Table Of ContentOperator Theory: Advances and Applications
Vol. 176
Editor:
I. Gohberg
Editorial Office: S. T. Kuroda (Tokyo)
School of Mathematical P. Lancaster (Calgary)
Sciences L. E. Lerer (Haifa)
Tel Aviv University B. Mityagin (Columbus)
Ramat Aviv, Israel V. Olshevsky (Storrs)
M. Putinar (Santa Barbara)
L. Rodman (Williamsburg)
Editorial Board:
D. Alpay (Beer-Sheva) J. Rovnyak (Charlottesville)
J. Arazy (Haifa) D. E. Sarason (Berkeley)
A. Atzmon (Tel Aviv) I. M. Spitkovsky (Williamsburg)
J. A. Ball (Blacksburg) S. Treil (Providence)
A. Ben-Artzi (Tel Aviv) H. Upmeier (Marburg)
H. Bercovici (Bloomington) S. M. Verduyn Lunel (Leiden)
A. Böttcher (Chemnitz) D. Voiculescu (Berkeley)
K. Clancey (Athens, USA) D. Xia (Nashville)
L. A. Coburn (Buffalo) D. Yafaev (Rennes)
R. E. Curto (Iowa City)
K. R. Davidson (Waterloo, Ontario) Honorary and Advisory
R. G. Douglas (College Station) Editorial Board:
A. Dijksma (Groningen) C. Foias (Bloomington)
H. Dym (Rehovot) P. R. Halmos (Santa Clara)
P. A. Fuhrmann (Beer Sheva) T. Kailath (Stanford)
B. Gramsch (Mainz) H. Langer (Vienna)
J. A. Helton (La Jolla)
P. D. Lax (New York)
M. A. Kaashoek (Amsterdam)
M. S. Livsic (Beer Sheva)
H. G. Kaper (Argonne)
H. Widom (Santa Cruz)
Subseries: Advances in Michael Demuth
Partial Differential Equations Technische Universität Clausthal
Germany
Subseries editors:
Bert-Wolfgang Schulze Jerome A. Goldstein
Universität Potsdam The University of Memphis, TN
Germany USA
Sergio Albeverio Nobuyuki Tose
Universität Bonn Keio University, Yokohama
Germany Japan
System Theory,
the Schur Algorithm
and Multidimensional
Analysis
Daniel Alpay
Victor Vinnikov
Editors
Advances in
Partial
Differential
Equations
Birkhäuser
. .
Basel Boston Berlin
Editors:
Daniel Alpay
Victor Vinnikov
Deaprtment of Mathematics
Ben-Gurion University of the Negev
P.O. Box 653
Beer Sheva 84105
Israel
e-mail: [email protected]
[email protected]
(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:20)(cid:22)(cid:37)(cid:28)(cid:28)(cid:15)(cid:3)(cid:20)(cid:24)(cid:36)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:19)(cid:40)(cid:19)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:23)(cid:36)(cid:25)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:25)(cid:36)(cid:20)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:25)(cid:42)(cid:20)(cid:19)(cid:15)(cid:3)
(cid:23)(cid:25)(cid:40)(cid:20)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:23)(cid:27)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:24)(cid:26)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:37)(cid:91)(cid:91)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:47)(cid:25)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:25)(cid:24)(cid:41)(cid:91)(cid:91)
(cid:47)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:87)(cid:85)(cid:82)(cid:79)(cid:3)(cid:49)(cid:88)(cid:80)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:29)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:26)(cid:28)(cid:21)(cid:21)(cid:21)(cid:24)(cid:26)
Bibliographic information published by Die Deutsche Bibliothek
(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:191)(cid:72)(cid:30)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:72)(cid:71)(cid:3)
bibliographic data is available in the Internet at <http://dnb.ddb.de>.
(cid:44)(cid:44)(cid:54)(cid:54)(cid:37)(cid:37)(cid:49)(cid:49)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:28)(cid:28)(cid:26)(cid:26)(cid:27)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:16)(cid:22)(cid:26)(cid:16)(cid:25)(cid:26)(cid:23)(cid:25)(cid:22)(cid:16)(cid:23)(cid:27)(cid:22)(cid:21)(cid:16)(cid:25)(cid:27)(cid:27)(cid:20)(cid:72)(cid:79)(cid:22)(cid:86)(cid:87)(cid:25)(cid:82)(cid:16)(cid:81)(cid:22)(cid:3)(cid:177)(cid:3)(cid:3)(cid:37)(cid:37)(cid:76)(cid:72)(cid:85)(cid:85)(cid:78)(cid:79)(cid:76)(cid:81)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:177)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:177)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:76)(cid:81)
(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)
(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)
(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:69)(cid:85)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:70)(cid:68)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:85)(cid:82)(cid:191)(cid:79)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:90)(cid:68)(cid:92)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)
(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:69)(cid:68)(cid:81)(cid:78)(cid:86)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:78)(cid:76)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:80)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:3)(cid:69)(cid:72)
obtained.
