Symmetric Linear Multistep Methods for Hamiltonian Systems on Manifolds

127 Pages·2013·2.36 MB·English

UNIVERSITÉ DE GENÈVE FACULTÉ DES SCIENCES
Section de mathématiques Prof. Ernst HAIRER
Symmetric Linear Multistep Methods
for Hamiltonian Systems on Manifolds
Thèse
présentée à la Faculté des Sciences de l’Université de Genève
pour obtenir les grades de
Docteur dès Sciences de l’Université de Genève, mention Mathématiques
par
Paola CONSOLE
de
Taranto (Italie)
o
Thèse N 4591
Atelier d’impression ReproMail de l’Université de Genève
2013

a Papà
a Francesco

Remerciements
Je voudrais tout d’abord remercier Ernst Hairer pour sa disponibilité, sa patience et son
aide, et pour la confiance qu’il m’a montrée durant ces quatre années; ce fut un grand
honneur d’être une de ses élèves.
JesuistrésreconnaissanteàChristianLubichetGustafSöderlindd’avoiracceptéd’être
membres du jury de soutenance, et pour avoir montré lors de chacune de nos rencontres
tant de gentillesse et d’intérêt pour mon travail de thèse.
Je tiens aussi à remercier toutes les personnes que j’ai rencontrées au cours de ces
années à Genève; un grand merci à Martin Gander et à l’ensemble du groupe d’analyse
numérique : Soheil, Jérôme, Heiko, Hui, Bankim, Erwin. Une mention spéciale à Félix,
pour son soutien constant et son aide (pour la thèse et non), et à Christophe, avec qui j’ai
eu le plaisir de partager de nombreux moments au sein de la section de mathématiques et
de nombreux voyages.
MerciaussiàNicolaGuglielmietVictoritaDoleanpourlagentillessedémontrée durant
cesannées,etàRaffaeleD’Ambrosiopoursonamitiéetsonsoutienmathématiqueetmoral
lors des derniers, fondamentaux, mois.
Ces années n’auraient pas été les mêmes sans mes collègues doctorants et post-
doctorants, passés et présents, dela Section de mathématiques; merci à tous pourle temps
que nous avons passé ensemble, malgré mon amour pour la célèbre cantine d’Uni-Mail.
En particulier, merci à Aglaia pour tous les efforts faits pour être là lors de la soutenance
et pour ses recettes (!!), merci à Anita pour avoir souffert du froid avec moi, et merci à
Christian (et ce n’est pas le moins important) de m’avoir appris comment faire un bon
mojito : aux deux merci pour l’aide avec la thèse et à vous tous un grand merci pour
les merveilleux moments que nous avons passés ensemble. Un grand merci à Pierre- Alain
Cherix, et une mention spéciale à Shaula, pour avoir été ma première vraie amie à Genève
et pour m’avoir beaucoup aidée lors des premiers mois (et pas seulement).
Un grand merci aux secrétaires pour avoir supporté mon stress de la bureaucratie
durant les derniers mois, et aux bibliothécaires pour leur sourire, leur convivialité et leur
professionnalisme.
Merci à Valentina, Daniela, Graziana et Rossana pour la fraîcheur qu’elles ont apporté
à mes années genevoises.
Unepenséenepeutpasnepas alleraux troplointains, mais trèsproches amis deLecce,
doncungrand merci àFabio, Chiara, Laura, Alfredo,Michele, Manuela, Mary,Alessandro,
Valentina, Rosy, Adele et Carlo; une centaine de pages ne suffirait pas à en énumérer les
raisons, mais vous les savez toutes. Un grand merci à Diego et Ilaria (et Newton), qui ont
été durant ces dernières années mon annexe italienne en Suisse.
iv
Un grand merci à Anna Maria Cherubini, pour avoir cru en moi même quand je ne l’ai
pas fait, et pour ses précieux conseils.
Un grand merci à Sara pour avoir été mon amie depuis si longtemps.
Un gros bisou à ma famille; merci à Beatrice pour avoir fait autant de kilomètres pour
assister à ma soutenance.
Un merci particulier et un gros bisou à ma mère qui m’a toujours soutenue dans tous
mes choix.
