Sur une inégalité fonctionnelle sur les variétés toriques avec application à la torsion analytique holomorphe

0.28 MB·French

by  Mounir Hajli

Sur une inégalité fonctionnelle sur les variétés toriques avec
application à la torsion analytique holomorphe
Mounir Hajli
Résumé
3
1 Soit X une variété torique complexe projective non-singulière de dimension n, et E un fibré en
20 droiteséquivariantetamplesurX.NotonsparHE,0l’espacedesmétriqueshermitiennesC∞,positives
et invariantespar l’action du tore compact deX.

n Danscetarticle,nousintroduisonsV∞,∗,unefonctionnellesurHE,0,nousétudionssespropriétés,
a et nous la comparerons à certaines fonctionnelles classiques. Comme application, nous étudions la
J variation de la torsion analytiqueholomorphe sur HE,0.
6
1
Table des matières

]
G
1 Introduction 1
A
. 2 Une inégalité fonctionnelle canonique sur une variété torique non-singulière 4
h
at 2.1 La fonctionnelle V∞,∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
m
3 Applications à la torsion analytique holomorphe 14
[ 3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 3.2 Sur la variation de la torsion analytique holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
v
8 4 Rappel sur la fonctionnelle F et résultats antérieurs connexes 19
ω0
9 4.1 Comparaisonde F et de V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7 ω0 ∞,∗
1
. 1 Introduction
1
0
3 Soit X une variété torique complexe non-singulière,et E un fibré en droites équivariant et ample sur
1
X. Nous introduisons une nouvelle fonctionnelle sur l’espace de métriques admissibles et invariantes par
:
v l’actiondutorecompactdeX surE.Grâceàlastructurecombinatoiredelavariété,nousétablissonsque
i cette fonctionnelle est majorée. Nous la comparons à certaines fonctionnelles classiques, comme consé-
X
quence nous retrouvons quelques résultats classiques.
r
a
Commençonsparrappellerlaconstructiondecertainesfonctionnellesclassiques,ainsiquelesrésultats
associés.Soit X une variété compacte kählérienne, et E est un fibré en droites ample sur X. Soit ω une
0
forme kählérienne dans la première classe de Chern c (E). Si l’on pose
1
H = u∈C∞(X) ω :=ddcu+ω >0 ,
ω0 u 0
(cid:8) (cid:12) (cid:9)
alors cet ensemble s’identifie à l’ensemble des métr(cid:12)iques C∞ définies positives sur E. Classiquement, on
définit deux fonctionnelles, E et L , sur H . La première fonctionnelle E , appelée la fonctionnelle
ω0 ω0 ω0 ω0
1
d’énergie qui apparaît dans les travaux d’Aubin cf. [1] et Mabuchi cf. [11], elle est définie comme suit :
n
E (u):= 1 u ddcu+ω j ∧ωn−j ∀u∈H .
ω0 (n+1)!Vol(ω ) Z 0 0 ω0
0 Xj=0 X (cid:0) (cid:1)
On a, ω définit une métrique kählérienne sur X, et donc sur K . Soit u∈H , u définit une métrique
0 X ω0
surE.Donc ondisposed’une métriquesurH0(X,L⊗K ).Lafonctionnelle L estalorsdéfinie comme
X ω0
suit :
1
L (u):=− logdet s ,s ∀u∈H ,
ω0 N i j 1≤i,j≤N ω0
(cid:0)(cid:10) (cid:11)(cid:1)
avec s ,...,s est un ensemble orthogonalde sections globales de E⊗K pour la métrique définie par
1 N X
ω et formant une base pour H0(X,E⊗K ), voir [3].
0 X
Si l’on pose,
F =E −L .
ω0 ω0 ω0
Alors on montre, dans [3], le résultat suivant :
Théorème 1.1. Soit K un groupe de Lie compact semi-simple qui agit transitivement sur X, et E un
fibré en droites holomorphe K-homogène sur X. Soit ω l’unique forme de Kähler invariante par l’action
0
de K sur X. On a,
F (u)≤0 ∀u∈H .
ω0 ω0
Un desbuts de cetarticleestprésenterune nouvellefonctionnelle notée V ,définie dansle cadre
∞,E,m
des variétés toriques non-singulières. Nous montrerons que le fait que V soit bornée, implique une
∞,E,m
versionfaibleduthéorèmeci-dessus.Plusprécisément,onétablitquesiV estbornéealorsF l’est
∞,E,m ω0
aussi.
