Sur le sous-groupe des éléments de hauteur infinie du K2 d'un corps de nombres

0.18 MB·French

by  Jean-François Jaulent

Sur le sous-groupe des ´el´ements de hauteur
infinie du K d’un corps de nombres
2 ∗
Jean-Franc¸ois Jaulent & Florence Soriano-Gafiuk
8
0 R´esum´e. Poursuivant l’approche logarithmique des noyaux de la K-th´eorie pour les corps
0 de nombres (cf. [Ja1, Ja2, JS1, JS2]), nous d´eterminons ici en toute g´en´eralit´e les 2-rangs
2 respectifs du noyau sauvage WK2(F) et du sous-groupe K2∞(F) des ´el´ements de hauteur
infiniedansK2(F),a`l’aidedesgroupesdeclassespositivesducorpsF.
n Ler´esultat principal decette ´etude, qui conjugue les crit`eres d’´egalit´e deWK2(F) et de
a K2∞(F)obtenusparK.Hutchinson(cf.[Hu1,Hu2,HR])avecladescriptionlogarithmiquedes
J noyauxsauvages,permetainsided´eterminereffectivemententermesdeclasseslogarithmiques
7 dansquelscaslesous-groupeK2∞(F)estunfacteurdirectdunoyausauvage WK2(F).
Abstract. By using the logarithmic approach of the classical kernels for the K2 of number
] fields (cf. [Ja1, Ja2, JS1, JS2]), we compute the 2-rank of the wild kernel WK2(F) and the
T 2-rankof the subgroup K2∞(F)=∩n≥1K2n(F) ofinfinite heighelements in K2(F) interms
N ofpositiveclassgroupsforanynumberfieldF.
. Themainresult,whichconnectsthecriterionofequalitybetweenthesetwogroupsalready
h obtained by K. Hutchinson (cf. [Hu1, Hu2, HR]) and the logarithmic description of these
t groups, gives a simple logarithmic characterization of the number fields F for which the
a
m subgroupK2∞(F)isadirectfactorofthewildkernelWK2(F).
[

1 Introduction
v
On sait depuis les travaux de Tate que, pour tout corps de nombres F, le
6
1 noyau WK2(F) des symboles sauvages donn´es par la th´eorie locale du corps de
9 classesestunsous-groupefinideK (F)dontl’arithm´etiqueestmyst´erieusement
2
0 reli´ee `a celle des groupes de classes d’id`eles ou d’id´eaux (cf. e.g. [Ta], [Ko]).
.
1 C’est ainsi que J. Tate a montr´e que pour tout premier impair ℓ, la ℓ-partie
80 de WK2(F) co¨ıncide avec celle du sous-groupe K2∞(F) = ∩n∈N×K2n(F) des
´el´ements de hauteur infinie dans K (F); et il est montr´e dans [JS ] que le ℓ-
0 2 1
: rang commun de ces deux groupes est donn´e par l’isomorphisme de modules
v
galoisiens :
i
X ℓK∞(F)=ℓWK (F) ∆(µ ℓ )=µ ℓeω¯ ,
r 2 2 ≃ ℓ⊗C F[ζℓ] ℓ⊗C F[ζℓ]
a ou` ℓWK (F) = WK (F)/WK (F)ℓ est le qfuotient d’exposfant ℓ de WK (F);
2 2 2 2
µ d´esigne le groupe des racines ℓ-i`emes de l’unit´e; F[µ ] est l’extension cy-
ℓ ℓ
clotomique de F correspondante; ∆ = Gal(F[µ ]/F) le groupe de Galois as-
ℓ
soci´e; ℓ est le ℓ-groupe des classes logarithmiques du corps F[µ ]; et
C F[ζℓ] ℓ
∆(µ fℓ ) est le groupe des copoints fixes du tensoris´e de ℓ par µ ,
ℓ ⊗C F[ζℓ] C F[ζℓ] ℓ
qui s’idefntifie encore,comme expliqu´e dans [JS ], au tordupar µfde la compo-
1 ℓ
sante anticyclotomique du groupe ℓ . C’est la situation algorithmiquement
C F[ζℓ]
exploit´ee dans [Cp ] et g´en´eralis´eefaux noyaux´etales sup´erieurs dans [JM].
