Systematische Analyse und Entwurf von Regelungseinrichtungen auf Basis von Lyapunov's direkter Methode

157 Pages·2019·2.24 MB·German

by  Rick Voßwinkel

Rick Voßwinkel
Systematische Analyse
und Entwurf von
Regelungseinrichtungen
auf Basis von Lyapunov’s
direkter Methode
Systematische Analyse und Entwurf
von Regelungseinrichtungen auf Basis
von Lyapunov's direkter Methode
Rick Voßwinkel
Systematische Analyse
und Entwurf von
Regelungseinrichtungen
auf Basis von Lyapunov's
direkter Methode
Rick Voßwinkel
Leipzig, Deutschland
Die Promotion wurde durch die Studienstiftung des deutschen Volkes gefördert.
Die vorliegende Arbeit wurde unter dem Titel „Systematische Analyse und Ent-
wurf von Regelungseinrichtungen auf Basis von Lyapunov’s direkter Methode“ am
12.07.2019 als Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades Doktoringenieur
(Dr.-Ing.) an der Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik der Technischen
Universität Dresden verteidigt.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. techn. Klaus Janschek (TU Dresden)
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. habil. Dipl.-Math. Klaus Röbenack (TU Dresden)
Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Hendrik Richter (HTWK Leipzig)
Tag der Einreichung: 27.02.2019
Tag der Verteidigung: 12.07.2019
ISBN 978-3-658-28060-4 ISBN 978-3-658-28061-1 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-658-28061-1
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V
Vorwort
DievorliegendeDissertationsschriftbesch¨aftigtsichmitdersystematischenAnaly-
se dynamischer Systeme und dem konstruktiven Regelungsentwurf auf Basis von
Lyapunov-Methoden. Sie entstand im Rahmen eines kooperativen Promotionsver-
fahrens der Technischen Universit¨at Dresden, sowie der Hochschule fu¨r Technik,
WirtschaftundKulturLeipzigundwurdedurcheinPromotionsstipendiumderStu-
dienstiftungdesdeutschenVolkesgef¨ordert.
Mein besonderer Dank gilt meinen beiden Betreuern Herrn Prof. Dr.-Ing. habil.
Dipl.-Math.KlausR¨obenackundProf.Dr.-Ing.HendrikRichterfu¨rdiezahlreichen
Gespr¨ache,HinweiseundAnregungenw¨ahrenddergesamtenBearbeitungszeit.Ohne
ihrevielf¨altigenUnterstu¨tzungenw¨aredieseArbeitnichtm¨oglichgewesen.Außerdem
m¨ochte ich mich bei Herrn Dr.-Ing. Frank Schr¨odel, Herrn Dr.-Ing. Lorenz Pyta,
Herrn Dr. I˙lhan Mutlu, Herrn Prof. Dr.-Ing. Naim Bajcinca und Herrn Dipl.-Ing.
Dinu Mihailescu-Stoica fu¨r die wertvollen Diskussionen im Rahmen gemeinsamer
Ver¨offentlichungenbedanken.
MeinDankgiltweiterhinmeinenKollegenamInstitutfu¨rRegelungs-undSteuer-
ungstheoriederTechnischenUniversit¨atDresdenundderFakult¨atElektrotechnik
undInformationstechnikderHochschulefu¨rTechnik,WirtschaftundKulturLeipzig
fu¨reineVielzahlvoninspirierendenGespr¨achen.
NichtzuletztdankeichmeinerFrauYvonneundmeinenKindernThor,Ole,Lina
undIdafu¨rihreendloseUnterstu¨tzung,GeduldundVerst¨andnis.Siesindeinest¨andige
InspirationundichverdankeihnenmehralsichinderLagebinauszudru¨cken.