Notre second objectif est motivé par la conjecture de Gillet-Soulé qui prédit le comportement du dé-
terminantrégularisé(voirdéfinition(3.1))quandlamétriquevariesurlefibréE,cf.[8].LorsqueX =P1,
Berman utilise [3, corollaire 2] pour montrer cette conjecture, c’est à dire que le déterminant régularisé
est majoré sur l’espace des métriques hermitiennes C∞ sur O(m), cf. [3, § 1.2.1]. Notons qu’en dimen-
sion 1, cela revient à dire que l’opposé de la torsion analytique est majoré (voir (7)). Nous étudions la
variation de la torsion analytique holomorphe moyennant la fonctionnelle V , nous établissons un
∞,E,m
résultatqui décritla variationde la torsionanalytiquesur un espacede métriquessur un fibré endroites
sur une variété torique non-singulière quelconque, par exemple P1. Ce résultat peut être vu comme une
généralisationdu [3, corollaire 4] dans le cadre des variétés toriques.
Plan de l’article : Soit X(Σ) une variété torique projective non singulière de dimension n, et E un
fibré en droites ample sur X(Σ). Nous commençons par associer à toute variété torique non singulière,
une forme de volume continue, notée ωn . Cette constructionest canonique,dans le sens qu’on n’a pas
E,∞
besoinde définir, à priori,une métrique kählerienne sur le fibré tangentTX(Σ)et que sonexpressionest
déterminée uniquement par la combinatoire de la variété, c’est l’objet du théorème (2.6). L’idée clé de
la preuve utilise l’existence d’un recouvrement canonique associé à toute variété torique définie par un
éventail.
SoithunemétriquehermitiennecontinuesurE.OndéfinitunproduithermitiensurA(0,0) X(Σ),E ,
l’espace des fonctions C∞ à coefficients dans E, comme suit : (cid:0) (cid:1)
(s,t) = h(s,t)ωn ,
L2h,∞E ZX(Σ) E,∞
pour tous s,t∈A(0,0) X(Σ),E .
(cid:0) (cid:1)
2
On note par H , l’espace des métriques admissibles et invariantes par l’action du tore compact de
E,0
X(Σ) sur E.
Soit m ∈ N∗, on introduit la fonctionnelle V sur H , définie comme suit (voir paragraphe
∞,E,m E,0
(2.1)) :
Définition 1.2. Soit X(Σ) une variété torique projective complexe non singulière. Pour tout m∈N ,
≥1
on définit sur H la fonctionnelle suivante :
E,0
V (h):=logh +2 ch Em,hm,hm ∀h∈H .
∞,E,m L2,hm,∞E Z ∞ E,0
X(Σ) (cid:0) (cid:1)
e
où h est la métrique canonique de E, h le volume L2 de H0(X(Σ),E) induit par ωn et
∞ L2,hm,∞E E,∞
hm, et ch Em,hm,hm est la classe de Bott-Chern associée au caractère ch. Lorsque X(Σ) = Pn, et
∞
E =O(1e),(cid:0)on notera ce(cid:1)tte fonctionnelle par V∞,m.
Nous montrons que la fonctionnelle V est majorée sur H , voir (théorème (2.12)) :
∞,E,m E,0
Théorème 1.3. Pour tout m∈N , il existe une constante c (resp. c ) qui dépend uniquement de
≥2 m E,m
m telle que
V (h)≤c ∀h∈H ∩{h≤h ,
∞,m m 0 ∞
(cid:9)
(resp.)
V (h)≤c ∀h∈H ∩{h≤h .
∞,E,m E,m E,0 ∞
(cid:9)
Lorsque m≫1, alors
V (h)≤c ∀h∈H ,
∞,m m 0
(resp.)
V (h)≤c ∀h∈H .
∞,E,m E,m E,0
Comme application, nous montrons un résultat donnant la variation de la torsion analytique holo-
morphe lorsque la métrique varie sur H (resp. H ) :
0 E,0
Théorème1.4. Soit Pn (resp.X(Σ)unevariététoriqueprojectivecomplexenonsingulièrededimension
n) muni d’une métrique de kähler ω.
