Table Of ContentScience Networks· Historical Studies
Band I
Herausgegeben von Erwin Hiebert und Hans Wussing
in Zusammenarbeit mit
, S. M. R. Ansari, Aligarh S. Hildebrandt, Bonn
D. Barkan, Cambridge E. Knobloch, Berlin
H. J. M. Bos, Utrecht Ch. Meinel, Berlin
U. Bottazzini, Bologna G. K. Mikhailov, Moskva
J. Z. Buchwald, Toronto S. Nakayama, Tokyo
S. S. Demidov, Moskva L. Novy, Praha
J. Dhombres, Nantes D. Pingree, Providence
J. Dobrzycki, Warszawa W. Purkert, Leipzig
E. A. Fellmann, Basel J. S. Rigden, New York
M. Folkerts, Miinchen D. Rowe, Pleasantville
P. Galison, Stanford A. I. Sabra, Cambridge
I. Grattan-Guinness, Bengeo R. H. Stu ewer, Minneapolis
J. Gray, Milton Keynes V. P. Vizgin, Moskva
R. Halleux, Liege
Birkhauser Verlag
Basel· Boston· Berlin
Erhard Scholz
Symmetrie
Gruppe
Dualitiit
Zur Beziehung zwischen theoretischer Mathematik
und Anwendungen in Kristallographie und Baustatik
des 19. lahrhunderts
1989 Birkhauser Verlag
Basel· Boston· Berlin
Die Reihe ,Science Networks. Historical Studies' erscheint im Birkhauser Verlag Basel
und im VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin.
Adresse des Autors:
Erhard Scholz
Bergische Universitat
Gesamthochschule Wuppertal
Fachbereich 7 - Mathematik
Postfach 1 000127
D-5600 Wuppertal1
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Scholz, Erhard:
Symmetrie, Gruppe, Dualitat : zur Beziehung zwischen theoret.
Mathematik u. Anwendungen in Kristallographie u. Baustatik
d. 19. Jh. / Erhard Scholz. - Basel; Boston; Berlin:
Birkhauser,1989
(Science networks historical studies; Bd. 1)
ISBN-13: 978-3-0348-9971-0 e-ISBN-13: 978-3-0348-9267-4
DOT: 10.1007/978-3-0348-9267-4
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Die Originalausgabe erscheint im Birkhauser Verlag Basel
Vertrieb fiir aile Staaten mit Ausnahme der sozialistischen Lander:
Birkhauser Verlag Basel.
Vertrieb fiir die sozialistischen Lander:
VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin
© Birkhauser Verlag Basel, 1989
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1989
Umschlaggestaltung: Albert Gomm, Basel
Vorwort
Diese Arbeit enthiilt zwei grof3ere Fallstudien zur Beziehung zwischen theo
retischer Mathematik und Anwendungen im 19. Jahrhundert. Sie ist das
Ergebnis eines mathematikhistorischen Forschungsprojekts am Mathemati
schen Fachbereich der Universitiit-Gesamthochschule Wuppertal und wurde
dort als Habilitationsschrift vorgelegt. Ohne das wohlwollende Interesse von
Herrn H. Scheid und den Kollegen der Abteilung fUr Didaktik der Mathema
tik ware das nicht moglich gewesen:
Inhaltlich verdankt sie - direkt oder indirekt - vielen Beteiligten et
was. So wurde mein Interesse an den kristallographischen Symmetriekon
zepten, dem Thema der ersten Fallstudie, durch Anregungen und Hinweise
von Herrn E. Brieskorn geweckt. Sowohl von seiner Seite als auch von Herrn
J.J. Burckhardt stammen uberdies viele wert volle Hinweise zum Manuskript
von Kapitel I. Herrn C.J. Scriba mochte ich fur seine die gesamte Arbeit
betreffenden priizisen Anmerkungen danken und Herrn W. Borho ebenso fUr
seine ubergreifenden Kommentare und Vorschlage. Beziiglich der in Kapitel II
behandelten projektiven Methoden in der Baustatik des 19. Jahrhunderts gilt
mein besonderer Dank den Herren K.-E. Kurrer und T. Hiinseroth fUr ihre
zum Teil sehr detaillierten Anmerkungen aus dem Blickwinkel der Geschichte
der Bauwissenschaften. Schliefilich geht mein Dank an alle nicht namentlich
Erwiihnten, die in Gesprachen, technisch oder auch anderweitig zur Fertig
stellung dieser Arbeit beigetragen haben.
