Table Of ContentFFOORRSSCCHHUUNNGGSSBBEERRIICCHHTTEE DDEESS LLAANNDDEESS NNOORRDDRRHHEEIINN--WWEESSTTFFAALLEENN
NNrr.. 11990011
HHeerraauussggeeggeebbeenn iimm AAuuffttrraaggee ddeess MMiinniisstteerrpprrăässiiddeenntteenn HHeeiinnzz KKiüihhnn
vvoann SSttaaaattsssseekkrreettăärr PPrrooffeessssoarr DDrr.. hh.. cc.. DDrr.. EE.. hh.. LLeeoa BBrraannddtt
DDKK 662211..223311:: 551133..773322
PPrrooJfeessssoorr DDrr..--JInngg.. WWaalltthheerr MMeeyyeerr zzuurr CCaappeelllleenn
DDiippll..--JInngg.. EErrnnsstt vvoonn ddeerr OOsstteenn--SSaacckkeenn
IInnssttiittuutt ffüurr GGeettrriieebbeelleehhrree uunndd MMaasscchhiinneenn44JJnnaammiikk
ddeerr RRhheeiinn..--WWeessttff.. TTeecchhnn.. HHoocchhsscchhuullee AAaacchheenn
SSyysstteemmaattiikk uunndd KKiinneemmaattiikk eebbeenneerr uunndd
sspphhäarriisscchheerr KK uurrbbee11rräaddeerrttrriieebbee
WWEESSTTDDEEUUTTSSCCHHEERR VVEERRLLAAGG KKÖOLLNN UUNNDD OOPPLLAADDEENN 11996688
ISBN 978-3-663-06413-8 ISBN 978-3-663-07326-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-07326-0
Vcrlags-Nr.011901
© 1968 by Westdeutscher Verlag Gm bH, Kolo uod Opladco
GesamthcrstcIluog: Westdcutscher Vcrlag
Vorwort
Nachdem die Kopplung von Gelenkgetrieben mit Rädertrieben in der Form der so
genannten Koppelrädertriebe, vor a11em als sphärische Getriebe in Einzelveröffent
lichungen ausführlich untersucht wurde, erschien es angebracht, nunmehr auch in
gleicher Weise die Form der sphärischen Kurbelrädertriebe systematisch zu betrachten,
da auch diese für die Praxis von grafier Bedeutung sind.
Hierbei erschien es jedoch zweckmäJ3ig, die eb enen Getriebe voranzuste11en, da zwischen
den ebenen und sphärischen zwar grafie Verwandtschaft besteht und vielfach bei den
sphärischen Getrieben auf die ebenen zurückgegriffen werden kann, jedoch aber die
ers teren manche Besonderheiten aufweisen, worauf schon in einer Untersuchung über
die Systematik und Kinematik ebener und sphärischer Gelenkgetriebe hingewiesen
wurde.
So sol1 diese »Systematik und Kinematik ebener und sphärischer Kurbelrädertriebe«
einen Beitrag zu einer wichtigen Gruppe räumlicher Getriebe überhaupt liefern.
Für die Aufste11ung der a11gemeinen und der bes onderen Bewegungsgesetze wurde ein
Rechenprogramm für die Datenverarbeitungsanlage S 2002 erste11t, wobei in dankens
werter Weise das Rechenzentrum der Technischen Hochschule Aachen, Leiter: Praf.
Dr. rer. nat. techno F. REUTTER, die Rechenzeit zur Verfügung ste11te.
Besonderer Dank gebührt aufierdem dem Herrn Ministerpräsidenten des Landes Nord
rhein-Westfalen für die Förderung dies er Arbeit.