Il existe m ∈N, tel que pour tout h∈H (resp. h∈H ) et pour tout m≥m :
n 0 E,0 n
−T (Pn,ω);(O(m),hm) ≤−c′ ,
m
(cid:0) (cid:1)
(resp.)
−T (X(Σ),ω);(Em,hm) ≤−c′ ,
m
(cid:0) (cid:1)
où c′ est une constante réelle qui dépend uniquement de m et de ω.
m
Leparagraphe(4.1)estconsacréàlacomparaisonentreV (définition(2.7))etF lafonctionnelle
∞,∗ ω0
étudiée par Berman dans [3]. En particulier, on retrouve une version faible d’un résultat de [3].
Laplupartdes démonstrationssontdonnéesdans le casdePn,mais elless’étendentnaturellementau
cas d’une variété torique projective complexe non singulière.
3
2 Une inégalité fonctionnelle canonique sur une variété torique
non-singulière
Cette sectionest consacréeàl’introductiond’une nouvellefonctionnelle,notée V , définie sur un
∞,E,m
espace de métriques sur un fibré en droites sur variété torique non-singulière, voir la définition (2.7), et
à son étude. Cette fonctionnelle a la particularité d’être canoniquement associée à la variété.
Nouscommençonstoutd’abordparétablirqu’onpeutassociercanoniquementàtoutevariététorique
complexe non singulière une forme de volume, que nous explicitons localement en terme de la combina-
toire de la variété, c’est le but du théorème (2.6).
Il est bien connu, voir par exemple [6] ou [7], qu’une variété torique projective normale sur C, cor-
respond à la donnée d’un Z-module libre N et un éventail Σ sur NR = N ⊗Z R, et que tout diviseur
de Cartier équivariant définit un polytope convexe dans MR, où M est le dual de N. Il est possible de
procéder autrement en partant d’un polytope convexe à sommets entiers et de lui associer une variété
torique projective normale, voir théorème (2.1) ci-dessous. Nous adopterons cette dernière construction,
de sorte que toute variété torique considérée dans cet article soit attachée à un polytope convexe donné.
Théorème 2.1. Soit ∆⊂Rn un polytope convexe d’intérieur non vide dont les sommet sont dans Zn. Il
existe un unique éventail complet Σ dans Rn et un unique diviseur de Cartier E horizontal T-invariant
sur X(Σ) tels que :
1. ∆ =∆.
E
2. Le diviseur E est ample.
L’éventail Σ est le plus petit éventail complet tel que la fonction d’appui ψ 1 est linéaire par morceaux
∆
relativement à Σ. De plus, X(Σ) est lisse si et seulement si le polytope ∆ est absolument simple; dans ce
cas, le diviseur E est très ample.
Démonstration. Voir [12, théorème 2.4.1].
Dans [2], Batyrev et Tschinkel introduisent un recouvrement canonique pour toute variété torique
projective lisse, nous utiliserons ce recouvrement pour construire une forme de volume continue canoni-
quement attachée à la variété. Commençons par rappeler la construction de Batyrev et Tschinkel.
Définition 2.2. [Batyrev et Tschinkel] Soit X(Σ), une variété torique projective sur C, définie par un
éventail Σ. Pour tout σ ∈Σ, on définit C ⊂X(Σ) de la façon suivante :
σ
C = x∈X(Σ): ∀m∈S :=σˇ∩M, χmest régulier en x et |χm(x)|≤1 .
σ σ
(cid:8) (cid:9)
Proposition 2.3. Pour tout σ ∈Σ, on a C ⊂U et C est compact. De plus, si τ,τ′ ∈Σ, alors :
σ σ σ
C ∩C =C .
τ τ′ τ∩τ′
Démonstration. Voir [12, proposition 3.2.2].
Soit m ,...,m une famille génératrice du semi-groupe S . On dispose de l’immersion fermée :
1 q σ
(cid:8) (cid:9)
ϕ :U −→Cq (1)
σ σ
x−→ χm1(x),...,χmq(x) .
(cid:0) (cid:1)
On remarque que ϕ(C )=ϕ(U )∩B(0,1)q.
σ σ
1. ψ∆ définitlepolytope∆.
4
Proposition 2.4. Si Σ est complet, alors les compacts C forment un recouvrement de X(Σ) lorsque σ
σ
parcourt Σ .
max
Démonstration. [12, proposition 3.2.3].