1
Lorsque ℓ est´egal `a 2, la situation est plus complexe `a double titre :
∗ActaArithmetica122(2006), 235–244.
1
- d’abord parce que les 2-parties des deux groupes WK (F) et K∞(F) ne
2 2
co¨ıncident plus n´ecessairement, le sous-groupe des ´el´ements de hauteur infinie
dans K (F) pouvantˆetre contenu stictement dans le noyau sauvage WK (F);
2 2
-ensuiteparcequelesisomorphismeslogarithmiquespr´ec´edentspeuventˆetre
en d´efaut d`es lors que le corps F ne contient pas les racines 4-i`emes de l’unit´e
commel’attestentlescalculsmen´esdans[So ]pourcertainscorpsquadratiques.
2
Defait,l’examenplusattentifdelaformuleexplicitepourlesymbolesauvage
−1, x ´etablie dans [Ja ] montre qu’interviennent dans ce cas non seulement
(cid:16) Fp (cid:17) 1
lesvaluationslogarithmiquesattach´eesauxplacesfinies,maisaussilesfonctions
signesattach´eesauxplacesr´eellesou2-adiques,cequijustifiel’introductiondela
notiondeclassessign´ees(cf.[So ],[Ja ]),qu’onpeutregardercommel’analogue
1 4
logarithmique de celle classique de classes au sens restreint.
Lesr´esultatsde[JS ]permettentainsided´ecrirela2-partiedunoyausauvage
2
`a l’aide d’un quotient convenable du groupe des classes sign´ees dit groupe des
classes positives. L’isomorphisme obtenu
2WK (F) 1 ℓpos
2 ≃{± }⊗C F
laisse cependant ouverte la question de la description du groupe K∞(F) et de
2
son quotient 2K∞(F). L’objet de la pr´esente note est pr´ecis´ement de combler
2
cette lacune en d´ecrivant ce dernier groupe en termes de classes positives.
1. Rappels sur les places logarithmiquement sign´ees ou primitives
Commenc¸ons par rappeler quelques d´efinitions indispensables `a la compr´e-
hension du Th´eor`eme principal :
D´efinition (cf. [Hu ], [JS ], [Ry], [Hu ], [HR]). Soit F un corps de nombres;
1 2 3
pour chaque place p de F, ´ecrivons F le compl´et´e de F en p. Cela pos´e :
p
(1) Nous disons d’une part que la place p est :
(i) sign´ee,lorsquele corpsF ne contientpasles racines4-i`emesde l’unit´e;
p
(ii)logarithmiquementsign´ee(ouencoreexceptionnelle),lorsquelaZ -exten-
2
sion cyclotomique Fc de F ne contient pas les racines 4-i`emes de l’unit´e1;
p p
(iii) logarithmiquement primitive, lorsqu’elle ne se d´ecompose pas dans (le
premier ´etage de) la Z -extension cyclotomique Fc de F.
2
(2) Nous disons d’autre part que le corps F est :
(i) sign´e, lorsqu’il ne contient pas les racines 4-i`emes de l’unit´e (ce qui a
lieu si et seulement s’il poss`ede au moins une place sign´ee);
(ii) exceptionnel, lorsque sa Z -extension cyclotomique Fc ne contient pas
2
les racines 4-i`emes de l’unit´e;
(iii) logarithmiquement sign´e, lorsque sa 2-extension ab´elienne localement
cyclotomiquemaximaleFlc necontientpaslesracines4-i`emesdel’unit´e(cequi
alieusietseulements’ilposs`edeaumoinsuneplacelogarithmiquement sign´ee);
(iv) logarithmiquement primitif lorsque F poss`ede au moins une place (n´e-
cessairement paire) qui est `a la fois logarithmiquement sign´ee et primitive;
1De sorte que ne sont logarithmiquement sign´eesque les places r´eelles et certaines places
paires,i.e.au-dessusde2.