Aachen, im März 1967 Die Verfasser
3
lnhalt
Einleitung ............................................................. 7
Teil I: Ebene Kurbelrädertriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. Systematik und MaGbeziehungen ....................................... 8
1.1 Aufbau........................................................ 8
1.2 MaGbeziehungen (Tafel I) ........................................ 8
1.3 Winkelbeziehungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Abtriebsbewegung .. . . . .. . . ... .... . ... . ... . .... . ... . .... . .... . ... . . . .. 10
2.1 Das Übersetzungsverhältnis ...................................... 11
a) Rechnerisch (Tafel Il) ........................................ 11
b) Zeichnerisch .................................... :........... 13
c) Totlagen.................................................... 13
2.2 Der Abtriebswinkel ............................................. 13
2.21 Prinzip der Bewegungsüberlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. 13
a) Der einfache Umlaufrädertrieb ................................. 13
b) Der Kurbelrädertrieb (Tafel lIl) ............................... 14
2.22 Integration des Übersetzungsverhältnisses (Tafel IV) . . . . . . . . . . .. . . . .. 17
2.23 Doppelkurbel als Grundgetriebe .................................. 20
2.24 Sonderfälle..................................................... 20
a) rl = r6 (Tafel V) ............................................ 20
b) c = b (Tafel VI) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
2.3 Rast im Abtrieb ................................................ 22
2.3 I Kurbelschwinge ................................................ 23
2.3 Il Doppelkurbel .................................................. 26
2.31 Zeichnerische Deutung der mäglichen Rastgetriebe . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
2.32 Totlagen für rl = a ............................................. 27
2.33 Raststellung zeichnerisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
3. Sonderfälle der Grundgetriebe ......................................... 28
3.1 Schubkurbel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
a) Systematik (Tafel VIII) ....................................... 28
b) Winkelbeziehungen .......................................... 28
3.11 Das Abtriebsgesetz nach dem Prinzip der Bewegungsüberlagerung .... 29
3.12 Das Abtriebsgesetz aus dem Übersetzungsverhältnis ................. 30
3.13 Rast im Abtrieb (Tafel IX) ....................................... 31
3.2 Kurbelschleife. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34
3.21 Das Übersetzungsverhältnis zeichnerisch ........................... 35
3.22 Das Abtriebsgesetz nach dem Prinzip der Überlagerung . . . . . . . . . . . . .. 35
a) Schwingende Schleife als Grundgetriebe ........................ 35
b) Umlaufende Schleife als Grundgetriebe ......................... 36
5
3.23 Rast im Abtrieb ................................................ 37
a) Grundgetriebe schwingend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37
b) Grundgetriebe umlaufend ..................................... 38
3.3 Doppelschieber. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38
Teil II: Sphärische Getriebe .............................................. 40
1. Allgemeiner Grundgedanke ............................................ 40
2. Der sphärische Umlaufrädertrieb ....................................... 40
3. Anwendung auf den Kurbelrädertrieb ................................... 41
3.1 Systematik...................................................... 41
3.2 Bewegungsgesetz für Getriebe I ................................... 41
3.3 Kopplung der Rädertriebe ........................................ 42
3.4 Bewegungsgesetz für das Getriebe II ............................... 42
3.5 Bewegungsgesetz des Abtriebsrades Z6 ............................. 42
3.6 Winkelbeziehungen .............................................. 43
3.61 Kurbelschwinge ................................................. 43
a) Der Abtriebswinkel fJ ......................................... 43
b) Der Schleifenwinkel Ts ........................................ 44
c) Der Überlagerungswinkel1jl .................................... 44
d) Der Gegenwinkel fi ........................................... 44
e) Der Winkel jj ................................................ 44
3.62 Doppelkurbel ................................................... 45
3.7 Der Abtriebswinkel !5 • • . . . • • • . . . • . . . • • . . . • • . . . • . . . • • . . . • . . . . . . . . .. 45
3.8 Gleichschenklige Getriebe (v = ë) ...............................•.. 45
3.9 Sonderfälle...................................................... 46
a) Nicht geschränkte Kurbelschleife ............................... 46
b) Unterfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
4. Übergang vom sphärischen Getriebe zum ebenen durch Grenzübergang ..... 46
5. Stillstände im Abtrieb ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
5.1 Totlagen........................................................ 47
5.2 Rast............................................................ 47
a) Gleichschenklige Getriebe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
b) Graphische Kontrolle ......................................... 49
c) Andere Getriebeformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
Literaturverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
Anhang
Abbildungen ............... , . ... .... .... . . ... . .... ... .. ... . . ... . . .. .. 51
ALGOL-Programm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72
6
Einleitung
Der ebene und sphärische Kurbelrädertrieb wurde auf seine möglichen Bauformen hin
untersucht, systematisch geordnet und durch die Möglichkeiten bei Sonderformen der
Grundgetriebe ergänzt.