Remarque 2.5. On suppose que X(Σ) est lisse, donc en particulier Σ est complet, dans ce cas, si on se
donne µ une forme de volume sur X, alors pour toute fonction absolument intégrable f sur X, on a
fµ= fµ,
Z Z
X σ∈XΣmax Cσ
car Cσ ∩Cσ′ =Cσ∩σ′ est de dimension inférieure à dimC(X(Σ))−1, lorsque σ 6=σ′ ∈Σmax, et donc de
mesure négligeable.
Soit ∆ un polytope absolumentsimple, et on considère X(Σ), la variété torique associée et E comme
dans (2.1), donc X(Σ) est non-singulière et E est très ample. On a alors le résultat suivant :
Théorème 2.6. Il existe une unique forme volume continue sur X(Σ), notée ωn telle que
E,∞
(ωn ) =ϕ∗ µ ∀σ ∈Σ .
E,∞ |int(Cσ) σ 0 max
(cid:0) (cid:1)
où µ désigne la forme volume standard sur Cn, et int(∗) est l’intérieur de ∗. En particulier, si ∆=∆ ,
0 n
(c’est à dire le polytope standard de Rn), donc X(Σ)=Pn, alors on a
(ωn ) = i n nj=1dzj ∧dzj ,
∞ |{x06=0} (cid:18)2π(cid:19) Q 2(n+1)
max 1,|z |,...,|z |
1 n
(cid:16) (cid:0) (cid:1)(cid:17)
avec z = xj pour j =1,...,n.
j x0
Démonstration. Localementsur un ouvertassez petit U,on a ωn =f n dy ∧dy où y ,...,y est
E,∞ j=1 j j 1 n
un système local de coordonnées sur U et f est une fonction positive etQcontinue sur U. Donc l’unicité
résultera du (1.).
On fera la preuve pour ∆ = ∆ , c’est à dire X(Σ) = Pn. Notons par x ,...,x les coordonnées
n 0 n
homogènes standards de Pn, et posons sur l’ouvert x 6=0 , z = xj pour j =1,...,n.
0 j x0
(cid:8) (cid:9)
On considère la forme de volume ωn sur Pn, donnée sur {x 6=0} par
∞ 0
(ωn ) = i n nj=1dzj ∧dzj .
∞ |{x06=0} (cid:18)2π(cid:19) Q 2(n+1)
max 1,|z |,...,|z |
1 n
(cid:16) (cid:0) (cid:1)(cid:17)
Notons que cette dernière condition détermine de façon unique ωn . Pn est défini par la donnée d’un Z-
∞
moduleN,librede rangn etd’unéventailΣPn (voirparexemple,[7,§ 1.4].OnnoteparM,le Z-module
dual à N, on les identifie à Zn. On note par e ,...,e la base standard de Zn, et e := − n e . On
1 n 0 j=1 j
pose, P
n
σ := R+e ∀j =0,...,n,
j k
Xk=0
k6=j
5
alors ΣPn,max = σ0,σ1,...,σn . Vérifions que
(cid:8) (cid:9)
n n
S :=σˇ ∩M = Z+(e∗ −e∗)+Z+(−e∗), et S :=σˇ ∩M = Z+e∗.
j j k j j 0 0 k
Xk=1 kX=1
k6=j
où e∗ est le dual de e , pour j =1,...,n.
j j
Soit donc j 6=0, si m= n m e∗ ∈σˇ , alors
k=1 k k j
P
<m,e >=m ≥0 ∀k ∈/ {0,j},
k k
n
<m,e >=− m ≥0.
0 k
Xk=1
Donc,
m= m e∗
k k
kX=1
n n n
= m (e∗ −e∗)+(− m )(−e∗)∈ Z+(e∗ −e∗)+Z+(−e∗).
k k j k j k j j
kX=1 Xk=1 kX=1
k6=j k6=j
Alors, σˇ ∩M ⊆ n Z+(e∗ −e∗)+Z+(−e∗).
j k=1 k j j
k6=j
RéciproquemePnt si m∈ n Z+(e∗−e∗)+Z+(−e∗), alors m peut s’écrire comme suit :
k=1 k j j
k6=j
P
n
m= z (e∗ −e∗)+z (−e∗)
k k j j j
kX=1
k6=j
avec z ∈Z+ pour k ≥1. On a alors
k
<m,e >=z ∈Z+ ∀k ≥1, k6=j,
k k
<m,e >=z ∈Z+.
