Syntes av digitala filter

34 Pages·2009·0.33 MB·Swedish

Kapitel 8
Syntes av digitala filter
8.1 Digitala filter
I kapitel 7 hade vi sambandet (7.18) f¨or ett linj¨art system, enligt vilket utsignalens
z-transform ¨ar insignalens transform multiplicerad med systemets ¨overfo¨ringsfunktion
ˆ ˆ
Y(z) = H(z)X(z) (8.1)
H¨ar ¨ar z-transformerna n¨ara besl¨aktade med signalernas spektra eller Fouriertrans-
former. Enligt (7.6) har vi sambanden
(cid:175) (cid:175)
ˆ (cid:175) ˆ (cid:175)
X(ω) = X(z)(cid:175) och Y(ω) = Y(z)(cid:175) (8.2)
z=ejω z=ejω
Vi f˚ar s˚aledes
Y(ω) = H(ejω)X(ω) (8.3)
Om vi uttrycker de komplexa funktionerna ovan med hj¨alp av magnitud och fas,
X(ω) = |X(ω)|ejarg(X(ω)) (8.4)
H(ejω) = |H(ejω)|ejarg(H(ejω)), (8.5)
s˚a ges magnituden och fasen hos utsignalens spektrum av
Y(ω) = |Y(ω)|ejarg(Y(ω)) (8.6)
d¨ar
|Y(ω)| = |H(ejω)||X(ω)| (8.7)
arg(Y(ω)) = arg(X(ω))+arg(H(ejω)) (8.8)
Sambandet (8.3) eller (8.6) visar hur ett linj¨art system H p˚averkar de olika frekven-
skomponenterna i insignalen. Systemet H fungerar som ett filter, som f¨orsta¨rker eller
d¨ampar olika frekvenskomponenter hos insignalen x beroende p˚a beloppet av |H(ejω)|.
Funktionen |H(ejω)| visar hur magnituden av olika frekvenskomponenter p˚averkas av
112
systemet H. F¨orutom att inverka p˚a magnituden hos de olika frekvenskomponenterna,
inf¨orsystemet¨avenenfasf¨orskjutningavstorlekenarg(H(ejω)). Denkomplexafunktio-
nenH(ejω)kallasfiltretsfrekvenssvar. EttfiltersfrekvenssvarH(ejω)kan˚ask˚adliggo¨ras
grafiskt i ett s.k. Bode-diagram, som anger magnituden |H(ejω)| och fasf¨orskjutningen
arg(H(ejω)) som funktioner av frekvensen ω (j¨amf¨or kurserna i reglerteknik).
Det ¨ar v¨art att notera det enkla sambandet (8.3) mellan in- och utsignalernas spek-
tra. Detta enkla samband, som kan karakteriseras med hj¨alp av en komplex multiplika-
tion, utg¨or en av orsakerna till den stora betydelse som frekvensalysen har f˚att inom
flera till¨ampningar. En f¨oljd av (8.3) ¨ar att utsignalen fr˚an ett linj¨art tidsinvariant
system ej kan inneh˚alla frekvenser som ej finns i insignalen. Endast tidsvarianta sys-
tem eller olinj¨ara system kan generera s˚adana frekvenskomponenter i utsignalen som
ej finns i insignalen.
Det¨arsk¨alattnoteran˚agraegenskaperhosfrekvenssvaretH(ejω). Fr˚andefinitionen
av H(z) har vi
(cid:88)∞
H(ejω) = h(n)e−jωn (8.9)
n=0
Frekvenssvaret ¨ar allts˚a Fouriertransformen av impulssvaret {h(n)} = {h(0), h(1),
h(2),...}. D˚a koefficienterna h(n) ¨ar reella f¨oljer
H(e−jω) = H∗(ejω) (8.10)
Fr˚an den komplexa exponentialfunktionens periodicitet f¨oljer dessutom att H(e−jω) =
H(ej(2π−ω)). Frekvenssvaret satisfierar s˚aledes symmetriegenskapen
H(e−j(2π−ω)) = H∗(ejω) (8.11)
dvs frekvenssvaret i intervallet [π,2π] ¨ar komplexa konjugatet av frekvessvaret i inter-
vallet [0,π]. Det r¨acker d¨arfo¨r med att specificera frekvenssvaret i intervallet [0,π] f¨or
att entydigt definiera det f¨or alla frekvenser.