2
Remarque. Il r´esulte des d´efinitions pr´ec´edentes qu’un corps de nombres est
logarithmiquement sign´e lorsqu’il est localement exceptionnel en l’une de ses
places; il est alors(globalement)exceptionnel, mais la r´eciproqueest fausse (cf.
infra). En revanche un corps de nombres est sign´e si et seulement s’il l’est en
l’une de ses places (auquel cas il l’est en une infinit´e d’entre elles en vertu du
th´eor`eme de Cˇebotarevˇ).
Donnons un exemple :
Exemple. Soit F = Q[√d] (avec d Z, d = 0 ou 1, d sans facteur carr´e) un
∈ 6
corps quadratique r´eel ou imaginaire. On a alors les ´equivalences :
(i) F sign´e (i.e. i / F) d= 1.
∈ ⇔ 6 −
(ii) F exceptionnel (i.e. i / Fc) d= 1, 2.
∈ ⇔ 6 − −
(iii) F logarithmiquement sign´e (i.e. i / Flc) (d > 0, i.e. F est -sign´e)
∈ ⇔ ∞
ou (d 1 [mod 8] et d 2 [mod 16], i.e. F est 2-logarithmiquement sign´e ).
6≡− 6≡−
(iv) F logarithmiquement primitif (d 1 [mod 8] et d 2 [mod 16])
⇔ 6≡− 6≡±
oud=2(lesplacespairessont`alafoislogarithmiquementsign´eesetprimitives).
Introduisons maintenant quelques notations : pour chaque place non com-
plexe p du corps consid´er´e F, d´esignons par
=limF×/F×2n
RFp p p
le compactifi´e 2-adique du groupe m←−ultiplicatif du compl´et´e de F en p, que
la th´eorie locale du corps de classes identifie au groupe de Galois de la pro-2-
extension ab´elienne maximale de F .
p
L’approche logarithmique am`ene `a consid´ererdeux applications d´efinies sur
le compactifi´e2-adique et`a valeursrespectivementdansZ etdans 1 :
RFp 2 {± }
la p-valuation logarithmique v d’une part, donn´ee par la formule :
p
•
v () = Log|·|p (cf. [Jea ], p. 306, d´ef. 1.3 (iv)),
p · − degp 2
ou` d´esigneelavaleurabsolue2-adique`avaleursdanslegroupemultiplicatif
p
Z×|e·t|degpestunfacteurdenormalisationchoisipourqu’onaitv ( )=Z ;
2 p RFp 2
la fonction signe sg d’autre part, dont une expressioneest :
• p
sg () = ε( ) (cf. [Ja ], p. 457, d´ef. 1),
p · |·|p 4
ou` ε d´esigne la projection naturelle de Z× 1 (1+4Z ) sur 1 .
2 ≃ {± }× 2 {± }
Lenoyau delavaluationv est,pard´efinition,lesous-groupedesunit´es
UFp p
logarithmiquesede RFp : c’est le geroupe de normes associ´e par la Th´eorie locale
ducorpsdeclasses`alaZ -extensioncyclotomiqueFc deF (aveclaconvention
2 p p
Fc =F auxplacesr´eelles);celuide lafonctionsignesg estle sous-groupedes
p p p
´el´ementspositifs + :ilcorrespond`al’extensionF [i]engendr´eeparlesracines
RFp p
4-i`emes de l’unit´e; l’intersection + = + , enfin, est le sous-groupedes
UFp UFp∩RFp
unit´es logarithmiques positives : eet il coerrespond `a l’extension compos´ee Fc[i],
p
i.e. `a la 2-extension cyclotomique de F .
p
En r´esum´e, la place p est donc sign´ee lorsque la fonction signe sg est non
p
triviale, auquel cas le sous-groupe positif + est d’indice 2 dans ; elle est
RFp RFp
logarithmiquement sign´ee lorsque la fonction signe sg est non triviale sur le
p
sous-groupeunit´e ,auquelcas + estd’indice2dans .Etcettederni`ere
UFp UFp UFp
´eventualit´enesepreoduitqu’auxplaecesr´eelleset`acertainesedesplacesau-dessus
de 2. Nous disons que ce sont les places paires logarithmiquement sign´ees.