Weiter wurden die Bewegungen dies er Getriebe untersucht, d. h., es wurden die Gesetze
der Winkelbewegungen und ihrer den Geschwindigkeiten und Beschleunigungen pro
portionalen Ableitungen angegeben, zumal sich daraus die für die Praxis wichtige V or
aussetzung ergibt, Getriebe mit speziellen Bewegungsgesetzen rechnerisch zu ermitteln.
So konnten z. B. ohne weiteres Getriebe angegeben werden, deren Abtriebsrad bei
gleichförrnigem Antrieb eine gewisse Zeit stillsteht (Rastgetriebe).
Es ergeben sich bei den sphärischen Kurbeltrieben ähnliche Beziehungen wie bei den
ebenen, nur müssen einige Besonderheiten bei der Winkelzählung beachtet und gewisse
Sonderformen der sphärischen Grundgetriebe noch gesondert betrachtet werden.
Wesentlich erscheint zudem, daB sich nicht nur bei den ebenen, sondern auch bei den
sphärischen Getrieben graphische Methoden zur Errnittlung von speziellen Getrieben
anbieten, wenn man die sphärischen Getriebe auf einer Kugel zeichnet.
7
Teil I: Ebene Kurbelrädertriebe
1. Systematik und MaBbeziehungen
1.1 Aufbau
Bei den Koppelrädertrieben [7,23] kämmt das mit der Koppel (Glied 2) einer eb enen
oder sphärischen Viergelenkkette fest verbundene Zahnrad Z2 mit einem Zahnrad Z5,
das sich urn die An- oder Abtriebswelle des Kurbeltriebes dreht (Abb. 1). Bei den hier
zu behandelnden Kurbelrädertrieben ist ein Zahnrad Zl mit der Antriebskurbel (Glied 1)
fest verbunden, vergleiche Abb. 2-10 für ebene Getriebe. Dieses Rad Zl kämmt mit
dem urn den Punkt B drehbaren Zahnrad Z5, das wiederum das urn Bo drehbare Zahn
rad Z6, das Abtriebsrad, antreibt. Da das sechsgliedrige Getriebe drei Zahnräder enthält,
findet man auch die Bezeichnung Dreirädergetriebe [1,6].
Wie die Zusammenstellung in den Abb. 2-10 zeigt, sind zunächst drei Gruppen zu
unterscheiden:
Gruppe 1: Zl und Z5 auBenverzahnt.
Gruppe 2: Z5 innenverzahnt, Zl auBenverzahnt.
Gruppe 3: Zl innenverzahnt, Z5 auBenverzahnt.
Innerhalb jeder Gruppe ergeben sich dann ähnlich den Koppelrädertrieben drei Mög
lichkeiten (Typen). Ihre Reihenfolge entspricht der an anderer Stelle angegebenen [8,9].
Typ a: Z5 innenverzahnt, Z6 auBenverzahnt.
Typ b: Z5 und Z6 auBenverzahnt.
Typ c: Z6 innenverzahnt, Z5 auBenverzahnt.
