Superspecial abelian varieties, theta series and the Jacquet-Langlands correspondence

157 Pages·2012·0.79 MB·French

Superspecial abelian varieties, theta
series and the Jacquet-Langlands
correspondence
Marc-Hubert Nicole
Department of Mathematics and Statistics,
McGill University, Montr(cid:19)eal
Qu(cid:19)ebec, Canada
June, 2005
A thesis submitted to McGill University in partial ful(cid:12)llment of the
requirements of the degree of Doctor of Philosophy
Copyright c Marc-Hubert Nicole, 2005
(cid:13)

i
Abstract
Let E , i = 1;:::;n, be all the supersingular elliptic curves over F up to isomorphism.
i p
The modules of isogenies Hom(E ;E ), equipped with the degree map, are quadratic
i j
modules that give rise to theta series of level p. The space of modular forms of weight
two for (cid:0) (p) is thus spanned by the theta series coming from supersingular elliptic
0
curves in this fashion. We generalize this classical result to Hilbert modular forms
by showing that for totally real (cid:12)elds L of narrow class number one, the space of
Hilbert modular newforms of parallel weight 2 for (cid:0) (p), p unrami(cid:12)ed, is spanned by
0
thetaseriescomingfromquadraticmodulesHom (A ;A ), whereA ;A rangeacross
L i j i j
O
all superspecial abelian varieties with real multiplication by . We also provide a
L
O
version of this theorem in the more delicate case where p is totally rami(cid:12)ed in ,
L
O
building on the classi(cid:12)cation ofsuperspecial crystals following fromthe generalization
of Manin’s Habilitationschrift that we present in the (cid:12)rst Chapter.
ii Abstract
iii
R(cid:19)esum(cid:19)e
Soient E , i = 1;:::;n, toutes les courbes elliptiques supersinguli(cid:18)eres d(cid:19)e(cid:12)nies sur F ,
i p
a(cid:18) isomorphisme pr(cid:18)es. Les modules d’isog(cid:19)enies Hom(E ;E ), munis de l’application
i j
degr(cid:19)e, sont des modules quadratiques qui donnent lieu a(cid:18) des s(cid:19)eries th^eta de niveau p.
L’espace des formes modulaires de poids 2 pour (cid:0) (p) est donc engendr(cid:19)e par des
0
combinaisons de s(cid:19)eries th^eta provenant des courbes elliptiques supersinguli(cid:18)eres. Nous
g(cid:19)en(cid:19)eralisons ce r(cid:19)esultat classique aux formes modulaires de Hilbert en montrant que
pour un corps totalement r(cid:19)eel L de nombre de classes restreintes un, l’espace des nou-
velles formes modulaires de Hilbert de poids parall(cid:18)ele 2 pour (cid:0) (p), p non rami(cid:12)(cid:19)e, est
0
engendr(cid:19)e par les s(cid:19)eries th^eta provenant de modules quadratiques Hom (A ;A ), ou(cid:18)
L i j
O
les A ;A parcourent l’ensemble des vari(cid:19)et(cid:19)es ab(cid:19)eliennes supersp(cid:19)eciales a(cid:18) multiplica-
i j
tion r(cid:19)eelle par . Nous fournissons aussi une version de ce th(cid:19)eor(cid:18)eme dans le cas plus
L
O
d(cid:19)elicat ou(cid:18) p est totalement rami(cid:12)(cid:19)e dans , en nous appuyant sur la classi(cid:12)cation
L
O
des cristaux supersp(cid:19)eciaux qui d(cid:19)ecoule de la g(cid:19)en(cid:19)eralisation de l’Habilitationschrift de
Manin que nous exposons dans le chapitre premier.
iv R(cid:19)esum(cid:19)e
v
Remerciements
J’aimerais respectueusement remercier mon superviseur Prof. Eyal Z. Goren pour sa
patience et pour son professionnalisme; en particulier pour les commentaires a(cid:18) la fois
instructifs et fouill(cid:19)es d(cid:19)ecoulant de sa lecture de di(cid:11)(cid:19)erentes versions de cette th(cid:18)ese.
J’aimerais aussi remercier les membres de ma famille et mes amis pour leur con-
stante a(cid:11)ection et support, m^eme a(cid:18) distance parfois consid(cid:19)erable.
Une cat(cid:19)egorie importante de gens qui ont enrichi grandement mon s(cid:19)ejour sur l’^(cid:16)le