Leipzig,August2019 RickVoßwinkel
VII
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Beitr¨ageundAufbauderArbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Begriffe und Ans¨atze zur Lyapunov-basierten Stabilit¨atsanalyse 7
2.1 NichtlineareSystemeundStabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 DirekteMethodevonLyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Lyapunov-Methodenfu¨rlineareSystemeinZustandsraumdarstellung 13
2.4 Lyapunov-Methodenfu¨rlineareDeskriptorsysteme . . . . . . . . . . 16
2.5 Eingangs-Zustands-Stabilit¨at. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6 InkrementelleStabilit¨atundinkrementelleEingangs-Zustands-Stabilit¨at 23
3 Quadratsummenzerlegung zur numerischen Stabilit¨atsanalyse 29
3.1 PolynomeundQuadratsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.1 PolynomeundsemidefiniteProgrammierung . . . . . . . . . . 29
3.1.2 Positivstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 RationaleUmformungnicht-polynomialerVektorfelder . . . . . . . . 35
3.3 Stabilit¨atsanalysedesumgeformtenSystems . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Eingangs-Zustands-Stabilit¨atdesumgeformtenSystems . . . . . . . . 47
3.5 InkrementelleEingangs-Zustands-Stabilit¨atdesumgeformtenSystems 52
4 Stabilit¨atsuntersuchung mit Quantorenelimination 57
4.1 Quantoreneliminationaufreell-abgeschlossenenZahlenk¨orpern . . . . 58
4.2 Stabilit¨atsanalysemittelsQuantorenelimination . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 Stabilit¨atsuntersuchunglinearerSystemeimZustandsraum . . 61
4.2.2 Stabilit¨atsuntersuchunglinearerDeskriptorsysteme . . . . . . 64
4.2.3 Stabilit¨atsuntersuchungnichtlinearerSysteme . . . . . . . . . 66
4.2.4 NichtpolynomialeSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Eingangs-Zustands-Stabilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Parameterraum-Methoden zur Stabilit¨atsanalyse linearer Systeme 79
VIII Inhaltsverzeichnis
5.1 Parameterraum-Ansatzfu¨rZustandsraumsysteme . . . . . . . . . . . 80
5.2 Parameterraum-Ansatzfu¨rDeskriptorsysteme . . . . . . . . . . . . . 84
6 Reglerentwurf 89
6.1 Regelungs-Lyapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.1 Regelungs-Lyapunov-Funktionenfu¨rpolynomialeSysteme . . 89
6.1.2 Regelungs-Lyapunov-Funktionenfu¨rnicht-polynomialeSysteme 95
6.1.3 ISS-Regelungs-Lyapunov-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2 Gu¨teanforderungenanlineareZustandsraumsysteme . . . . . . . . . 101
6.2.1 Grundidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.2 Einstellzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.3 D¨ampfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.2.4 FrequenzbasierendeKriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.5 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2.6 DiskreteSysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7 Zusammenfassung und Ausblick 121
7.1 Zusammenfassung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Anhang 125
A Rationale Umformung eines Laufkatzen-Modells 127
B Rationale Umformung eines Bru¨ckenkran-Modells 129
Literaturverzeichnis 133
IX
Abbildungsverzeichnis
1 Einleitung 1
1 AufbauderArbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Begriffe und Ans¨atze zur Lyapunov-basierten Stabilit¨atsanalyse 7
2 Stabilit¨atimSinnevonLyapunovundasymptotischeStabilit¨at . . . 10
3 ZustandsdiagrammdesSystemsvonVinograd . . . . . . . . . . . . . 11
4 Vergleichsfunktionenfu¨rpos.DefinitheitundradialeUnbeschr¨anktheit 12
5 VeranschaulichungderEingangs-Zustands-Stabilit¨at . . . . . . . . . . 21
6 KaskadierteKopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7 VeranschaulichungderinkrementellenglobalenasymptotischenStabilit¨at 24
8 VeranschaulichungderinkrementellenEingangs-Zustands-Stabilit¨at . 26
9 ZusammenhangzwischenδISS,ISS,δGAS,GAS . . . . . . . . . . . . 26
3 Quadratsummenzerlegung zur numerischen Stabilit¨atsanalyse 29