F¨oljande exempel visar, hur ett filter som uppdelar en signal i sina frekvenskompo-
nenter kan till¨ampas f¨or signalrekonstruktion.
Exempel 8.1.
I exempel 2.1 betraktades problemet att rekonstruera en signal x fr˚an en observerad
signal y = Fx+e. Om signalerna ¨ar diskreta ges spektret hos y av
Y(ω) = F(ejω)X(ω)+E(ω)
Antag att x har ett spektrum som ¨ar koncentrerat till ett l˚agfrekvensband |ω| ≤ ω ,
1
medan bruset e best˚ar av h¨oga frekvenser |ω| ≥ ω > ω . Signalen x kunde d˚a rekon-
2 1
strueras genom att konstruera ett l˚agpassfilter H(z) som satisfierar H(ejω) ≈ 1,|ω| ≤
ω och H(ejω) ≈ 0,|ω| ≥ ω . D˚a f˚as
1 2
H(ejω)Y(ejω) = H(ejω)F(ejω)X(ejω)+H(ejω)E(ejω)
≈ F(ejω)X(ejω)
113
och signalen x kan approximativt rekonstrueras genom att v¨alja x = F−1Hy, vilket
r
ger
X (ejω) = F−1(ejω)H(ejω)Y(ejω) ≈ X(ejω)
r
som ¨ar ekvivalent med x ≈ x.
r
Anm¨arkning 8.1.
Frekvenssvarethosettlinj¨artsystemf¨orenperiodisksignal{x(n)} = {ejωn}best˚aende
av en enda frekvens ω kan enkelt h¨arledas i tidsplanet direkt utg˚aende fr˚an ekvationen
(7.2). Vi f˚ar
y(n) = h(0)x(n)+h(1)x(n−1)+h(2)x(n−2)+···
= h(0)ejωn +h(1)ejω(n−1) +h(2)ejω(n−2) +···
= [h(0)+h(1)e−jω +h(2)e−2jω +···]ejωn
= H(ejω)ejωn (8.12)
vilket ¨ar ekvivalent med (8.3) begr¨ansad till en frekvenskomponent.
Viskall¨annuverifieraattsystemethardenf¨orv¨antadeeffektenp˚asignaleravformen
{sin(ωn)} och {cos(ωn)}. Insignalsekvensen i (8.12) kan skrivas i en reell och imagin¨ar
komponent enligt
ejωn = cos(ωn)+jsin(ωn),n = 0,±1,±2,...
Detf¨oljerattdenreellakomponentenavutsignaleny(n)¨arsystemetssvarp˚ainsignalen
{cos(ωn)},ochdenimagin¨arakomponentenavutsignalen¨arsystemetssvarf¨orinsignalen
{sin(ωn)}. Dereellaochimagin¨arakomponenternahosutsignalen(8.12)kanbest¨ammas
genom att introducera magnituden och fasen hos ¨overfo¨ringsoperatorn, H(ejω) =
|H(ejω)|ejarg(H(ejω)), varvid (8.12) kan skrivas
y(n) = |H(ejω)|ejarg(H(ejω))ejωn = |H(ejω)|ej(ωn+arg(H(ejω))) (8.13)
H¨ar har vi
ej(ωn+arg(H(ejω))) = cos[ωn+arg(H(ejω))]+jsin[ωn+arg(H(ejω))]
Det f¨oljer att systemets transformerar sekvensen {cos(ωn)} enligt
y(n) = |H(ejω)|cos[ωn+arg(H(ejω))] (8.14)
och p˚a samma s¨att f˚as att systemets svar f¨or insignalsekvensen {sin(ωn)} ¨ar
y(n) = |H(ejω)|sin[ωn+arg(H(ejω))] (8.15)
Systemet f¨orsta¨rkning och fasf¨orskjutning av frekvensenkomponenten ω ¨ar s˚aledes i
enlighet med det tidigare erh˚allna resultatet.