Fur die vorliegende Publikation habe ich einen Anhang mit einer Skizze
von in unserem Zusammenhang besonders wichtig erscheinenden Aspekten
der Theorie der kristallographischen Raumgruppen hinzugefUgt. Ich hoffe,
daB er zum Verstiindnis des mathematischen Hintergrunds der historischen
Arbeiten des ersten Kapitels beitragt.
6 Vorwort
Wenn ich an dieser Stelle eine persOnliche Referenz nicht ganz verschwei
gen will, denke ich als erstes an Sven D., der in den vergangenen vier Jahren
so unvergleichlich viel mehr lernen konnte, als das im Rahmen einer solchen
Arbeit iiberhaupt nur denkbar ware - vom Spielerischen ganz zu schweigen,
dem dieses Buch wohlleider allzu ferne bleibt.
Wuppertal, im Februar 1988 E. Scholz
Inhalt
Verzeichnis der Tabellen und Figuren.. . ... . . .. .. . . . . ... . .. . . . .. . . 11
Einleitung .................................................... 13
Kapitel I
Die Symmetriekonzepte der Kristallographie
und ihre Beziehungen zur Algebra des 19. lahrhunderts . . . . . . . . . . . . 17
Vorbemerkungen .......................................... 17
§1 Von der phanomenologischen Kristallklassifikation zur
Einfiihrung der Kristallsysteme und Kristallklassen ...... . . . . . . 19
1.1 Kristallklassifikation im 18. Jahrhundert:
Werner und Rome de l'Isle ......................... ',' . . 19
1.2 Beginnende Mathematisierung im
atomistischen Programm: R.J. Haiiy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3 Konstituierung eines alternativen Theoretisierungspro-
gramms unter dem EinfluB der dynamistischen Philosophie . 29
1.4 Charakterisierung der Kristallsysteme durch C.S. WeiB .... 32
1.5 M.L. Frankenheims Entdeckung der 32 Kristallklassen . . . . . 43
§2 Rationale Vektorraume, Punktsymmetrien und
Raumgittertypen im dynamistisChen Programm ............... 48
2.1 J.G. GraBmanns "Geometrische Combinationslehre" . . . . . . . 48
2.2 Rationale Vektorraume in der Kristallographie
gegen Ende der 1820er Jahre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8 Inhalt
2.3 Hessels Klassifikation der endlichen
raumlichen Punktsymmetriesysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 Hessels Bestimmung der Kristallklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5 Frankenheims Interpretation der "Grundformen"
als Ausdruck der Symmetrie von Kristallgittern . . . . . . . . . . . 65
2.6 Zur Rolle des dynamistischen Programms bei
der Ausarbeitung elementarer Symmetriekonzepte
und des Vektorraumbegriffs ............................ 72
§3 Punkt- und Raumgittersymmetrien im atomistischen
Programm der Jahrhundertmitte (A. Bravais) . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1 Modernisierung des atomistischen Programms ............ 74
3.2 Bravais' Klassifikation der Punktsymmetrien ............. 76
3.3 Bravaissysteme, Raumgittertypen und ihre Isometrien . . . . . 81
3.4 Bravais' kristallographische Theorie und die
implizite Verwendung von 71 der 73 symmorphen
Raumgruppentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
§4 Die EinfUhrung des Gruppenbegriffs in die Geometrie .... . . . . . . 94
4.1 Gruppen vor und in den 1860er Jahren .................. 94
4.2 Jordans Klassifizierung der Bewegungsgruppen
des euklidischen Raumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3 Zum EinfluB des Jordanschen Memoires bei der
Herausbildung des Transformationsgruppenkonzepts
durch S. Lie und F. Klein.. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 103
§5 Gruppen in der Kristallographie -
die Entdeckung der 230 Raumgruppentypen .................. 110
5.1 Erste Nutzbarmachung des Jordanschen Memoires fur
die Kristallographie: L. Sohncke und B. Minnigerode ...... 110
5.2 Fedorovs Arbeiten zur geometrischen
Kristallographie bis 1889. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 114
5.3 Schoenflies' Herleitung von 227 kristallographischen
Raumgittertypen bis 1889.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 120
5.4 Fedorovs Entdeckung der 230 kristallographischen
Raumgittertypen und seine Kristallstrukturtheorie . . . . . . .. 125
5.5 Schoenflies' systematische Darstellung der Theorie der
kristallographischen Raumgruppen von 1891. . . . . . . . . . . . .. 137
5.6 Ausblick auf spatere Entwicklungen ..... . . . . . . . . . . . . . . .. 148
Inhalt 9
Kapitel II
Methoden der projektiven Geometrie in der graphischen Statik. . . . .. 155
Vorbemerkung ............................................ 155
§6 Culmanns Entwurf eines Theoretisierungsprogramms
