Sur les algèbres de Lie nilpotentes de dimension ~ 7

26 Pages·2012·0.97 MB·French

JGP-VoL3,n. 1,1986
Sur les algèbres de Lie nilpotentes
de dimension ~ 7
L.MAGNIN
*
LaboratoiredePhysique-Mathématique
UniversitédeDijon
BP 138
21004-DijonCedex
Abstract. We consider the embedding problem of a nilpotent Lie algebrainto a
stratified one, we construct all nilpotent Liealgebrasofdimension ~ 7 having a
fixed Lie algebraofcodimension 1, andwegetamong otherresults, a new classi-
fication of 6-dimensionalnilpotent Liealgebras. Thisstudyhasapplicationson the
analysis of deformations of the internal space of 11 dimensionalKaluza-Klein
theories(nonabelian theories)and in 11-dimensionalsupergravity.
Resume.Onétudieleproblèmeduplongementd‘unealgèbredeLienilpotentedans
unealgèbre deLienilpotentestratifieeminimale;on construittouteslesalgébresde
Lienilpotentes dedimension~ 7contenantune algébrenilpotentefixee decodi-
mension 1, et l’on obtient entreautres une nouvelle classification desalgèbresde
Lie nilpotentes de dimension 6. Cette étude a des dans l’analysede
deformations de 1‘espace interne des theories de Kaluza-Klein de dimension 11
(theoriesnonabéliennes)etensupergravirédedimension 11.
INTRODUCTION
La classification des algèbres de Lie nilpotentes de dimension finie est un
a a
problbme ce jour non résolu et qui présente d’intéressantes applications
d’autres theories, parexemple lesalgèbres de Kac-Moody 10.
La dimension joue un rOle particulier, car c’est la plus petite dimension
UAC.N.R.S. 1102.
*
Key-Words: NilpotentAlgebras, Classification, LieAlgebras.
1980Mathematics SubjectClassification: 17B30.
120 L.MAC;NIN
00 apparaissent divers phénomènes: de classification (series continues d’algèhres
non-isomorphes). de structure (existence d’ideaux abéliens maximaux de diffé-
a
rentesdimensions), ou lies la notiond’algèbre nilpotente stratifiée.
ete
Cette notion a introduite recemment par divers auteurs, soit comme dCfor-
mation du cas abelien IR’~pour 1’Analyse Harmonique 4, soit comme hypothèse
technique dans certains problèmes d’analyticite jointe et séparee pour les repre-
sentations des groupes de Lie nilpotents 2. Dans ce dernier cas. Ic résultat
obtenu est Ic suivant: pourune algèbrede Lie g nilpotente stratifieeengendrCe par
Xi...., X~,et (ir, ~C) representation unitaire continue du groupe de Lieconnexe
simplement connexe d’algèbre de Lie g. ~ est un vecteur analytique pour
ir si et seulement si ~pest un vecteur C~qui verifie pourun C 0
Idir(~
1)...dir(X,~)PMC~n!VnEIN,Vi1,..., i,~,l~i i,~p.
oü direst la representation derivee de g.
Ce resultat demeure valable pour les algèbres nilpotentes non stratifiees. car ii
a
est bien connu que toute algèbre de Lie nilpotente de longeur r p generateurs
est quotient d’une algèbre de Lie stratifiee:l’algêbrede Lienilpotente delongueur
a
r libre p generateurs; mais d’autres méthodes permettent d’eliminertotalement
l’hypothèse destratification.
De ce fait, ii semble interessant d’etudier les relations entre algèbres stratifiées
et non-stratifiees, et un probléme naturel est celui du plongement d’une algébre
de Lie nilpotente dansune algèbrestratifiee minimale.
Mais la dimension 7 joue aussi un rOle majeur en physique contemporaine.
En theorie de Kaluza-Klein generalisee, on considère une variété fibrCe sur
l’espace-temps physique (ou une variété produit) dont la fibre-type est une
variete dite espace interne; sur l’espace interne doit operer legroupe de grande
unification (forte-électrofaible) SU(3) x SU(2) x U(1). Le dimension minimale
d’une variété sur laquelle opère ce groupe est 4 + 2+ 1 = 7 Ct l’espace interne
est pris comme variete de groupe abélien de dimension 7, en general compact,
a
ce qui aboutit une tIleorie deKaluza-Kleindedimension 11.
a
De manière analogue au passage de la mécanique classique Ia mécanique
quantique du cas nilpotent, et dans l’esprit de la théorie desstar-produits.nous
nous sommes demandé s’il etait possible de substituer par dc~for,nationsminima-
a
les, l’espace interne précédent une variété de groupe nilpotent de dimension 7.