Problem 8.1.
Betrakta ett diskret system av f¨orsta ordningen,
y(n)−ay(n−1) = x(n) (8.16)
Best¨am systemets frekvenssvar (f¨orsta¨rkning och fasf¨orskjutning) f¨or de numeriska
v¨ardena a = 0.6 och a = −0.6. ˚Ask˚adliggo¨r sambanden i form av ett Bode-diagram.
114
8.1.1 Klassificering av digitala filter
Filtren klassificeras enligt sitt impulssvar i filter med ¨andligt impulssvar och filter med
o¨andligt impulssvar. Ett filter med ett ¨andligt impulssvar ges av
N(cid:88)−1
y(n) = h(k)x(n−k)
k=0
= h(0)x(n)+h(1)x(n−1)+···+h(N −1)x(n−N +1) (8.17)
Enstandardf¨orkortningf¨ors˚adanafilter¨arFIR filter(fr˚an”FiniteImpulseResponse”).
Ett filter med ett o¨andligt impulssvar har formen
(cid:88)∞
y(n) = h(k)x(n−k) (8.18)
k=0
Standardf¨orkortningenf¨ors˚adanafilter¨ar IIR filter (fr˚an”InfiniteImpulseResponse”).
I praktiken har IIR filter en ¨andlig ordning, och de kan d¨arfo¨r skrivas i formen (j¨amfo¨r
ekvation (7.28))
y(n)+b y(n−1)+···+b y(n−N) = a x(n)+a x(n−1)+···+a x(n−M),
1 N 0 1 M
n = ...,−1,0,1,... (8.19)
8.2 Filterspecifikationer
Filtersyntes g˚ar ut p˚a att konstruera ett filter vars frekvenssvar uppfyller givna speci-
fikationer. Typiska specifikationer ¨ar att filtret effektivt skall sp¨arra vissa o¨onskade
frekvenskomponenter i insignalen, medan de intressanta frekvenskomponenternas stor-
lek och (relativa) fasf¨orskjutning skall vara op˚averkad. Vid filtersyntesen b¨or olika
begr¨ansningar beaktas som filtret i praktiken skall uppfylla. En viktig begr¨ansning i
flera till¨ampningar ¨ar att filtret b¨or vara kausalt. En annan begr¨ansning ¨ar att filtret
skall ha ¨andlig ordning (som i praktiken dock kan vara mycket h¨ogt). S˚asom vi skall
se begr¨ansar dessa krav de frekvenssvar som i praktiken kan realiseras.
8.2.1 Ideala filter
F¨orattbelysan˚agraavdebegr¨ansningarsomuppst˚arvidfiltersyntesskallviunders¨oka
impulssvaret hos ideala filter. Ett idealt l˚agpassfilter H med bandbredden ω < π har
D c
frekvenssvaret
(cid:189)
1, |ω| ≤ ω
H (ejω) = c (8.20)
D 0, |ω| > ω
c
Frekvensbandet |ω| ≤ ω kallas filtrets passband och frekvensbandet |ω| > ω ¨ar fil-
c c
trets sp¨arrband (eng. stopband). Ett idealt bandpassfilter och ett idealt h¨ogpassfilter
definieras p˚a analogt s¨att. Observera att filtrets frekvenssvar p.g.a. symmetriegen-
skapen (8.11) h¨arvid betraktas i intervallet |ω| ≤ π. Passbandet hos ett digitalt
h¨ogpassfilter ¨ar d¨arfo¨r koncentrerat till frekvenser kring π.