Es ergeben sich somit 3 . 3 = 9 Getriebeformen. Hierbei kann naturgemäB das Grund
getriebe entarten, z. B. in eine Kurbelschleife oder eine Schubkurbel. Vergleiche auch
Abs. 3. Bei den Abb.2-10 wurde eine Kurbelschwinge als Grundgetriebe gewählt.
SinngemäB gilt die Entwicklung auch für die Doppelkurbel oder Doppelschwinge.
(Gegebenenfalls unter Beachtung einschränkender MaBbeziehungen.)
1.2 MaBbeziehungen
Die Gliedlängen seien wie üblich (vgl. Abb. 11) mit
AoA a (Glied 1, die Antriebskurbel),
AB c (Glied 2, die Koppel),
BoB b (Glied 3, die Abtriebsschwinge oder -kurbel des Grundgetriebes),
AoBo = d (Glied 4 == 0, der Steg),
die Radien der drei Räder mit rl, r5, r6 bezeichnet.
Es ergeben sich dann die in Tafel I zusammengestellten MaBbeziehungen.
So folgt z. B. für die Getriebeform 1 a
+ +
c - b = (rl r5) - (r5 - r6) = rl r6
AuBerdem ist die Getriebeform nur für c > b zu verwirklichen, also nicht bei einer
Doppelschwinge. Demgegenüber fordert die Form 2b die Bedingung b> c, die bei
einer Doppelschwinge erfüllt ist.
8
Tafcl!
Typ Gruppe 1 Gruppe 2 Gruppe 3
r1 < c r5 > c r1 > c
r1 + r5 = c r5-r1 = c r1-r5 = c
I I
r5 -r6 = b •
a r1 + r6 = c-b r6-r1 = c-b r1-r6 = c + b
c>b I r5 > b I r5 > b
r6 + r5 = b I I ~
b r1-r6 = c-b I r1 + r6 = b-c r1 + r6 = c + b
r5 < b b>c I r5 < b
I I
r6-r5 = b ~
c r1 + r6 = c + b I r6-r1 = b + c I r1-r6 = c-b
r6 > b I I ~
1.3 Winkelbeziehungen
Im Grundgetriebe (Abb. 11) ist ex der Antriebswinkel, {J der Schwingen-(oder Abtriebs
kurbel-)winkel und y der Koppelwinkel des Viergelenkgetriebes, während der Abtriebs
winkel des Abtriebsrades Z6 mit b bezeichnet sei.
In den folgenden Berechnungen spielt der Gegenwinkel eX = ~ BoB A (der Altsche
Übertragungswinkel) eine wesentliche Rolle, ferner der Winkel rp = ~ AoBo A der
zugeordneten Kurbelschleife [10].
Trägt man ferner auf BA die Strecke BF ab, so sei der Winkel ABoF mit bezeichnet,
(J
+
und es ist ~ AoBoF = rp (J. Die Strecke ABo sei mitfbezeichnet. Hiernach stellt
sich der Schwingenwinkel {J als die Summe
n eX
{J=-+--rp+(J
2 2
dar und der Koppelwinkel y durch
wobei
{J-y=eX
ist.
(J sei von ABo aus im Uhrzeigersinn positiv gezählt. Der Winkel eX ist der Koppelwinkel
einer gewissen Schubkurbel [11], während die Überlagerung (J sich leicht aus eX und
damit aus ex ebenso errechnen läBt wie rp. Bei gleichschenkligen Getrieben (b = c) ver
schwindet die Überlagerung
(J.
Im einzelnen gelten die folgenden Beziehungen [10, 11, 16]
f = BoA = ya2 + d2 - 2 ad cos ex (1 a)
Y +
r = fjd = 1 .1.2 - 2 À cos ex (1 b)
À sin ex sin rp = (À sin ex)jr,
tanrp= , (1 c)
1 - À cos ex cos rp = (1 - À cos ex)jr,
9
mit r = J/d und A = aId, ferner
tr.p = ddfIXP = fP ,=A (cos rIX2 - A) (ld)
Aus
12 = e2 + b2 - 2 be cos óC
und
+
J2 = a2 d2 - 2 ad cos IX
ergibt sich durch Subtraktion
cos _ = b2+e2-(a2 +d2) + -ad cos (2 a)
IX IX,
2 be be
ader vereinfacht
cos óC = e+ + A+ cos IX (2b)
mit
+ ( +
e+ = (~b-2- ---2')- ---'(a-2- _""d:2") (2c)
2 be
und
A+ = ad/be.