Le problème conduit naturellement aux questions suivantes 1) classifier toutes
les algèbres de Lie nilpotentes de dimension 7: 2) determiner lesgroupespouvant
operersurles algèbresde manière cohérente.
a
L’analyse de supergravite en dimension II conduit des etudes analogues.
On voit l’importance, mathematique et physique, de la dimension 7 pour les
algèbres de Lie nilpotentes. Nous donnons ici une étude préliminaire, mais qui
SUR LESALGEBRES DELIE NILPOTENTESDEDIMENSION ~ 7 121
nous semble résoudre, dans cc contexte, des problèmes mathématiques naturels
ouverts.
Le problème du plongement stratifié peut étre formule de deux facons diffe-
rentes et dans les deux cas il existe toujours une solution. Mais nous donnons
des exemples oO ii existe plusieurs solutions non isomorphes.etmème,en dimen-
sion 7,uninfinite continue detellessolutions.
Nous sommes aussi conduits a essayer de classifierles algèbresde Lienilpoten-
a
tes de dimension n + 1, contenant, isomorphisme près, une algebre de Lie
nilpotente fixée de dimension n. Nous introduisons pour cela la méthode des
derivations nilpotentes, Ia difficulté étant Ia separation des series obtenues en
classes de solutionsnon isomorphes. En dimension6, onobtient une classification
plus fine que Ia classification de Morosov 8. En dimension 7, on determine
toutes les algèbres de Lie nilpotentescontenant une algèbre donnée de dimension
6, par des series comportant des paramètres reels arbitraires; certaines series
comprennent une infinite d’algèbres, d’autres un nombre fini. La separation
qui a pu être effectuée dansun certain nombre de casmontre que laclassification
annonceedans 91est certainement incomplete.
Le corpsde base est ici IR.
1. ALGEBRES DE LIE STRATIFIEES
Soit g une algèbre de Lie nilpotente de dimension finie de Iongueur r, i.e.
(~‘Tg* 0, ~‘ r+ = 0 oO ((,~Pg)~1 désigne Ia série centrale descendante. La
suite des n
1 = dim ~“g — dim ~ ‘g, 1 ( i~ r, sera appelée la graduation de
g. On dira qu’un sous-espace vectoriel de g engendre g comme algèbre de Lie
si g = + - . . +g~oO est defini inductivement pouri~2 parg1 = g1, g~_1:
g est dite stratifiée s’il existe un sous-espace vectoriel de g tel que g
=
n g~.L’existence d’un sous-espace g1 tel que Ia somme g +
= + - - -
ne soit pas directe n’implique nullement que g ne soit pas stratifiée, comme le
montre l’exemple suivant de dimension 7, plus petite dimension oO cc cas se
produit: g a pour base (Xi) 1 e~i~ 7 avec lesrelationsde commutationsuivantes:
X1, X21 = X3 + X7, X1, X4 = — X5 + 2X.~,X1, X5 = X7
X2, X3 = X7. X7, X41 = X5, X~.X5 = X6, X3. X4 = X6.
Si IRX1 ~IRX2~ IRX4, la somme + + g3 n’est pas directe, mais
= =
= IRX1 e IR(X2 + X5) 0 IRX4 est tel que g = 0 0 g~.
122 L. MAGNIN
2. CLASSIFICATION DE MOROSOV DES ALGEBRES NILPOTENTES DE
DIMENSION ~ 6
La classification de Morosov 8 est basée sur Iaplus grande dimensionin d’un
ideal abélien maximal: on a toujours 2m Vl + 8 dimq 1. Les algébres
—
nilpotentes de dimension ~ S avaient déjà été classées par ciautres méthodes
dans 3. Par ailleurs, dans 11 a Cté introduite une mëthode qui permet en
théorie de classifiertoutes les algebres nilpotentesde dimensionn + 1 connaissant
celles de dimension ~ n et leursgroupesd’automorphismes.Les objets classifiants
sont alors la dimension k du centre ~ de q et certaines orbitesdans l’ensemblede
tous les sous-espaces de dimension k du second groupe de cohomologie de q/~
pour I’action canonique du groupe des automorphismes de g/~ Cette méthode
.
n’a eté appliquee qu’en dimension 6, redonnant Ia classification de Morosov;
le calcul des orbites présentant des difficultés, elle ne semble pas pouvoir étre
actuellement utilisée pour la classification des algèbres de dimension 7. Mention-
nons aussi quelques procedures surordinateur 7.