115
Eftersom ¨overfo¨ringsoperatorn ¨ar impulssvarets Fouriertransform, ges impulssvaret
{h (n)} hos det ideala l˚agpassfiltret genom att ber¨akna inversa Fouriertransformen av
D
H (ejω). Enligt ekvation (4.24) f˚as
D
(cid:90) (cid:90)
1 π 1 ωc
h (n) = H (ejω)ejωndω = ejωndω (8.21)
D D
2π 2π
−π −ωc
vilket ger
ω
c
h (0) = (8.22)
D
π
ω sin(nω )
c c
h (n) = , n = ±1,±2,... (8.23)
D
π nω
c
Det ideala filtret kan ej representeras i form av en rationell ¨overfo¨ringsfunktion av
¨andlig ordning. En annan viktig observation ¨ar, att impulssvaret hos det ideala filtret
ej f¨orsvinner f¨or negativa n. Det ideala filtret ¨ar icke-kausalt.
I de flesta till¨ampningar kr¨avs att filtret skall vara kausalt. Det visar sig att
kravet p˚a kausalitet begr¨ansar de filtersvar som kan erh˚allas. Det finns ett kvanti-
tativt matematiskt resultat, det s.k. Paley-Wiener villkoret, enligt vilket det finns ett
kausalt filter H(z) som har en given filterf¨orst¨arkning |H(ejω)| = g(ω), om och endast
(cid:82)
om −π|logg(ω)|dω < ∞. Fr˚an detta villkor f¨oljer att f¨orst¨arkningen hos ett kausalt
−π
filter ej kan f¨orsvinna i ett intervall. Det ideala filtret ovan uppfyller inte Paley-Wiener
villkoret.
Kravet p˚a kausalitet begr¨ansar ¨aven formen hos filtrets fasf¨orskjutning. Fr˚an Fouri-
ertransformens egenskaper i kapitel 4 f¨oljer att H(ejω) ¨ar reellt om och endast om
impulssvaret ¨ar symmetriskt; h(−n) = h(n), och imagin¨art om och endast om impulss-
varet ¨ar antisymmetriskt; h(−n) = −h(n). F¨or kausala system med h(n) = 0,n < 0, ¨ar
impulssvarets symmetriska och antisymmetriska komponenter ekvivalenta, vilket intro-
ducerar ett samband mellan de reella och imagin¨ara komponenterna hos frekvenssvaret
H(ejω). Fr˚an detta samband f¨oljer att fasf¨orskjutningen hos ett kausalt filter ej kan
specificeras oberoende av magnituden.
Av reella filter som kan implementeras i praktiken kr¨avs, att de har ¨andlig ordning
och (vanligen) att de ¨ar kausala. Vid syntes av filter f¨orso¨ker man s˚a v¨al som m¨ojligt
satisfiera specifikationerna med hj¨alp av reella filter.
8.2.2 Krav p˚a linj¨ar fasf¨orskjutning
F¨orutom filterf¨orsta¨rkningen p˚averkar ¨aven filtrets fasf¨orskjutning utsignalen. Om
fasf¨orskjutningen i ett filters passband varierar s˚a, att olika frekvenskomponenters faser
f¨or¨andras i f¨orh˚allande till varandra, kommer signalen att f¨orvra¨ngas trots att f¨orst¨ark-
ningen i passbandet vore konstant. Detta ¨ar givetvis oacceptabelt i flera till¨ampningar,
bl.a. vid behandling av audiosignaler.