3
2. Compl´ements sur les groupes de classes positives
Introduisonsmaintenantlesgroupesdeclassespositivesetrappelonsd’abord
pour cela quelques notations de la Th´eorie du corps de classes :
Etant donn´e un corps de nombres F, d´esignons par Fab sa pro-2-extension
ab´elienne maximale; notons Fc la Z -extension cyclotomique de F et Flc la
2
sous-extension localement cyclotomique maximale de Fab, i.e. la plus grande
sous-extensionde Fab qui est compl`etement d´ecompos´ee sur Fc
Par la Th´eorie 2-adique du corps de classes (cf. [Ja ]), le groupe de Galois
3
Gal(Fab/F)s’identifiecomme groupetopologiqueauquotient = / du
F F F
C J R
2-adifi´e du groupe des id`eles du corps F, d´efini comme le produit restreint
= res ,
JF Qp RFp
par son sous-groupe principal F = Z2 Z F×. En d’autres termes, dans la
R ⊗
correspondance du corps de classes, le groupe est associ´e `a F et le sous-
F
J
groupe `aFab.Ilsetrouvequelegroupedenormesattach´e`alaZ -extension
F 2
R
cyclotomique Fc
= (x ) v (x )degp=0
JF { p p ∈JF | Pp p p }
diff`ere (en g´en´eral)ede celui attach´e `a l’exteension localement cyclotomique Flc
= ,
UFRF QpUFpRF
de sorte que le 2-groupe des celasses logaritehmiques (de degr´e nul)
ℓ = / Gal(Flc/Fc) ,
F F F F
C J U R ≃
mesure l’´ecart entre lefs 2-exteensieons localement et globalement cyclotomiques
Flc et Fc. On ne sait pas encore si ces derniers groupes sont finis pour tout les
corpsde nombresF (ce que postule pr´ecis´ementune g´en´eralisationnaturellede
laconjecturedeGross),maiscepointestsansimportancepourlescalculsnum´e-
riques,puisquelesgroupesdeclasseslogarithmiquessecalculentessentiellement
comme les groupes de classes ordinaires et que la validit´e de la conjecture, qui
revient`aaffirmerlanontrivialit´ed’uncertainr´egulateur,sev´erifieais´ementen
pratique d`es que l’on sait calculer dans le corps ´etudi´e (cf. [Cp ]).
1
LorsquelecorpsF estexceptionnel,ilfautenoutredistinguerlaZ -extension
2
cyclotomique Fc de la 2-tour cyclotomique Fc[i]. Le groupe de normes attach´e
`a F[i] est le noyau de la formule du produit pour les fonctions signes :
∗ = (x ) sg (x )=+1 ;
JF { p p ∈JF | Qp p p }
et co¨ıncide avec le produit + = + , d’apr`es la caract´erisation
JF RF QpRFpRF
locale de l’extension quadratique E =F[i]. L’intersection
∗ = ∗ = (x ) x =1
JF JF ∩JF { p p ∈JF | Qp | p |p }
correspond donceau comepositum Ec = Fc[i]. Et la plus grande extension loca-
lement triviale de Ec qui est ab´elienne sur F, en d’autres termes l’intersection
Fab Elc, est ainsi associ´ee au sous-groupe de normes :
∩
+ = + =N ( ) .