On donne dans Ic tableau 1 les commutateurs * 0, et entre parentheses les
dimensions dela série centrale descendante.
Tableau I
Dimension 1
g
1, algèbreabélienne (1)
Dimension 2
2=g
(g1) 1xg1 (2)
Dimension 3
3 (3)
(g1)
n : X
1, X2 = (3, 1)
Dimension 4
4 (4)
(g1)
nxg
1 (4,1)
g4. X1, X2 = X3, X1, X3 = X4 (4. 2. 1)
SUR LESALGEBRESDE LIE NILPOTENTESDEDIMENSION ~ 7 123
Dimension 5
5 (5)
(g
1)
n x (g 2 (5,1)
1)
g
4xg1 (5,2,1)
g51 : x1, x2 = x5, x3,x4 = x5 (5, 1)
g52 : x1,x2 = x4, x1, x3 = x5 (5, 2)
x1, x2 = x3, x1, x3 = x4, x2,x5 = x4 (5, 2, 1)
g54 : x1,x2 = x3. x1. x3 = x4, x2,x3 = x5 (5, 3, 2)
g55 : x1, x2 = x3, x1, x3 = x4, x1,x4 = x5 (5, 3,2, 1)
g56 :x1, x2 = x3, x1, x3 = x4, x1, x4 = x5, xi, x3 = x5 (5, 3, 2, 1)
Dimension 6
6, n x n,n x(g 3, g 2, g
produits directs.(10): (g1) 1) 4x (g1) 1 x g~(1 ~ I ~ 6)
Autres. (22):
m=5
1) X1. X2 = X3, X1,X31 = X4, Xi,X5 = X6 (6, 3, 1)
2) X1. X21= X3, Xi,X3 = X4, X1,X41 = X5, X1,X5 = X6 (6, 4,3, 2, 1)
m=4
Centrede dim 3
3) X1,X2 = X6, X1.X3 = X4, X~,X3 = (6, 3)
Centre dedim 2
4) X1, X2 = X5, X1. X3 = X6, X2,X4 = (6, 2)
5) X1,X3 = X5, X1, X4 = X6. X2, X4 = X5, X2, X3 = ‘yX6
2) (6, 2)
(~y* 0,a
6) X
1,X21 = X6, X1. X3 = X4. X1, X4 = X5. X2, X31 = X5 (6. 3, 1)
7) X1,X3 = X4, X1. X4 = X5, X2, X3 = X6 (6, 3. 1)
8) X1, X2 = X3 + X5. X1, X~ = X4. X2, X5 = X6 (6, 3,2)
9) X1,X2 = X3. X1, X3 = X4, X1, X5 = X6. X2, X3 = X6 (6. 3,2)
124 L.MAGNIN
10) X
1, X2 =X3, Xi, X3 =X5, Xi, X4 = X6, X~, X4 = X5.
2) (6,3, 2)
X2,X3 =~yX6 (-y* 0,a
11) X
1, X2J =X3, X1, X3~= X4, X1, X4 =X5, X2,X3 =X6 (6,4,3, 1
Centre dedim 1
12) X1, X3 = X4, X1, X4 =X6, X2, X5 =X6 (6, 2, I
x3~
13) X1, X2 = X5, X1, =X4, Xi, X4 = X6. X2, X5 =X6 (6, 3, 1)
14) X1, X3 = X4, X1, X4 = X6, X2, X3~= X5. X2. X5J= 7X6
(y*0) (6,3,1)
15) X1, X21 =X3 +X5, Xi, X3 =X4, X1, X4 = X6,
X2,X5=X6 (6,3,2,1)
16) X1, X3J= X4, X1, X4 =X5, X1, X5 =X6, Xi, X3 = X5,
X2,X4J=X6 (6,3,2,1)
x4.
17) X1, X2 =X3, X1, X3~= X1, X4 =X6. X2, X51 =X6 (6,3, 2, 1)
18) X1, X2 = X3, X1, X3 =X4, X1, X4 =X6, X2, X3 =
X2,X5=’yX6 (y*0) (6,4,3,1)
19) X1, X2 =X3, X1, X3 =X4, X1, X4 =X5, X1, X5 =X6,
X2,X3=X6 (6,4,3,2.1)
20) X1, X2 =X3, X1, X3 =X4, X1, X4 =X5, X1, X5 = X6.