SchlieBlich gelten für die Überlagerung (1 mit C = óC/2 die einfachen Beziehungen
e-b
tan (1 = --cat C, (3 a)
e+b
sin (1 = (e-b)cosC = (e-b)cos C, (3b)
J
d r
cos (1 = sin C (e - b) + 2 b sin C = (e + b) sin C , (3 c)
J J
e+bsinC
= -d- -r-'
oder mit Hilfe der goniometrischen U mformungen, d. h.
+
cotC = 1 cos óC
1-cos óC
und mit Gl. (2 b) auch
V(l
+ +
tan(1 =e-+--b e+) A+COS IX (4)
e b (1 - e+) - A+ cos IX
2. Abtriebsbewegung
Zur Ermittlung der Gesetze für den Abtriebswinkel ó können zwei Wege beschritten
werden:
a) Man ermittelt das Übersetzungsverhältnis i(IX) und gewinnt den Abtriebswinkel ó
durch Integration zu
= f
CJ idIX.
"0
10
Dieser Weg ist kinematisch hinsichtlich i interessant, doch wegen der Integration
etwas kompliziert. Daher so11 er nur kurz für einen Typ gezeigt werden.
b) Man faGt das Getriebe als Kombination von einfachen Umlaufrädertrieben und
Gelenkgetrieben auf und wendet das Überlagerungsprinzip an [19].
2.1 Das Übersetzungsverhältnis
a) Rechnerisch
Zur rechnerisch-zeichnerischen Ermittlung ziehe man den bekannten Satz heran, daG i
als Streckenverhältnis leicht angegeben werden kann. Es gilt mit den Relativpol
abständenp und q, d. h.p = 61-10, q = 61-60 (Abb. 2-10)
i = W60 : WlO = P : q. (5)
Hierbei ist 61 der Relativpol von Rad 6 gegen Glied 1, ebenso 10 = Ao und 60 - Bo.
Der Relativpol61 muG sowohl auf der Geraden 51-65 als auch auf der Geraden 10-60
liegen. Zur Erläuterung der rechnerischen Ermittlung sei zunächst die Getriebeform 1 b
in Abb. 3 herangezogen, insbesondere das vergröGert herausgezeichnete Poldreieck
60-61-65. Hierbei ist
i = p/q = (d + q)/q = 1 + d/q, (6)
und aus dem Poldreieck folgt
r6: q = sin (T + 0) : sin (n/2 - C)
oder
+
d d sin (T a)
(A) (7)
q r6 cos C
Für die Form 1 a in Abb. 2 gilt
i = p/q mit p + q = d,
und es wird
. d-q
t = -- =-1 +d/q,
q
und ähnliche Beziehungen findet man bei den anderen Getrieben. Nur hat bei den
Formen 1 c, 2 c, 3 a, 3 b das Poldreieck andere Winkel (vergleiche die entsprechenden
Abbildungen).
Aus Abb. 4 folgt ferner
+
r / _ sin [n/2 - (T a)]
6q- . r '
Sin <,
+
d d cos (T a)
(B) (8)
q r6 sin C
Die Werte i und d/q sind in der Tafel II zusammengeste11t, wobei die Form von d/q bei
dem Getriebe 2b der von Gl. (7) entspricht, da a nach Definition negativ wird.
Für die weiteren Untersuchungen so11 das Verhältnis d/q als Summe zweier Über
setzungsverhältnisse geschrieben werden.
(9)
11