UFRF QpUFpRF E/F UE RF
e e e
Le quotient correspondant(cf. [Ja ])
4
ℓs = ∗/ + Gal(Elc Fab/Ec)
C F JF UFRF ≃ ∩
est, par d´efinition,gle 2-grouepe dees classes logarithmiques sign´ees du corps F;
c’est aussi l’image, par la norme arithm´etique N du 2-groupe des classes
E/F
logarithmiques de E, comme on le voit sur le sch´ema de corps :
4
ℓ
E
C
f
Ec =Fc[i] Elc Fab Ec
(cid:8)(cid:8) ∩
∆ (cid:8)
(cid:8)
(cid:8)
(cid:8)
(cid:8) ℓsF
C
Fc g
N ( ℓ ) ℓ
E/F E E
C C
Γ
E =F[i]
(cid:8)(cid:8)
(cid:8)
(cid:8)
(cid:8)
(cid:8)
(cid:8) ∆
F
Il est commode de noter
ℓs = ∗/ + =N ( ℓ )
C F JF UFRF E/F C E
legroupeanalogueprissansconditioendedegr´e,imageparlanormearithm´etique
du groupe des classes logarithmiques (toujours sans condition de degr´e) ℓ .
E
Avec ces notations, le 2-groupe des classes positives ℓpos est le quotient C
C F
ℓpos = ∗/ pos
C F JF JF RF
du groupe ℓs par l’image du sous-groupe pos = + +
de ∗ consCtruiFt`a partirde l’ensemblePLS dJesFplacesQdpe∈PFLlSoRgaFrpitQhmp∈/iqPuLeSmUeeFnpt
JF
sign´ees. Et le sous-groupe des classes positives de degr´e nul est le quotient
ℓpos = ∗/ pos ,
C F JF JF RF
du groupe ℓs , image dansfℓpos duesouse-groupe ∗ de ∗.
C F C F JF JF
Via le dgegr´e, le quotient ℓpos/ ℓpos ∗/ e∗ + s’identifie `a
C F C F ≃ JF JF Qp∈PLSRFp
Z en l’absence de places paires logafrithmiquementesign´ees, auquel cas le sous-
2
groupe de degr´e nul est toujours un facteur direct de ℓpos. En revanche, en
C F
pr´esencedeplacespaireslogarithmiquementsign´ees,c’estunquotientfinideZ ,
2
et dans ce cas il peut arriverque le sous-groupede degr´e nul soitou ne soitpas
facteur direct dans ℓpos : s’il l’est, le quotient 2 ℓpos est alors un hyperplan
C F C F
du F -espace vectoriel 2 ℓpos; s’il ne l’est pas, onfa : 2 ℓpos 2 ℓpos.
2 C F C F ≃ C F
f
3. E´nonc´e du Th´eor`eme principal
Ces notations ´etant donn´ees, nous pouvons maintenant ´enoncer le r´esultat
principal de cette note, qui pr´ecise ceux obtenus par J.-F. Jaulent [Ja ] sur le
1
ℓ-noyau sauvage, puis par K. Hutchinson [Hu ], [Hu ] ou J.-F. Jaulent & F.
1 2
Soriano [JS ] sur le 2-noyausauvage :
2
Th´eor`eme 1. Soient F un corps de nombres, WK (F) le noyau des symboles
2
sauvages et K∞(F)= Kn(F) le sous-groupe des ´el´ements de hauteur infi-
2 ∩n≥1 2
nie dans K (F) (qui est d’indice au plus 2 dans WK (F)). Cela pos´e :
2 2
5
(i) Si le corps F n’est pas exceptionnel (i.e. pour i Fc), on a directement :
∈
K2∞(F)/K2∞(F)2 =WK2(F)/WK2(F)2 ≃ {±1}⊗Z2 CℓF,
f
ou` ℓ d´esigne le 2-groupe des classes logarithmiques (au sens ordinaire) de F.
F
C
Eft, dans ce cas, on a toujours l’´egalit´e : WK (F)=K∞(F).
2 2
(ii) Si le corps F est exceptionnel (i.e. pour i Fc), on a canoniquement :
6∈
WK2(F)/WK2(F)2 ≃ {±1}⊗Z2 CℓFpos,
ou` ℓpos d´esigne le 2-groupe des classes logarithmiques positives de F, mais :
C F
K2∞(F)/K2∞(F)2 ≃ {±1}⊗Z2 CℓFpos,
ou` ℓpos d´esigne le sous-groupe de ℓpos form´e desfclasses de degr´e nul.