(cid:139)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:26)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:3)(cid:36)(cid:42)(cid:15)(cid:3)(cid:51)(cid:17)(cid:50)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:91)(cid:3)(cid:20)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:43)(cid:16)(cid:23)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
Part of Springer Science+Business Media
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:70)(cid:76)(cid:71)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:70)(cid:75)(cid:79)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:79)(cid:83)(cid:17)(cid:3)(cid:55)(cid:38)(cid:41)(cid:3)(cid:102)
(cid:38)(cid:82)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:86)(cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:43)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:93)(cid:3)(cid:43)(cid:76)(cid:79)(cid:87)(cid:69)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)
Printed in Germany
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:19)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:20)(cid:22)(cid:25)(cid:16)(cid:20)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:19)(cid:29)(cid:3)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:20)(cid:22)(cid:26)(cid:16)(cid:59)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:22)(cid:29)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:20)(cid:22)(cid:25)(cid:16)(cid:22)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:16)(cid:20)(cid:22)(cid:29)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:20)(cid:22)(cid:26)(cid:16)(cid:19)
(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:3)(cid:25)(cid:3)(cid:24)(cid:3)(cid:23)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:21)(cid:3)(cid:20)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:69)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:68)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:17)(cid:70)(cid:75)
Contents
Editorial Introduction .................................................... vii
D. Alpay, A.Dijksma and H. Langer
The Transformationof Issai Schur and Related Topics
in an Indefinite Setting .............................................. 1
A. Choque Rivero, Y. Dyukarev, B. Fritzsche and B. Kirstein
A Truncated Matricial Moment Problem on a Finite Interval.
The Case of an Odd Number of Prescribed Moments ................. 99
G. Misra and S. Shyam Roy
On the Irreducibility of a Class of Homogeneous Operators ........... 165
L. Rodman
Canonical Forms for Symmetric and Skewsymmetric
Quaternionic Matrix Pencils ......................................... 199
Z. Sheng, P. Dewilde and S. Chandrasekaran
Algorithms to Solve Hierarchically Semi-separable Systems ........... 255
F.-H. Vasilescu
Unbounded Normal Algebras and Spaces of Fractions ................ 295
Editorial Introduction
Daniel Alpay and Victor Vinnikov
Tout probl`eme profane un myst`ere; a` son tour,
le probl`eme est profan´e par sa solution.
(Cioran, Syllogismes de l’amertume, [5, p. 40])
This present volume contains six papers written on the occasion of the workshop
Operator theory, system theory and scattering theory: multidimensional general-
izations and related topics, 2005, held at the Department of Mathematics of the
Ben-GurionUniversityoftheNegevduringtheperiodJune26–July1,2005.Asfor
the previousconferencesheldin 2001and2003,we wishto thank the participants
for a great scientific atmosphere and acknowledge the support of the Center of
Advanced Studies in Mathematics of Ben-Gurion University of the Negev, which
made the workshop possible. A volume of papers written on the occasion of the
2003 conference appeared in the series Operator Theory: Advances and Applica-
tions; see [2].
Thepaperscanbedividedintothefollowingtopics,whichhadanimportantplace
in the conference, namely:
1. Schur analysis
2. Quaternionic analysis
3. Multidimensional operator theory.
4. Moment problems
Schur analysis: Schur analysis originates with the papers [7], [8] where I. Schur
associatesto a function analyticand bounded by one in modulus in the openunit
disk an infinite sequence of numbers in the open unit disk, or if the function is
a finite Blaschke product, a finite sequence of numbers in the open unit disk and
a number on the unit circle. It is an active field of research, see, e.g., [1] for re-
centdevelopments.The firstpaper,ThetransformationofIssaiSchurandrelated
topics in an indefinite setting, by A. Dijksma, H. Langer and the first named ed-
itor, reviews recent developments in the Schur algorithm in the indefinite case.