10 ZusammenhangzwischendemSOS-Programm,demsemidefinitenPro-
grammundSOSTOOLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
11 FurutaPendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12 ZustandsdiagrammdesFurutaPendels . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
13 Beh¨altersystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
14 TaylorapproximationderDurchflussgeschwindigkeit . . . . . . . . . . 55
4 Stabilit¨atsuntersuchung mit Quantorenelimination 57
15 MengederstabilisierendenParametervonBeispiel4.2. . . . . . . . . 65
16 ZustandsdiagrammedesBeispiels4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
17 VergleichderFunktionenα=x2,α=x4 undα= 14|x|1+|x1| . . . . . . 75
18 KaskadierteDarstellungdesBeispiels4.8 . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5 Parameterraum-Methoden zur Stabilit¨atsanalyse linearer Systeme 79
19 MengeallerstabilisierendenParameterdesSystems5.1 . . . . . . . . 83
20 Chua-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
21 KennliniederChua-Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
X Abbildungsverzeichnis
22 Stabilit¨atsgrenzenderChua-Schaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Reglerentwurf 89
23 VerlaufderZust¨andedesgeregeltenBeispiels6.1. . . . . . . . . . . . 93
24 VerlaufderZust¨andedesgeregeltenFurutaPendels . . . . . . . . . . 96
25 L¨osungsgebietderquantorenfreienAussage(6.37) . . . . . . . . . . . 99
26 VerhaltendesBeispiels6.3beiunterschiedlichenEingangsst¨orungen . 100
27 Gu¨tegebieteinderkomplexenEbene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
28 EigenwertederErsatzmatrixfu¨rdenD¨ampfungsfall . . . . . . . . . . 105
29 PID-geregeltesFahrzeug:Gu¨tegrenzenderEinschwingzeitfu¨rKP . . 110
30 PID-geregeltesFahrzeug:Gu¨tegrenzenderEinschwingzeitfu¨rKIundKD111
31 PID-geregeltesFahrzeug:Gu¨tegrenzenderD¨ampfungfu¨rKI undKD 111
32 PID-geregeltesFahrzeug:Gu¨tegrenzenderEigenkreisfrequenzfu¨rKI
undKD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
33 PID-geregeltesFahrzeug:Gu¨tegrenzenderKennkreisfrequenzfu¨rKI
undKD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
34 PID-geregeltesFahrzeug:Gu¨tegrenzendiverserKriterienfu¨rKP undKD113
35 DiskreteGu¨tegebieteinderkomplexenEbene . . . . . . . . . . . . . 115
36 ErsatzschaltbildeinesGleichstrommotors . . . . . . . . . . . . . . . 117
37 Gleichstrommotor:Gu¨tegrenzenderEinschwingzeitfu¨rk1 undk2 . . 118
38 Gleichstrommotor:Gu¨tegrenzenderD¨ampfungfu¨rk1 undk2 . . . . . 118
39 Gleichstrommotor:Gu¨tegrenzenderD¨ampfungfu¨rLundR . . . . . 119
7 Zusammenfassung und Ausblick 121
A Rationale Umformung eines Laufkatzen-Modells 127
40 Laufkatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
B Rationale Umformung eines Bru¨ckenkran-Modells 129
XI
Symbolverzeichnis
N0,N Mengedernatu¨rlichenZahlenab0bzw.1
Z MengederganzenZahlen
R,C K¨orperderreellenbzw.komplexenZahlen
R+ Mengedernicht-negativenreellenZahlen
⊆,⊂ Teilmenge,echteTeilmenge
Kn n-dimensionalerVektorraumu¨berdenK¨orperK
Kn×m Vektorraumder(n×m)-Matrizenu¨berdenK¨orperK
⊕ direkteSumme
MT,M∗ Transponiertebzw.AdjungiertezurMatrixM
M−1,M† Inversebzw.Moore-Penrose-InversezurMatrixM
det(·) DeterminantederMatrix
rang(·) RangderMatrix
M (cid:5)0,M (cid:6)0 positivdefinitebzw.positivsemidefiniteMatrixM
I Einheitsmatrix
⊗ Kronecker-Produkt
∃,∀ Existenzquantor,Allquantor
∧,∨,¬ logischesUnd,Oder,Nicht
=⇒, ⇐⇒ Implikationbzw.A¨quivalenz
f(cid:3)(x),f(cid:3)(cid:3)(x),f(i) erste,zweite,i-teAbleitungvonf bzgl.x
x˙,x¨,x(i) erste,zweite,i-tezeitlicheAbleitungvonx
|·| BetragdesObjektes·
Ck Mengederk-malstetigdifferenzierbarenFunktionen
deg(·) OrdnungdesPolynoms
(a,b),[a,b),[a,b] offenes,halboffenes,geschlossenesIntervall
∅ leereMenge
∈ Elementvon
L V(x) Lie-AbleitungdesSkalarfeldesV entlangdesVektorfeldesf.
f
span{v1,...,vr} lineareHu¨llederVektorenv1,...,vr
∂ partielleAbleitungnachx
∂x
||·|| P-Norm
P
||·||∞ Supremumsnorm