F¨or att se hurudana fasf¨orskjutningar som kan tolereras, betrakta inverkan av ett
linj¨art diskret system H(z) p˚a sinusformade signaler av formen
x(t) = sin(ωt) (8.24)
116
Fr˚an avsnitt 8.1 har vi att systemet H(z) transformerar den periodiska signalen x(t)
till en annan periodisk signal x (t) med samma frekvens men med en annan amplitud
f
och fas,
x (t) = A(ω)sin(ωt+θ(ω)) (8.25)
f
d¨ar
A(ω) = |H(ejω)| och θ(ω) = arg(H(ejω)) (8.26)
Det visar sig att f¨or att ett filter ej skall inf¨ora fasf¨orvra¨ngning b¨or fasf¨orskjutningen
θ(ω) ges av det linj¨ara sambandet
θ(ω) = −αω (8.27)
eller
θ(ω) = −αω +π (8.28)
d¨ar α ¨ar konstant. Ett filter vars fasf¨orskjutning satisfierar (8.27) eller (8.28) s¨ages
vara faslinj¨art. F¨or sambnadet (8.27) ges den filtrerade signalen av
x (t) = A(ω)sin(ω(t−α)) (8.29)
f
Detta inneb¨ar att alla frekvenskomponenter tidsf¨ordr¨ojs med tiden α, och fasf¨orskjut-
ningen f¨orsorsakar d¨arfo¨r ingen f¨orvra¨ngning av en signal med flera frekvenskomponen-
ter. F¨or sambandet (8.28) blir den filtrerade signalen
x (t) = A(ω)sin(ω(t−α)+π) = −A(ω)sin(ω(t−α)) (8.30)
f
F¨orutomtidsf¨ordr¨ojningentillkommeridettafallettteckenbytep.g.a.fasf¨orskjutningen
π. Det ¨ar l¨att att inse att ett filter b¨or vara faslinj¨art f¨or att det ej skall inf¨ora
fasf¨orvr¨angning p.g.a. att olika frekvenskomponenters faser p˚averkas p˚a olika s¨att
I vissa till¨ampningar anva¨nds s.k. generaliserat faslinj¨ara filter. Fasfo¨rskjutningen
hos generaliserat faslinj¨ara filter satisfierar
θ(ω) = β −αω (8.31)
d¨ar α och β ¨ar konstanter. Den filtrerade signalen ges d˚a av
x (t) = A(ω)sin(ω(t−α)+β) (8.32)
f
dvs alla frekvenskomponenter tidsf¨ordr¨ojs med tiden α och fasf¨orskjuts med vinkeln
β. Faslinja¨ra filter ¨ar en delm¨angd av generaliserat faslinj¨ara filter. Ett generaliserat
faslinj¨art filter f¨ororsakar fasf¨orvra¨ngning om β (cid:54)= 0 eller π.
Vid studiet av ett filters fasf¨orskjutning brukar man inf¨ora den s.k. fasl¨optiden eller
fasf¨ordr¨ojningen T (eng. phase delay) och den s.k. gruppl¨optiden eller gruppf¨ordr¨oj-
p
ningen T (eng. group delay):
g
T = −θ(ω)/ω (8.33)
p
T = −dθ(ω)/dω (8.34)
g
117
Fasl¨optiden T ¨ar den tidsf¨ordro¨jning som frekvenskomponenten ω f˚ar p.g.a. fasf¨or-
p
skjutningen i filtret, ty sin(ωt+θ(ω)) = sin(ω(t−T )). Gruppl¨optiden T ¨ar en vanligt
p g
anva¨nd storhet vid karakterisering av linj¨ara filter, som uppst˚ar vid analysen av ett
filters inverkan p˚a en amplitudmodulerad signal. Vi ser att ett filter ¨ar faslinj¨art om
det har en konstant fasf¨ordro¨jning och generaliserat faslinj¨art om och endast om det
har en konstant gruppl¨optid.
F¨oljande exempel demonstrerar betydelsen av linj¨ar fasf¨orskjutning vid filtrering.
1
0.5
s
1 0
−0.5
−1
1
0.5
s
2 0
−0.5
−1
2
1
s
0
−1
−2
Figur 8.1: Signalkomponenterna s och s samt signalen s i exempel 8.2.
1 2
Exempel 8.2.