The authors focus onthe scalarcase.This hypothesis allows to obtain uniqueness
results for the factorization of certain 2×2 matrix functions which are unitary
with respect to an indefinite metric on the unit circle or on the real line. The
viii D. Alpay and V. Vinnikov
theory of reproducing kernel Pontryagin spaces of the kind introduced by L. de
Branges and J. Rovnyak in the Hilbert space case, see [3], [4], play an important
role in the theory. The next paper, A truncated matricial moment problem on a
finite interval. The case of an odd number of prescribed moments, by A. Choque
Rivero, Y. Dyukarev, B. Fritzsche and B. Kirstein, deals with the matrix-valued
case. The authors use V. Potapov’s Fundamental Matrix Inequality method com-
bined with L. Sakhnovich’s method of operator identities. The Schur algorithm
has been conducive to important applications in signal processing, in particular
in relationships with structured matrices. In the paper Algorithms for hierarchi-
cally semi-separable representation,Z. Sheng, P. Dewilde and S. Chandrasekaran
consider hierarchical semi separable matrices, which are structured matrices for
which various efficient algorithms can be developed, for instance to compute the
Moore-Penroseinverse. The study is in the setting of time-varying systems.
Quaternionic analysis: Linear algebra when the complex field is replaced by the
skew field of quaternions has recently been the object of various papers; see for
instance [6], [9]. Such results are important per se and also in the wider setting
of hypercomplex analysis, when the Cauchy operator is replaced by the Cauchy–
Fueter (resp. the Dirac) operator and analytic functions are replaced by hyper-
complex functions (resp. by regular functions). In Canonical forms for symmetric
and skewsymmetric quaternionic, L. Rodman studies canonical forms for pairs of
quaternionic matrices, and gives applications to various problems where symmet-
ric matrices are involved and to joint numerical cones of pairs of skewsymmetric
quaternionic matrices.
Multidimensional operator theory: We discussed at length the various extensions
of multidimensional operator theory in the editorial introduction of [2]. In the
present volume two directions are represented: the first is the theory of homoge-
neous operators while the second is related to abstract moment problems. More
precisely, in the paper On the irreducibility of a class of homogeneous operators,
G. Misra and S. Shyam Roy use Hilbert module techniques to study homoge-
neous d-uples of operators. In Unbounded normal algebras and spaces of frac-
tions, F. Vasilescuconsiders algebrasoffractions of continuous functions to study
representations of normal algebras and operator moment problems.
Moment problems: Moment problems permeate much of mathematical analysis.
They haveboth motivatedmanyofthe moreabstractandtechnicaldevelopments
duringthelasthundredyears,andbenefitedintheirturnfromsuchdevelopments.
In the present volume they are discussed in the first, second and last paper.
Editorial Introduction ix
References
[1] D.Alpayand I.Gohberg, editors. Interpolation, Schur functions and moment prob-
lems,volume165ofOperatorTheory:AdvancesandApplications.Birkh¨auserVerlag,
Basel, 2006.
[2] D. Alpay and V. Vinnikov, editors. Operator theory, systems theory and scattering
theory: multidimensional generalizations, volume157 of Operator Theory: Advances
and Applications. Birkh¨auser Verlag, Basel, 2005.
[3] L. de Branges and J. Rovnyak. Canonical models in quantum scattering theory. In
C. Wilcox, editor, Perturbation theory and its applications in quantum mechanics,
pages 295–392. Wiley, NewYork, 1966.
[4] L. de Branges and J. Rovnyak. Square summable power series. Holt, Rinehart and
Winston, NewYork, 1966.
[5] E.M. Cioran. Syllogismes de l’amertume. Collection id´ees. Gallimard, Paris, 1976.
First published in 1952.
[6] M.Karow.Self-adjointoperatorsandpairsofHermitianformsoverthequaternions.
Linear Algebra Appl., 299(1-3):101–117, 1999.
[7] I. Schur. U¨ber die Potenzreihen, die im Innern des Einheitkreises beschr¨ankt sind,
I. Journal fu¨r die Reine und Angewandte Mathematik, 147:205–232, 1917. English
translationin:I.Schurmethodsinoperatortheoryandsignalprocessing.(Operator
theory:Advancesand Applications OT 18 (1986), Birkh¨auser Verlag), Basel.
[8] I. Schur. U¨ber die Potenzreihen, die im Innern des Einheitkreises beschr¨ankt sind,
II. Journal fu¨r die Reine und Angewandte Mathematik, 148:122–145, 1918. English
translationin:I.Schurmethodsinoperatortheoryandsignalprocessing.(Operator
theory:Advancesand Applications OT 18 (1986), Birkh¨auser Verlag), Basel.
[9] F.Zhang.Quaternionsandmatricesofquaternions.LinearAlgebraAppl.,251:21–57,
1997.