x2,x3
=X5, X2,X~ =X6 (6,4,3,2, 1)
m=3
21) X1, X2 =X3, X~ X5J =X6, X2, X3 =X4, X2, X4 = X5,
X3,X4=X6 (6,4,3,2,1)
22) X1, X21 =X3, X1, X3 =X5, X1, X5 =X6, X2, X3 =
X2, X4 =X5, X3, X4 =X6 (6,4,3,2, 1)
Remarque
1) Il y a 2 types 14 et 2 types 18 non isomorphes (-y= ±1) mais unseul type
5 et un seul type 10 (‘y = 1): si l’on pose y = I dans lesrelations dc commuta-
—
SURLESALGEBRESDELIE NILPOTENTESDLDIMENSION~ 7 125
tion du type 10, on obtient le type 8 avec X = X
1 —X2, X~= X1+ X2, X~=
=x3 x~,X~= 2(X5 X6), X~= x~+ X4, X~= 2(X5 +X6), et de méme
— —
avec le type5 on obtient n x n.
2) Les idéaux abéliens d’une algèbre de Lie de dimension ~ 6 ont tous la
mbme dimension. On verraqu’iI n’enest pas deméme en dimension 7.
3) Les algèbres de Lie nilpotentes non stratifiées de dimension ~ 5 sont
g53 et g56 et celles de dimension 6 sont g1x g53, g1 xg56 et les types 6, 8. 10,
12, 15, 16, 17, 19, 20,22.
3. PROBLEMEDE STRATIFICATION
3.1. Soit g une algèbre de Lie nilpotente de longueur r et un supplementaire
de~”~’gdans~”~g(~ln~r).Onag=~ V~.Soit~=1~t~id~(tEIR),
H~I’ensemble des fo1njkc~tioLn’aslgfèbpreoldyenoLmieial~esdedsecdheagmrépsndseurvegc,teiu.er.sfoTa6~c=oetf~fif-
Vt E IR, et P =k~~n
cientspolynomiaux surg (i.e. derivations de l’algèbrePdesfonctionspolynomiales
-
sur g) tels que TP~C ‘c/n (1 ~ n e~r) est une algebre de Lie nilpotente
stratifiéedelongueur ret l’application p :g ~définie par:
-+
d 1
(p(X)f)(Y)=t —f(H(—tX,Y))I VfEP
Ldt jt=
0
00 H ( ., .) désigne la série de Hausdorff, est un homomorphisme injectif de g
dans ~ 6. ~ ne dépendant que de la graduation de g, toute algèbre de Lie nil-
potente dc mémegraduationque g est isomorphe a unesous-algèbre de ~.
Exempie
g5•6estl’algèbre de Lie stratifiéede dimension 26 engendrée par
a a a a a a a
(~)~
— — — — (~)2 —
a~1 a~3 a~4
~2
-
a a a a a
2
~
E (~)3 ~ E1(~2) — — ‘
— ~ — —
4
a a a
~i ~3 — ~2~3— — et l’on a
a~5 a~5 a~5
a 1 a 1 1 a
p(X1) = — — — 2 ~2 a~3+ —12 ~1~2 — —2 ~3 —a~4+
126 LMAGNIN
1 2) 1 a
+ —12 (~~~3+(E) — —2
+ (~)2 _(~a~1~2+ ~3)
— — .-
+ + (~)2
— a~ — — — — —
3 2 a~4 2 12 a~5
a 1 a
p(X4)=——
a~4+—~2-— a~5
a
=
— a
oft ~ sont les coordonnécs sur la base (X~)1 de g56 ayant les rela-
a a
tions de commutation donnécs dans le tableau 1. Dans g56, +
~ ~-~— , ~-—
a a
+ E1 E3 engendre une sous-algCbre isomorphe a g~,s~e5ule algèbre
~-~— + ~-~—
de dimension 5 ayant méme graduation que g56.
3.2. Une algèbre dc Lie nilpotente g de longueur r étant fixée, on peut donc
poserles 2 questionssuivantes:
1) Y a t’il une unique algébre de la olus petite dimension parmi lcs algèbres
- -
nilpotentes stratifiées dc longueur r contenant a isomorphisme pres toutes les
algèbrcs nilpotentes de méme graduation que q?
2) Y a t’il une unique algébre de la plus petite dimension parmi les algèhres
- -
nilpotentes stratifiées, non nécessairement de longucur r, qui contiennent a
isomorphisme près g?
4. METHODE DES DERIVATIONSNILPOTENTES
4.1. Les questions ci-dessus mènent au probléme suivant: étant donné une
algébre de Lie nilpotcnte de dimension n. determiner touteslcsalgèbresde Lie
a
nilpotcntcs de dimension n + 1 qui lacontiennent isomorphisme près.