0 j
Par suite, n Z+(e∗ −e∗)+Z+(−e∗)⊆σˇ ∩M.
k=1 k j j j
k6=j
P
Maintenant si j =0, alors on vérifie que σˇ = n Z+e∗.
0 k=1 k
P
Comme dans (1), on considère pour tout j =1,...,n :
ϕ :U −→Cn
j σj
x−→ χe∗1−e∗j(x),...,χe∗j−1−e∗j(x),χ−e∗j(x),χe∗j+1−e∗j(x),...,χe∗n−e∗j(x) .
(cid:0) (cid:1)
et
ϕ :U −→Cn
0 σ0
x−→ χe∗1(x),...,χe∗n(x) .
(cid:0) (cid:1)
6
En passant aux coordonnées z ,...,z , on obtient :
1 n
ϕ :U −→Cn
j σj
z z 1 z z
1 j−1 j+1 n
z −→ ,..., , , ,..., ,
z z z z z
(cid:16) j j j j j(cid:17)
et
ϕ :U −→Cn
0 σ0
z −→ z ,...,z .
1 n
(cid:0) (cid:1)
Rappelons que lorsque Cn est muni de sa métrique standard, alors la forme volume associée, µ est
0
donnée par :
n n
i
µ = dy ∧dy
0 (cid:18)2π(cid:19) k k
kY=1
où {y ,...,y } est un système local de coordonnées holomorphes sur Cn.
1 n
Fixons j 6=0 et posons yk = zzkj si k 6=j et yj = z1j. Montrons que :
n n
i
ωn = ϕ∗ dy ∧dy .
∞|int(Cj) (cid:18)2π(cid:19) j(cid:0)kY=1 k k(cid:1)
En effet, sur l’intérieur de C , on a
j
n n
i dz ∧dz
(ϕ−1)∗ωn = (ϕ−1)∗ k=1 k k
j ∞ (cid:18)2π(cid:19) j (cid:18) Q 2(n+1)(cid:19)
max(1,|z |,...,|z |)
1 n
= i n (cid:0)d(y1j)∧d(y1j)Qnkk=6=1jd((cid:1)yykj)∧d(yykj)
(cid:18)2π(cid:19) 2(n+1)
max 1, y1 ,..., yj−1 , 1 , yj+1 ,..., yn
(cid:16) (cid:12)yj(cid:12) (cid:12) yj (cid:12) (cid:12)yj(cid:12) (cid:12) yj (cid:12) (cid:12)yj(cid:12)(cid:17)
i n (cid:12) (cid:12)|y |−(cid:12)2(n+1(cid:12)) (cid:12) n(cid:12) (cid:12)dy ∧(cid:12) dy (cid:12) (cid:12)
= j k=1 k k
(cid:18)2π(cid:19) max 1, y1 ,..., yj−1 ,Q1 , yj+1 ,..., yn 2(n+1)
n (cid:16) (cid:12)yjn(cid:12) (cid:12) yj (cid:12) (cid:12)yj(cid:12) (cid:12) yj (cid:12) (cid:12)yj(cid:12)(cid:17)
i (cid:12) (cid:12) dy (cid:12)∧dy(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
= k=1 k k
(cid:18)2π(cid:19) max(1, Qy ,...,..., y )2(n+1)
1 n
n n (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
i (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
= dy ∧dy .
k k
(cid:18)2π(cid:19)
kY=1
Sur C , on a pose y =z pour k =1,...,n, alors
0 k k
n n
i
ωn = ϕ∗ dy ∧dy .
∞|int(C0) (cid:18)2π(cid:19) 0(cid:0)kY=1 k k(cid:1)
7
2.1 La fonctionnelle V
∞,∗
On considère ∆ le polytope standard dans Rn (resp. ∆ un polytope absolument simple). Soit Pn
n
(resp. X(Σ)) l’espace projectif complexe de dimension n associé à ∆ (resp. la variété torique projective
n
complexe non singulière associée à ∆) comme dans (2.1). On considère la forme volume singulière ωn
∞
(resp. ωn ) sur Pn (resp. sur X(Σ)).