C F C F
Eft, dans ce cas, on a : WK (F)=K∞(F) si et seulement si F est logarith-
2 2
miquement primitif; et (WK (F) : K∞(F)) = 2 sinon. Enfin, dans cette toute
2 2
derni`ere situation, le sous-groupe K∞(F) est facteur direct du groupe WK (F)
2 2
si et seulement si le sous-groupe des classes de degr´e nul ℓpos est lui mˆeme
facteur direct du groupe ℓpos des classes positives. En d’afCutFres termes, si F
C F
est exceptionnel et logarithmiquement imprimitif, on a :
- soit ℓpos ℓpos Z/2sZ et WK (F) K∞(F)) F ;
C F ≃ C F ⊕ 2 ≃ 2 ⊕ 2
- soit 2 ℓpos 2fℓpos et 2WK (F) 2K∞(F))( 2 ℓpos).
C F ≃ C F 2 ≃ 2 ≃ C F
f
Remarque. Lorsquele corps F est exceptionnel, mais non logarithmiquement si-
gn´e, i.e. lorsque l’on a i Flc Fc, le groupe des id`eles positifs pos d´efini
∈ \ JF
dans [JS ] co¨ıncide avec le groupe des unit´es logarithmiques et le quotient
2 F
U
/ pos = / = ℓ estalorsle2-groupedesclasseeslogarithmiques
JF JF RF JF UFRF C F
(sans conditionde deegr´e)du corps F.En particulier,les quotients d’exposant2
respectifs 2 ℓpos et 2 ℓ du groupe des classes positives ℓpos = ∗/ pos
C F C F C F JF JF RF
etdugroupedesclassfeslogarithmiques(dedegr´enul) ℓ = / sontles
F F F F
C J U R
hyperplansnoyauxdansleF -espacevectoriel2 ℓ defsformeselin´eeairesinduites
2 F
C
respectivementpar le signe sg et le degr´e deg . Ils sont donc (non canonique-
F F
ment) isomorphes,et l’isomorphisme annonc´e 2WK (F) 2 ℓpos redonne bien
2 ≃ C F
dans ce cas l’isomorphisme 2WK (F) 2 ℓ ´etabli dans [JS ].
2 F 2
≃ C
f
4. Preuve du Th´eor`eme principal
Le casou` le corpsconsid´er´eF n’estpas exceptionnelne pose pas probl`eme:
nousavonsalorsWK (F)=K∞(F)d’apr`es[Hu ];et2WK (F) 2 ℓ d’apr`es
2 2 1 2 ≃ C F
[Ja ] si le corps est sign´e, d’apr`es [JS ] s’il ne l’est pas; d’ou` les isomforphismes
1 2
annonc´es dans ce cas.
Supposons donc le corps F exceptionnel, introduisons l’extension E = F[i]
et consid´erons le sch´ema d’extensions dessin´e plus haut. Dans cette derni`ere
situation, nous avons, en vertu du Lemme 3.2 de [Hu ] :
2
Lemme 2. L’homomorphisme de transfertTr de K (E) dans K (F)envoie
E/F 2 2
lenoyausauvageWK (E)=K∞(E)surlesous-groupeK∞(F)d’indiceauplus
2 2 2
2 dans WK (F) form´e des ´el´ements de hauteur infinie dans K (F).
2 2
Et simultan´ement, comme expliqu´e dans la section 2 :
Lemme 3. L’op´erateur norme N envoie le 2-groupe des classes logarith-
E/F
miques ℓ sur le groupe des classes sign´ees ℓs ; donc, par passage au quo-
E F
C C
tient, lefgroupe 2 ℓ sur l’image canonique duggroupe 2 ℓpos dans 2 ℓpos.