Daniel Alpay and Victor Vinnikov
Department of Mathematics
Ben-Gurion Universityof theNegev
Beer-Sheva,Israel
e-mail: [email protected]
e-mail: [email protected]
OperatorTheory:
Advances andApplications,Vol.176,1–98
(cid:1)c 2007Birkh¨auserVerlagBasel/Switzerland
The Transformation of Issai Schur and
Related Topics in an Indefinite Setting
D. Alpay, A. Dijksma and H. Langer
Abstract. We review our recent work on the Schur transformation for scalar
generalized SchurandNevanlinnafunctions.TheSchurtransformation isde-
finedfortheseclassesoffunctionsinseveralsituations,anditisusedtosolve
corresponding basic interpolation problems and problems of factorization of
rational J-unitary matrix functions into elementary factors. A key role is
played by the theory of reproducing kernel Pontryagin spaces and linear re-
lations in these spaces.
Mathematics Subject Classification (2000). Primary 47A48, 47A57, 47B32,
47B50.
Keywords.Schurtransform,Schuralgorithm,generalizedSchurfunction,gen-
eralizedNevanlinnafunction,Pontryaginspace,reproducingkernel,Pickma-
trix, coisometric realization, self-adjoint realization, J-unitary matrix func-
tion, minimal factorization, elementary factor.
Contents
1 Introduction ............................................................... 3
1.1 Classical Schur analysis .............................................. 3
1.2 Generalized Schur and Nevanlinna functions .......................... 7
1.3 Reproducing kernel Pontryaginspaces ................................ 8
1.4 The general scheme ................................................. 10
1.5 Outline of the paper ................................................ 13
2 Kernels, classes of functions, and reproducing kernel
Pontryaginspaces ........................................................ 15
2.1 Reproducing kernel Pontryaginspaces ............................... 15
D. Alpay thanks the Earl Katz family for endowing the chair which supports his research and
NWO,theNetherlandsOrganizationforScientificResearch(grantB61-524).TheresearchofA.
DijksmaandH.LangerwasinpartsupportedbytheCenterforAdvancedStudiesinMathematics
(CASM)oftheDepartmentofMathematics, Ben–GurionUniversity.
2 D. Alpay, A. Dijksma and H. Langer
2.2 Analytic kernels and Pick matrices .................................. 16
2.3 Generalized Schur functions and the spaces P(s) .................... 19
2.4 Generalized Nevanlinna functions and the spaces L(n) ............... 23
2.5 Additional remarks and references ................................... 25
3 Some classes of rational matrix functions ................................. 25
3.1 Realizations and McMillan degree of rational matrix functions ....... 26
3.2 J-unitary matrix functions and the spaces P(Θ): the line case ....... 27
3.3 J-unitary matrix functions and the spaces P(Θ): the circle case ..... 32
3.4 Factorizations of J-unitary matrix functions ......................... 35
3.5 Additional remarks and references ................................... 40
4 Pick matrices ............................................................. 41
4.1 Generalized Schur functions: z ∈D ................................. 41
1
4.2 Generalized Schur functions: z ∈T ................................. 45
1
4.3 Generalized Nevanlinna functions: z ∈C+ .......................... 47
1
4.4 Generalized Nevanlinna functions: z =∞ .......................... 49
1
4.5 Additional remarks and references ................................... 50
5 Generalized Schur functions: z ∈D ...................................... 51
1
5.1 The Schur transformation ........................................... 51
5.2 The basic interpolation problem ..................................... 56
5.3 Factorization in the class Uz1 ........................................ 59
c
5.4 Realization .......................................................... 62
5.5 Additional remarks and references ................................... 64
6 Generalized Schur functions: z ∈T ...................................... 65
1
6.1 The Schur transformation ........................................... 65
6.2 The basic boundary interpolation problem ........................... 67
6.3 Factorization in the class Uz1 ........................................ 68
c
6.4 Additional remarks and references ................................... 69
7 Generalized Nevanlinna functions: z ∈C+ ............................... 70
1
7.1 The Schur transformation ........................................... 70
7.2 The basic interpolation problem ..................................... 74
7.3 Factorization in the class Uz1 ........................................ 76
(cid:1)
7.4 Realization .......................................................... 78
7.5 Additional remarks and references ................................... 81
8 Generalized Nevanlinna functions with asymptotic at ∞ .................. 82
8.1 The Schur transformation ........................................... 82
8.2 The basic boundary interpolation problem at ∞ ..................... 85
8.3 Factorization in the class U∞ ........................................ 86
(cid:1)
8.4 Realization .......................................................... 88
8.5 Additional remarks and references ................................... 90
References .................................................................. 91