der graphischen Statik ..................................... 157
6.1 Verwissenschaftlichung der Technik im 19. Jahrhundert . . .. 157
6.2 Fachwerktheorie und graphische Statik. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 160
6.3 Implizit vektorielle Ansii.tze in Culmanns
"Graphischer Statik" von 1866. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 167
6.4 Culmanns Theoretisierungsprogramm. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 170
§7 Dualitiit von Stab- und Kriiftediagrammen
bei Rankine, Maxwell und Cremona........................ .. 181
7.1 Entdeckung der Rankine-Maxwellschen Dualitiit .......... 181
7.2 Maxwells Theorie der reziproken Diagramme .... " . . . . . .. 187
7.3 Exkurs: Flii.chentopologie und Starrheitsbedingungen
von Fachwerken bei Maxwell.. . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 191
7.4 Theoretische Weiterentwicklungen bei
Cremona und anderen ............................. . . .. 193
7.5 Aufnahme der Maxwell-Cremonaschen Dualitii.t
in der Ingenieurwissenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 199
§8 Spiitere Beitriige Culmanns zur Realisierung
seines Programms ......................................... 202
8.1 Einftihrung algebraischer Symbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 202
8.2 Neuauflage der "Graphischen Statik" von 1875. . . . . . . . . . .. 207
8.3 Exkurs: Nullsysteme bei Mobius und von Staudt. . . . . . . . .. 212
8.4 Riiumliche Kriiftekomposition in Culmanns
Neuauflage der "Graphischen Statik" . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 216
§9 Die graphische Statik im Disziplinbildungsprozef3
der Baustatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 220
9.1 Selektive Rezeption der graphischen Statik und
Beginn eines Alternativprogramms .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 220
9.2 Culmanns Programm im Lichte des Methodenstreits
der Technikwissenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 225
9.3 Theoretisierungsstil und Fruchtbarkeit von
ForschWlgsprogrammen............................ . . .. 231
10 Inhalt
Kapitel III
Mathematik und Mathematisierung von Natur- und
Technikwissenschaften im 19. Jahrhundert ........................ 235
Vorbemerkungen .......................................... 235
§10 Mathematisierung der Kristallographie und der
graphischen Statik - vergleichende Beobachtungen
und ein Vorschlag zur Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 237
10.1 Vier Beobachtungen und eine Vermutung zur Beziehung
zwischen Kristallographie und Gruppentheorie . . . . . . . . . . .. 237
10.2 Autonome Mathematik und
heteronome Mathematisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 244
10.3 Zum Vergleich der Ergebnisse der Fallstudien. . . . . . . . . . . .. 247
§11 Bemerkungen zur autonomen und heteronomen
Mathematik im 19. Jahrhundert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 250
11.1 Entdeckung der Autonomie der Mathematik zu
Beginn des 19. Jahrhlmderts.. . . . . .. . ... . . ... . . .. . . . . . .. 250
11.2 Neustrukturiel'1lng der Anwendungsbezugeder autonomen
Mathematik ab letztem Drittel des 19. Jahrhunderts. . . . . .. 255
Anmerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 261
Anhang ....................................................... 325
Anhang 1: Uberblick kristallographische Raumgruppen . . . . . . . .. 325
1.1 Grundlegende Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 326
1.2 Geometrische Klassifikation der
kristallographischen Raumgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 329
1.3 Arithmetische Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 337
1.4 Geometrische Erweiterungen ........................... 342
Anhang 2: Tabellen und Figuren fur n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 348
Konventionen/N otationen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 356
Quellen und Literaturverzeichnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 359
Verwendete Abkurzungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 359
Archivalia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 362
Publizierte Quellen ........................................ 363
Fachliteratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 384
Index. . . . . .. .... . . . . .. . .. . . . .. . .... . . ... . . .. .. . . . . . . .. . . . . . .. 399
Personenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 399
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 403