de Montr(cid:19)eal sont les hyperactivistes impliqu(cid:19)es dans la d(cid:19)efense des opprim(cid:19)es partout
dans le monde, du territoire mohawk de Kanehsatake jusqu’a(cid:18) l’E(cid:19)tat du Guerrero.
Chapeau surtout aux membres d’IPSM, qui est pour moi un mod(cid:18)ele exemplaire en
terme d’activisme social, par le m(cid:19)elange de lucidit(cid:19)e, d’e(cid:14)cacit(cid:19)e et d’humanit(cid:19)e qui le
caract(cid:19)erise.
J’ai appr(cid:19)eci(cid:19)e quelques commentaires d’une version pr(cid:19)eliminaire de cette th(cid:18)ese que
m’a fait parvenir en mai 2005 Dr. A. Ghitza. Je dois aussi remercier mon coll(cid:18)egue
du bureau, A. Stanculescu, pour des excellents conditions de travail.
J’ai (cid:19)et(cid:19)e (cid:12)nanc(cid:19)e successivement par des bourses du CRSNG, du FCAR et de l’ISM
pendant la majeure partie de mes (cid:19)etudes doctorales.
vi Remerciements
vii
Table of Contents
Abstract i
R(cid:19)esum(cid:19)e iii
Remerciements v
Introduction 1
1 Dieudonn(cid:19)e modules 7
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Classi(cid:12)cation up to isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Overview of Manin’s classi(cid:12)cation in the totally rami(cid:12)ed case 13
1.3.2 Special modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 The First Finiteness Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 Second (cid:12)niteness theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.5 The algebraic structure on the module space . . . . . . . . . 27
1.3.6 Superspecial Dieudonn(cid:19)e modules with real multiplication . . . 32
1.4 Traverso’s boundedness conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 Explicit computations of module spaces a(cid:18) la Manin . . . . . . . . . . 36
1.5.1 A family of non-supersingular Dieudonn(cid:19)e modules . . . . . . . 37
viii TABLE OF CONTENTS
1.5.2 The supersingular isocrystal in the totally rami(cid:12)ed case . . . . 39
1.6 Strati(cid:12)cation(s) of the supersingular Newton polygon stratum . . . . 41
2 Superspecial Abelian Varieties and Theta Series 47
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Orders in quaternion algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1 Basic de(cid:12)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.2 Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Ideal theory in quaternion algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.1 B and related quaternion algebras . . . . . . . . . . . . . . 58
p;
1
2.3.2 Algebraic aspects of ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3.3 Arithmetic aspects of ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.3.4 Superspecial orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.5 Norm forms of orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Abelian varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.1 Polarizations and endomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.2 Dieudonn(cid:19)e modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4.3 Tate modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4.4 The a-number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5 The algebra of superspecial points on Hilbert modular varieties . . . . 79
2.5.1 Tate’s theorem for supersingular abelian varieties with RM . . 79
2.5.2 Transitivity of the Hecke action of . . . . . . . . . . . . . . 86
‘
H
2.5.3 Quadratic forms arising from superspecial points . . . . . . . . 90
2.5.4 Tensor construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.5.5 Endomorphism orders of superspecial abelian varieties . . . . 95
2.5.6 The bijection between ideal classes and superspecial points . . 97
2.5.7 Application of Kneser’s Theorem to superspecial orders . . . . 100