Dulcis in fundo, un bisou et un grand merci à Francesco : merci pour chaque jour passé
proches ou lointains, et pour tout ce que tu es et que tu fais.
Contents
0 Introduction and main results 1
0.1 Hamiltonian Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.1.1 Some notions on Lagrangian mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.1.2 Hamiltonian equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2 Linear symmetric multistep methods for Hamiltonian systems . . . . . . . . 5
0.2.1 Linear multistep methods for first order equations . . . . . . . . . . 5
0.2.2 Linear multistep methods for second order equations . . . . . . . . . 6
0.2.3 Symmetric multistep methods for Hamiltonian systems . . . . . . . . 6
0.3 New Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Long-Term Stability of Symmetric Partitioned Linear Multistep
Methods 11
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Classical Theory of Partitioned Linear Multistep Methods . . . . . . 12
1.1.2 Known results about the long-time behavior . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Long-time analysis of the underlying one-step method . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 Analysis for the harmonic oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2 Backward error analysis (smooth numerical solution) . . . . . . . . . 22
1.2.3 Near energy preservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.4 Near preservation of quadratic first integrals . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.5 Symplecticity and conjugate symplecticity . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Long-term stability of parasitic solution components . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.1 Modified differential equation (full system). . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.2 Growth parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.3 Bounds for the parasitic solution components . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.4 Near energy conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.5 Verification of the stability assumption (SI) . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Complements on symmetric partitioned LMM for Hamiltonian systems 41
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Construction of the method and stability optimization . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1 Construction of multistep methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2 Stability optimization: partitioned LMM with 5 steps and order 4. . 42
2.2.3 Stability optimization: partitioned LMM with 7 steps and order 6. . 44
2.3 Some numerical examples of non-separable systems . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.1 Numerical Examples: a polynomial non-separable Hamiltonian . . . 46
2.3.2 Numerical examples: the spherical pendulum . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.3 Numerical examples: the double pendulum . . . . . . . . . . . . . . 50
vi Contents
3 Symmetric multistep methods for constrained Hamiltonian systems 53
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Symmetric linear multistep methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.1 Energy conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.2 Momentum conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Examples of higher order methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.1 Coefficients of methods up to order 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.2 Linear stability - interval of periodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Backward error analysis for smooth numerical solutions . . . . . . . . . . . 62
3.6.1 Modified differential-algebraic system . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.2 Modified energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.3 Modified momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.7 Long-term analysis of parasitic solution components . . . . . . . . . . . . . 64
3.7.1 Linear problems with constant coefficients . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.7.2 Differential-algebraic system for parasitic solution components . . . . 65
3.7.3 Bounds on parasitic solution components . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.7.4 Proof of the main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Complements on symmetric LMM for constrained Hamiltonian systems 73
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Stability issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.1 Overview on stability for linear multistep methods . . . . . . . . . . 73
4.2.2 Study of stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Study of the error constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Implementation and round-off error optimization 79
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Round-off error: comparing standard and optimized implementations . . . . 79
5.2.1 "SHAKE-like" vs "RATTLE-like" implementations . . . . . . . . . . 80
5.2.2 Influence of the initial approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.2.3 Treatment of the coefficients of a multistep method . . . . . . . . . . 83
5.2.4 Compensated summations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.5 Solution of nonlinear system: accurate constraint . . . . . . . . . . . 87
5.2.6 Solution of nonlinear aystem: iteration until convergence . . . . . . . 89
5.2.7 Programming choices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3 Further numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.1 Constrained masses-springs system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.2 Triple pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4 Probabilistic explanation of the error growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A Symmetric LMM for Constrained Hamiltonian Systems: Fortran 90
routine 97
B Maple Scripts 111
C Résumé de la thèse 115
Bibliography 117
Chapter 0
Introduction and main results
The aim of the work described in this thesis is the study of symmetric linear multistep
methods applied to Hamiltonian systems.
We show that this class of methods can have good properties of near preservation of
the energy and momenta for long-time integrations of Hamiltonian systems; furthermore
multistep methods are easy to construct, to program, and they can reach arbitrarily high
order. All the analysis presented in this thesis follows the line of the study of symmetric
linear multistep methods applied to second order Hamiltonian equations made in [HL04].