E,∞
Soit m ∈ N . On dispose pour chaque métrique hermitienne continue h sur O(1) (resp. sur E), de
≥1
deux normes sur A(0,0) Pn,O(m) (resp. sur A(0,0) X(Σ),E⊗m ) :
1. Lapremièrenorm(cid:0)enotéepa(cid:1)rk·k (resp.k(cid:0)·k )e(cid:1)stassociéeauproduithermitiensuivant:
L2hm,∞ L2hm,∞E
s,t = (hm) s,t ωn ∀s,t∈A(0,0) Pn,O(m) ,
(cid:10) (cid:11)L2hm,∞ ZPn (cid:0) (cid:1) ∞ (cid:0) (cid:1)
(resp.)
s,t = (hm) s,t ωn ∀s,t∈A(0,0) X(Σ),Em ,
(cid:10) (cid:11)L2hm,∞E ZX(Σ) (cid:0) (cid:1) E,∞ (cid:0) (cid:1)
etonnoteraparh (resp.h )lanormehermitienneinduitesurl’espacedetH0(Pn,O(m))
L2,hm,∞ L2,hm,∞E
(resp. detH0(X(Σ),Em)).
2. La deuxième norme notée k·k (resp. k·k ), est définie comme suit :
sup E,sup
ksk = sup ks(x)k⊗m ∀s∈A(0,0)(Pn,O(m)).
sup
x∈Pn
(resp.)
ksk = sup ks(x)k⊗m ∀s∈A(0,0)(X(Σ),Em).
E,sup
x∈X(Σ)
Rappelons qu’une métrique h sur E est dite admissible, si h est une limite uniforme d’une suite de
métriques positives et de classe C∞.
On note par H (resp. H ), l’espace des métriques sur O(1) (resp. E ) de classe C∞, admissibles et
0 E,0
invariantes par l’action du tore compact de Pn (resp. de X(Σ)). On introduit la définition suivante :
Définition 2.7. Soit X(Σ) une variété torique projective complexe non singulière. Pour tout m∈N ,
≥1
on définit une fonctionnelle sur H en posant pour tout h∈H :
E,0 E,0
V (h):=logh +2 ch Em,hm,hm ,
∞,E,m L2,hm,∞E Z ∞
X(Σ) (cid:0) (cid:1)
e
où ch Em,hm,hm est la classe de Bott-Chern généralisée2 associée à la suite exacte 0 →(Em,hm)→
∞
(Em,h(cid:0)m)→0 et a(cid:1)u caractère ch.
e ∞
Remarque 2.8.
1. ContrairementàlafonctionnelleF introduitedans[3],voir(12),lafonctionnelleV n’estpas
ω0 ∞,E,m
invarianteparmultiplicationpardes constantesstrictementpositives.Plus précisement,sit>0on
a
n+m mn+1
V (th)= −2 log(t)+V (h) ∀h∈H .
∞,E,m ∞,E,m 0
(cid:18)(cid:18) n (cid:19) n! (cid:19)
2. C’estàdireuneformedifférentiellegénéralisée, voir[12,§4.3]
8
2. V nedépendpasàpriorid’unchoixdemétriquekählériennesurX(Σ);cequin’estpaslecas
∞,E,m
de F .
ω0
Dans la suite, on suppose que ∆=∆ c’est à dire on se restreindra au cas de Pn.
n
On se propose d’étudier la fonctionnelle V , Pour cela, on va traduire cette étude en un problème
∞,m
de la géométrie convexe sur Rn, par l’intermédiaire de la correspondance suivante : Soit h ∈ H , on lui
0
associe la fonction suivante :
f (u)=logk·k exp(−u) ∀u∈Rn.
h
(cid:0) (cid:1)
où exp(−·)
Rn −→Pn
u=(u ,...,u )−→exp(−u):= 1:exp(−u ),...,exp(−u ) .
1 n 1 n
(cid:2) (cid:3)
Rappelonsque cette fonctiona été introduite par Burgos,Philippon etSombradans [5]afind’étudier les
hauteurs des variétés toriques projectives. On montre, voir [5], que h 7→ f définit une correspondance
h
bijective entre les éléments de H et une classe de fonctions concaves de classe C∞ sur Rn.