C E C F C F
f f
6
Consid´erons donc le diagramme commutatif ci-dessous qui relie les isomor-
phismes entreles quotients d’exposant2respectifs des groupesde classeset des
noyaux sauvages´ecrits en haut pour le corps E et en bas pour le corps F :
2CℓE = 2CℓEpos β∼E //// 2WK2(E)=2K2∞(E)
f f
NE/F (cid:15)(cid:15)(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)(cid:15)(cid:15) TrE/F
2 ℓs = 2N ( ℓ ) //// 2K∞(F)
C F E/F C E δF 2
g f
π γ
(cid:15)(cid:15)(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)(cid:15)(cid:15)
2CℓFpos ηF ////K2∞(F)WK2(F)2/WK2(F)2
f
α ι
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
2 ℓpos ∼ ////2WK (F)
C F βF 2
Distinguons les deux cas :
(i) Si le corps F est logarithmiquement primitif, le groupe des classes po-
sitives ℓpos co¨ıncide avec son sous-groupe de degr´e nul ℓpos comme expli-
C F C F
qu´e plus haut; ainsi α est l’identit´e et ι est surjectif. Enfparticulier, il suit
WK (F) = K∞(F) (conform´ement au r´esultat de [Hu ]); et nous obtenons,
2 2 1
comme annonc´e dans ce cas, les isomorphismes naturels :
K2∞(F)/K2∞(F)2 =WK2(F)/WK2(F)2 ≃ {±1}⊗Z2 CℓFpos,
(ii) Si le corps F n’est pas logarithmiquement primitif, le sous-groupe des
classes de degr´e nul ℓpos est strictement contenu dans le groupe des classes
positives ℓpos et il pfCeuFt en ˆetre ou non facteur direct :
C F
Si ℓpos estfacteurdirectde ℓpos,l’applicationαestinjectiveetsonimage
C F C F
est unfhyperplan du F -espace vectoriel 2 ℓpos. Il suit que η est elle-mˆeme
2 F
C
injective (donc bijective) et que le sous-groupe K∞(F)WK (F)2/WK (F)2 est
2 2 2
un hyperplan du quotient 2WK (F). En particulier K∞(F) est lui-mˆeme un
2 2
facteur direct non trivial de WK (F), et nous avons, comme attendu :
2
2K2∞(F)≃ {±1}⊗Z2 CℓFpos & 2WK2(F)≃ {±1}⊗Z2 CℓFpos.
f
Inversement, si le sous-groupe K∞(F) est un facteur direct non trivial de
2
WK (F), l’application ι n’est pas surjective et l’application α ne l’est pas non
2
plus; il en r´esulte que ℓpos est alors un facteur direct de ℓpos.
C F C F
En fin de compte, lfes morphismes α et ι sont simultan´ement surjectifs ou
non; les sous-groupes ℓpos et K∞(F) sont simultan´ement facteurs directs ou
non respectivement defC ℓFpos. et d2e WK (F). Et, bien entendu, lorsqu’ils ne le
C F 2
sont pas, nous avons les isomorphismes non canoniques :
2K2∞(F)≃ 2WK2(F)≃ {±1}⊗Z2 CℓFpos ≃ {±1}⊗Z2 CℓFpos.
Remarque.Ilsuitdel`aque,contrairement`acequiestindiqu´emaflheureusement
dans [JS ], l’application canonique 2 ℓpos 2 ℓpos n’est pas, alors,bijective.
2 C F → C F
f
Diversesillustrationsnum´eriquessontdonn´eesdansuntravailencours[Cp ],
2
quig´en´eralisedanscecontextesign´el’approchealgorithmiqueiniti´eedans[Cp ].
1
7
R´ef´erences
[Cp1] F.DiazyDiaz,J.-F. Jaulent,S.Pauli, M.Pohst &F. Soriano-Gafiuk,
A new Algorithm for the Computation of logarithmic ℓ-class groups of number
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Jean-Franc¸ois Jaulent Florence Soriano-Gafiuk
Institut de Math´ematiques D´epartement de Math´ematiques
Universit´e Bordeaux 1 Universit´e de Metz
351, cours de la Lib´eration Ile du Saulcy
F-33405 TALENCE Cedex F-57045 METZ Cedex
[email protected] [email protected]
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