LEMME 1. Soit g une aigèbre de Lie nilpotente et 6 une derivation nilpotente
de g. Alors, pour tout XEg, 6 + adX est nilpotente et le produit semi-direct
= 1R6® qestune aigèbre de Lie niipotente.
SUR LESALGEBRESDLLIE NILPOTENTESDEDIMENSION~ 7 127
7(Y) = ~ C’
Demonstration. Pour YE g, (6 + ad XY
1 avec C~.= X0, X1,
.
1’~Xou6”~Y 0~j~i,
X1=XouYou6
X1_1,X~....
n = i+ p
1
1= 0 Vn ~ (N+
d+el)sro—rtel.que si 6N = Oct si rdesigne la Iongueur deg, (6 + ad Xf
Toute sous-algèbre dc codimension 1 d’une algèbre dc Lie nilpotente étant un
ideal, on peut ainsi obtenir a partir d’une algèbre de Lienilpotente dc dimension
n toutes lesalgébresde Liede dimensionn + 1 qui lacontiennent aisomorphisme
près, d’oft Ia determination dc toutes les algèbresde Lie nilpotentesde dimension
n+ 1 a partir decelles dc dimensionn. Un point délicat est la separation entypes
non-isomorphes des series obtenues. A cc sujet, on a le résultat partiel suivant,
qu’on utiliscra implicitement dans la suite, et dont nous omettons la démonstra-
tion.
LEMME 2. Soit g une algébre de Lie nilpotente et 6, 6’ deux derivations nilpo-
tentes deg. Iiexisteunisomorphismedel‘algèbredeLie = IR6eg sur I‘algèbre
de Lie = 1R6’ ®g laissant g stable si et seulement si ii existe un automor-
phisme
5ode get ke IR\0teisque 6’ = k~’ ö~modad(g).
4.2. Algèbres nilpotentesde dimension ~ 5
(~~),
4.2.1. Dimension 3: La seule algèbre de Lie nilpotente de dimension 2 ëtant
2, on peut supposer 6 =0 ou 6 = d’oO respectivement (g 3 ou n.
(g1) 1)
4.2.2. Dimension 4:Typesissus de (g 2 :(g 4.n xg
1) 1) 1, g4.
/0 0
( )
o o
Types issus de n: si 6 * 0, on peut supposer 6 = 1 (avec X1, X21 =
\o o 0/
= X3) d’oft g4.
4.2.3. Dimension 5. On4:dIeatesrumitienedelesstinyvpaersiaanuttsredsequsiemleilsitpurdoedudiets6diéretacntst. (5) ou
Types issus de (g1)
(3, 2), on obtient g
55 oug52.
Types issus dc n x g1: dans la base (X~)1 = X3. on a 6 =
~ Xi, X2
( ),
= 0 0 0 ~ A matrice 2 x 2 nilpotente, a,/3,~ EIR. On obtient lesalgèbres
j3 0 0/
128 L.MAGNIN
suivantcs: 1/A =0 i) a=/3=O, y=1 :g
51ii)a=1(j3~=~0:g5)2,poury=0,
g53 pour 7=1. 2/A*O. On pcut supposer A = d’oO: g4 si /3*0,
0;g56 si/3* 0,7* 0;g53 si/3= 0.
00
0
Types issus de g4: on a 6 = ~ a, /3 E IR, donc contient unc sous-
0/30
4 oun xg
a
-algébreisomorphe (g1) 1 et lestypes sont déjàobtcnus.
Tableau 2
a
Algébre de dimension 4 Aigèbresdedimension5Ia contenant
isomorphismeprès
4 (g 5 g 2 x n, g
(g1) 1) 55 g52 (g1) 4 x
2 g
n x g1 n x (g1) 4 x g1 g51 /* 5
g4xg1, g5~ /=3,5,6
4.3. Algèbresnilpotentesde dimension6
a
On determine, partirdes algèbres de dimension 5, lestypes d’isomorphismes
d’algêbres de dimension 6 autres que les produits directs. 6 désigne toujours
une derivation nilpotente de l’algèbre de dimension 5 considérée, modulo une
derivationintérieure et unfacteurreel(cid:16) 0.
5
4.3.1. Typesissusde(g1)
Lasuite desinvanants desimilitude de 6étant (5) ou(3, 2) onobtient lestypes
2et 1 deMorozov.
4.3.2. Typesissusdenx(g 2
1)
000
A 000
Dans la base (e~)
1,~~ avec e1, e2 = e5, on a 6 = a ~ B o avec
0
OOpvO
A, B nilpotentes, a, ~3‘,y,X, ~t,V E IR.