0
On appelle la transformée de Legendre-Fenchel de f , la fonction suivante :
h
fˇ(x)= inf <x,u>−f (u) six∈∆ ,
h h n
u∈Rn
(cid:0) (cid:1)
fˇ(x)=−∞ sinon.
h
Comme h est invariante par (S1)n alors
h = zν,zν ,
L2,hm,∞ ν∈YPm(cid:10) (cid:11)L2hm,∞
oùP = ν =(ν ,...,ν )∈Nn n ν ≤m et zν ν ∈P estune basedeH0(Pn,O(m)) formée
m 1 n j=1 j m
par les mo(cid:8)nômes de degré inférieu(cid:12)rPà m. (cid:9) (cid:8) (cid:12) (cid:9)
(cid:12) (cid:12)
Le résultat suivant sera utile dans la suite :
Théorème 2.9. Soit Pn l’espace projectif de dimension n (resp. X(Σ) une variété torique projetive
non-singulière) sur C. O(1) = (O(1),h) (resp. E = (E,h)) le fibré de Serre (resp. un fibré en droites
équivariant) muni d’une métrique h, positive et invariante par l’action du tore compact de Pn (resp.
X(Σ)). On a
ch(O(1),h,h )= fˇ
∞ h
ZPn Z∆n
e
(resp.)
ch(E,h,h )= fˇ.
∞ h
Z Z
X ∆
e
où h est la métrique canonique sur O(1) (resp. sur E).
∞
Démonstration. See [13, § 9.3].
Pour tout ν =(ν ,...,ν )∈Nn tel que n ν ≤m, on considère l’ensemble :
1 n k=1 k
P
ν ν +1
j j
∆ = x∈∆ ≤x < ∀j =1,...,n .
n,ν n j
m m
(cid:8) (cid:12) (cid:9)
(cid:12)
9
Onvérifiequelafamilleforméeparcesensemblesformeunepartitionde∆ .Onconsidèrelespolynômes
n
R suivants :
ν
n n n
R (x)= 1− ν +m x 1+ν −mx .
ν k k k k
(cid:0) Xk=1 Xk=1 (cid:1)kY=1(cid:0) (cid:1)
On notera par ψ la fonction définie sur l’ouvert x 6=0 par :
0
(cid:8) (cid:9)
1
ψ(z)= logh(1,1).
2
Dans ce cas h(zν,zν)=|z|2νe2mψ(z) sur x 6=0 et que f (u)=ψ(exp(u)) pour tout u∈Rn.
0 h
(cid:8) (cid:9)
Proposition 2.10. Soit h∈H . On a
0
1 1
log zν,zν ≤−2m fˇ(x)dx− logR (x)dx+log(n+1), (2)
(cid:10) (cid:11)L2hm,∞ Vol(∆n,ν)Z∆n,ν h Vol(∆n,ν)Z∆n,ν ν
pour tout h∈H , m∈N et ν ∈P . Le terme à droite est fini.
0 ≥1 m
Démonstration. Fixons ν comme avant et soit x∈∆ , on a
n,ν
zν,zν = h⊗m(zν,zν)ωn d’après(2.5)
(cid:10) (cid:11)L2hm,∞ σ∈XΣmaxZCσ ∞
n
= h⊗m(zν,zν)ωn
Z ∞
Xj=0 Cj
n
= |z|2νe2mψ(z)ωn
Z ∞
Xj=0 Cj
n
= |z|2ν−2mx|z|2mxe2mψ(z)ωn
Z ∞
Xj=0 Cj
n
≤ sup |z|2mxe2mψ(z) |z|2ν−2mxωn
Xj=0z∈Cj(cid:16) (cid:17)ZCj ∞
n
≤ sup |z|2mxe2mψ(z) |z|2ν−2mxωn
Xj=0z∈Pn(cid:16) (cid:17)ZCj ∞
n
= sup e(−2<mx,u>+2mf(u)) |z|2ν−2mxωn
Xj=0u∈Rn(cid:16) (cid:17)ZCj ∞
n
= e−2minfu∈Rn(<x,u>−f(u)) |z|2ν−2mxωn
Z ∞
Xj=0 Cj
n
= e−2mfˇh(x) |z|2ν−2mxωn
Z ∞
Xj=0 Cj
n n
= 2iπ ne−2mfˇh(x)Z |z|2ν−2mx dzj ∧dzj + e−2mfˇh(x)Z |z|2ν−2mxω∞n .
(cid:0) (cid:1) C0 jY=1 Xj=1 Cj
10