The thesis is divided into two main parts.
In the first part (Chapter 1 and 2) we study partitioned linear multistep methods
applied to first order Hamiltonian equations: we focus mainly on the application of this
class of methods to separable Hamiltonians. In this study it is shown how the use of
symmetric partitioned multistep method can lead to near preservation of energy for a
specific class of separable Hamiltonians.
In the second part (Chapter 3, 4 and 5) we study symmetric linear multistep methods
applied to second order constrained Hamiltonian systems. In Chapter 3 and 4 we focus on
the theoretical analysis of the excellent behaviour that this class of methods presents on
this kind of problems; the analysis is supplemented with practical considerations on the
construction of these methods, and with some numerical experiments. In Chapter 5 we
study the optimization of the implementation of this class of methods.
Chapter1 Weinvestigatetheapplicationofpartitionedlinearmultistepmethodsapplied
to Hamiltonian systems.
This theoretical study is based on backward error analysis and on the technique of
modulatedFourierexpansions,anditismainlyfocusedonseparableHamiltonians. Forthe
smoothsolution,wecanconstructmodifiedequationsbutitisimpossibletoconstructafirst
integralthatisclosetotheHamiltonian; weshowthatitispossibletoimprovethebehavior
of the smooth solution imposing some order conditions depending on the coefficients of
the method. Next we present the analysis for the parasitic components for separable
Hamiltonian systems, and we show that on the time intervals where they stay small and
bounded, the numerical solution behaves like that of a symmetric one step method.
Chapter 2 Some complements to the analysis made in Chapter 1 are presented.
We show the optimization of the stability of symmetric partitioned multistep methods
which satisfy the additional order condition described in Chapter 1. This work is made
for the classes of methods of order 4 and 6, and it is supplemented with some numerical
2 Chapter 0: Introduction and main results
experiments made on some separable and non-separable Hamiltonian systems, in which
also the behavior of the parasitic components is shown.
Chapter 3 We present the theoretical study of symmetric linear multistep methods
applied to second order constrained Hamiltonian systems.
Forthis class ofmethods itis possibletoextendthetechniques of [HL04], by construct-
ing the modified equations and then the modified Hamiltonian. The analysis is completed
by showing, under non-restrictive hypotesis, the boundedness of the parasitic components,
which explains the excellent behaviour reported in the numerical experiments that sup-
plement the theoretical analysis. The study is completed with the presentation of the
construction of this class of methods.
Chapter 4 We present some complements to the analysis made in Chapter 3.
We study the interval of periodicity and the error constant of the classes of methods
of order 4, 6 and 8 presented in Chapter 3, and this study is completed with some figures
representing these quantities.
Chapter 5 The aim of this chapter is the optimization of the implementation of the
methods studied in Chapter 3.
It is an important issue since, because of the high order of the methods, it is very
easy to reach discretization errors of the size of the machine precision. If this happens the
round-off error becomes the dominating source of error, and so it has to be optimized in
order to avoid its linear growth due to deterministic errors. We present the techniques
used for this purpose, and we show with some figures the effect that they have on the
propagation of the round-off error.
0.1 Hamiltonian Systems
In this Section we give an overview on the Hamiltonian formalism, developed by Hamilton
(1834) for modeling physical systems: this way of representing the equation of motions
reveals some elegant intrinsic properties of some dynamical systems.
Hamiltonian equations are often used in astronomy for modeling planetary motions, in
molecular dynamics or to represent the motions of rigid bodies.
0.1.1 Some notions on Lagrangian mechanics
Lagrange’s formalism is the base for the construction of Hamiltonian formalism, that will
be described in the next section.
Consider a mechanical system of d degrees of freedom: let (q ,...,q ) be the coordinates
1 d
representing the positions (the so-called generalized coordinates), and (q˙ ,...,q˙ ) the re-
1 d
spective velocities. Using these coordinates we write the functions
T = T(q,q˙)
U = U(q),
which represent the kinetic and the potential energy of the mechanical systemrespectively.
If we denote by
L = T U
−