Betrakta en signal s som best˚ar av tv˚a komponenter enligt
s(n) = s (n)+s (n)
1 2
d¨ar s och s ¨ar l˚agfrekventa sinusformade komponenter,
1 2
s (n) = sin(ω n)
1 1
s (n) = sin(ω n)
2 2
Komponenterna s och s samt signalen s visas i figur 8.1. L˚at signalen s p˚averkas av
1 2
en st¨orning e s˚a att vi f˚ar signalen
x(n) = s(n)+e(n)
118
2
1
s
0
−1
−2
1
0.5
e
0
−0.5
−1
2
x
0
−2
Figur 8.2: Den st¨orningsfria signalen s, st¨orningen e, samt signalen x i exempel 8.2.
d¨ar e(n) ¨ar en h¨ogfrekvent sinusformad signal,
e(n) = sin(ω n)
e
med ω > ω och ω > ω . Signalerna s, e och x visas i figur 8.2.
e 1 e 2
Denl˚agfrekventast¨orningsfriasignalenskanbest¨ammasurxgenoml˚agpassfiltrering
med ett filter H(z) som har frekvenskomponenterna ω och ω i passbandet och som
1 2
sp¨arrar frekvensen ω , dvs |H(ejω1)| ≈ 1 och |H(ejω2)| ≈ 1, samt |H(ejωe)| ≈ 0. Den
e
filtrerade signalen y ges d˚a av
y(n) ≈ y (n)+y (n)
1 2
d¨ar
(cid:179) (cid:180)
y (n) = sin ω n+arg(H(ejω1))
1 1
(cid:179) (cid:180)
y (n) = sin ω n+arg(H(ejω2))
2 2
Figur 8.3 visar signalkomponenterna s , s och y , s samt den filtrerade signalen
1 2 1 2
y(n) f¨or tv˚a olika l˚agpassfilter. Till v¨anster i figuren visas resultatet med ett filter som
fasf¨orskjuterdel˚agfrekventakomponenternap˚aolikas¨att, varfo¨rdenfiltreradesignalen
y blir f¨orvr¨angd och signalen s rekonstrueras ej korrekt. Till h¨oger visas resultatet med
ett faslinj¨art filter. I detta fall ¨ar fasf¨orskjutningen s˚adan att den motsvarar samma
119
tidsf¨orskjutning f¨or alla frekvenskomponenter i passbandet, och den filtrerade signalen
y ¨ar d¨arfo¨r endast en tidsf¨orskuten version av signalen s.
1 1
0.5 0.5
s ,y s ,y
1 1 1 1
0 0
−0.5 −0.5
−1 −1
1 1
0.5 0.5
s ,y s ,y
2 2 2 2
0 0
−0.5 −0.5
−1 −1
2 2
1 1
s,y s,y
0 0
−1 −1
−2 −2
Figur8.3: Signaleriexempel8.2. O¨verst: signalkomponentens (heldragen)ochmotsvarande
1
filtrerade signal y (streckad). I mitten: signalkomponenten s (heldragen) och motsvarande
1 2
filtrerade signal y (streckad). Nederst: den st¨orningsfria signalen s (heldragen) och
2
den l˚agpassfiltrerade signalen y (streckad). Till v¨anster visas resultatet som f˚as med ett
l˚agpassfilter med olinj¨ar fasf¨orskjutning, och till h¨oger resultatet som f˚as med ett faslinj¨art
l˚agpassfilter.
