(a + x)-n x> b 2 (n-1)!
n = 1,2,3, ... X [sin (ay + ~ nn) Ci(ay + by) -
- cos (ay + ~ nn)si(ay + by) 1
n!(2y)-~-na!cos(ay) [1-C(ay)-
xl (a + xtl
-S (a y)]-nalsin(a y) [C(a y)-S (a y)]
na-l{cos(ay) [1 - C(ay) - S(ay)] +
x-lea + xtl
+sin(ay) [C(ay) - S(ay)]}
(2n)! y-l {[ ~ - C (a y)] cos (a y) +
(a + x)-l
+ [~ - S (a y)] sin (a y) }
cos (ay) Ci(ay) + sin (ay) [~ n + Si(ay)]
(a - xtl
Das Integral ist als CAUCHY-Hauptwert
definierl.
0 O<x<b n!(2y)-j [sin (ay) + cos (ay) - 2 cos (ay) X
(a + x)-l x>b xC(ay+ by) - 2 sin (ay) S(ay+ by)]
2a-l- (2ny)I{[1-2S'(Vay)] cos (ay) -
(a + x)-I
- [1 - 2C (Vay)] sin (ay)}
0 O<x<a
n!(2y)-![cos(ay) - sin (ay)]
(x - a)-l x>a
--
0 O<x<a n1y-!cos(: + ay)-
X-I (x - a)~ x>a -nal[1 - C(ay) - S(ay)]