8.2.3 Reella l˚agpass, bandpass- och h¨ogpassfilter
Reella filter, som ¨ar kausala och har en ¨andlig ordning, kan endast approximativt
uppfylla specifikationerna hos ideala l˚agpass-, bandpass- och h¨ogpassfilter. F¨or reella
filter anges specifikationerna d¨arfo¨r med hj¨alp av toleranser, j¨amf¨or figur 8.4. F¨or ett
l˚agpassfilter ¨ar specifikationerna av formen
1−δ ≤ |H(ejω)| ≤ 1+δ , |ω| ≤ ω (8.35)
p p p
|H(ejω)| ≤ δ , |ω| ≥ ω (8.36)
s s
120
H¨ar ¨ar
- |ω| ≤ ω passbandet,
p
- |ω| ≥ ω sp¨arrbandet, och
s
- |ω| ∈ (ω ,ω ) ¨overg˚angsbandet.
p s
Talet δ anger toleransen i passbandet, dvs den st¨orsta till˚atna avvikelsen fr˚an det
p
konstanta v¨ardet ett hos filtrets f¨orsta¨rkning i passbandet. Talet δ ¨ar toleransen
s
i sp¨arrbandet, dvs den maximala till˚atna f¨orsta¨rkningen i sp¨arrbandet. Eftersom
f¨orst¨arkningen hos reella filter inte kan f¨or¨andras diskontinuerligt som funktion av
frekvensen, finns mellan passband och sp¨arrband ett ¨overg˚angsband. Ju sn¨avare toler-
anserochsmalare¨overg˚angsbandet¨ar,destoh¨ogrefilterordningfordrasf¨orattsatisfiera
specifikationerna.
Ist¨alletf¨orvinkelfrekvenserangesfrekvensspecifikationernaoftaiformavfrekvenser
f (= ω /(2π)) respektive f (= ω /(2π)) och uppfattas som normerade i f¨orh˚allande
p p s s
till samplingsfrekvensen. Om frekvenserna anges i Hz eller kHz b¨or man observera
att beakta samplingsfrekvensen f vid filtersyntesen, s˚a att frekvensen f motsvarar
s
filtersvaret H(ejω) vid ω = 2πf/f . Vanligt ¨ar ocks˚a att toleranserna anges i den
s
logaritmiska enheten decibel. Den st¨orsta avvikelsen A i passbandet och den minsta
p
d¨ampningen A i sp¨arrbandet angivna i decibel ¨ar s˚aledes
s
A = 20log(1+δ ) (8.37)
p p
A = −20log(δ ) (8.38)
s s
Observera att f¨or sm˚a δ g¨aller med god noggrannhet approximationen
p
A = 20log(1+δ ) = 20ln(1+δ )/ln10 ≈ 8.7δ
p p p p
Bandpassfilterochh¨ogpassfilterdefinierasp˚aanalogts¨att. F¨orbandpassfilterbest˚ar
passbandet av ett frekvensband [ω ,ω ]. F¨or h¨ogpassfilter med bandbredden ω ¨ar
1 2 p
passbandet bel¨aget i ett h¨ogfrekvent band [π −ω ,π +ω ].
p p
8.2.4 Frekvenstransformationer
Ett bandpass- och h¨ogpassfilter skiljer sig fr˚an ett l˚agpassfilter endast i avseende ˚a
passbandets och sp¨arrbandets l¨agen. Det ¨ar d¨arf¨or m¨ojligt att ur ett l˚agpassfilter
konstruera motsvarande bandpass- eller h¨ogpassfilter genom en frekvenstransformation
som f¨orskjuter passbandet till det ¨onskade frekvensbandet. Denna metod ¨ar mycket
anva¨ndbar, eftersom man d˚a kan utnyttja standardmetoder f¨or syntes av l˚agpassfilter
¨aven f¨or ber¨akning av andra filtertyper.
Vid frekvenstransformation av ett filter substitueras variabeln z−1 i ¨overf¨orings-
funktionen med en rationell funktion g(z−1), s˚a att det frekvenstransformerade filtret
definieras av
(cid:175)
(cid:175)
H (z) = H(z)(cid:175) (8.39)
f
z−1=g(z−1)
F¨or att filtret H (z) skall vara v¨aldefinierat kr¨avs att avbildningen z−1 → g(z−1)
f
bevarar filtrets stabilitet, samt att punkter p˚a enhetscirkeln ejω, som ju definierar
121