Strukturierungen von Termen und Gleichungen: Theorie und Empirie des Gebrauchs algebraischer Zeichen durch Experten und Novizen

230 Pages·2015·3.24 MB·German

by  Christian Rüede (auth.)

Freiburger Empirische Forschung in
der Mathematikdidaktik
Herausgegeben von
A. Eichler
L. Holzäpfel
T. Leuders
K. Maaß
G. Wittmann
Freiburg, Deutschland
Die Freiburger Arbeitsgruppe am Institut für Mathematische Bildung (IMBF) ver-
folgt in ihrem Forschungsprogramm das Ziel, zur empirischen Fundierung der
Mathematikdidaktik als Wissenschaft des Lernens und Lehrens von Mathematik
beizutragen. In enger Vernetzung innerhalb der Disziplin und mit Bezugsdiszipli-
nen wie der Pädagogischen Psychologie oder den Erziehungswissenschaft en sowie
charakterisiert durch eine integrative Forschungsmethodik sehen wir Forschung
und Entwicklung stets im Zusammenhang mit der Qualifi zierung von wissen-
schaft lichem Nachwuchs. Die vorliegende Reihe soll regelmäßig über die hierbei
entstehenden Forschungsergebnisse berichten.
Herausgegeben von
Prof. Dr. Andreas Eichler
Prof. Dr. Lars Holzäpfel
Prof. Dr. Timo Leuders
Prof. Dr. Katja Maaß
Prof. Dr. Gerald Wittmann
Pädagogische Hochschule Freiburg, Deutschland
Christian Rüede
Strukturierungen
von Termen und
Gleichungen
Theorie und Empirie des Gebrauchs
algebraischer Zeichen durch
Experten und Novizen
Mit einem Geleitwort von Timo Leuders
und Gerald Wittmann
Christian Rüede
Pädagogische Hochschule FHNW,
Brugg, Schweiz
Habilitationsschrift Pädagogische Hochschule Freiburg, Deutschland, 2014
Freiburger Empirische Forschung in der Mathematikdidaktik
ISBN 978-3-658-08213-0 ISBN 978-3-658-08214-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-658-08214-7
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Geleitwort
Das Umformen von Termen und das L¨osen von Gleichungen sind typischer
Kernstoff“ des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe I und II. Cha-
”
rakteristisch hierfu¨r ist, dass der reine Kalku¨l oft nur bedingt zum Ziel fu¨hrt
oder große Umwege mit sich bringt, also Heuristiken gefragt sind, womit ein
weites Feld fu¨r individuelle Vorgehensweisen besteht. An dieser Stelle ist die
Arbeit von Christian Ru¨ede zu verorten: Sie geht der Frage nach, wie ma-
thematisch unterschiedlich erfahrene Personen derartige L¨osungsprozesse in
Angriff nehmen. W¨ahrend bisherige empirische Studien zum Umformen von
Termen und L¨osen von Gleichungen u¨berwiegend Fehlermuster in den Blick
nehmen, setzt die vorliegende Arbeit schon einen Schritt fru¨her an: Beim
StrukturiereneinesmathematischenAusdrucks,dasalsProzessindividuellen
DenkensundHandelnsdervermeintlichobjektivenmathematischenStruktur
gegenu¨bergestellt wird und die individuelle Auseinandersetzung einzelner
Personen mit Termen und Gleichungen kennzeichnet. Zwei empirische Unter-
suchungen und gelungene Beispiele fu¨r den Transfer in die Unterrichtspraxis
belegendieFruchtbarkeitdiesesAnsatzes.Dersemiotisch-pragmatischeTheo-
riehintergrund bietet dabei einen klaren Rahmen; gleichzeitig knu¨pft die
Arbeit an die Tradition der qualitativen mathematikdidaktischen Forschung
an.
Obwohl der Ansatz der Arbeit, das Strukturieren als individuellen Prozess
zu betrachten, durchaus origin¨ar ist, erweist sie sich innerhalb der Didaktik
der Algebra als absolut anschlussf¨ahig, weil sie keine isolierte Inseltheorie“
”
kreiert, sondern die Theorieentwicklung stets in Bezug auf schon bestehen-
de Ans¨atze erfolgt. Sie wird umfassend in die bestehende internationale
Forschungslandschaft zur Didaktik der Algebra eingebettet und mit dieser
vernetzt. Implizit leistet die Arbeit damit einen wesentlichen Beitrag zur
Ordnung dieses weiten Feldes, selbst wenn das nicht ihr urspru¨ngliches Ziel
war.
VI Geleitwort
Es bleibt deshalb zu hoffen, dass die Arbeit in der Didaktik der Algebra
intensiv rezipiert wird, so dass sie einen Beitrag zu deren Weiterentwicklung
leisten kann.
Freiburg im Breisgau, im Oktober 2014
Timo Leuders und Gerald Wittmann
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Problemstellung und U¨berblick . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Ziel der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Aufbau der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Mathematischer Gegenstand der Arbeit . . . . . . . . 4
1.2 Theoretische Sichtweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Assoziationismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Gestaltpsychologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Prozess-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Die Struktur eines algebraischen Ausdrucks . . . . . . 15
1.2.5 Struktur- und Symbolblick . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.6 Semiotische Ans¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.7 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Entwicklung der Theorie 31
2.1 Regeln und ihre Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Ein algebraischer Kalku¨l . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2 Implizite Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3 Soziale Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Strukturieren und Strukturierungen . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 Definition einer Strukturierung . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Beobachtbarkeit des Strukturierens . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 Interne und externe Repr¨asentationen . . . . . . . . . 41
2.3 Die Bedeutung einer Strukturierung . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Externe und interne Semantik. . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.2 Pragmatisches Bedeutungskonzept . . . . . . . . . . . 45
2.3.3 Personale und institutionale Bedeutung . . . . . . . . 46
2.4 Ein Auswertungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4.1 Anwendbarkeits- und Abschlussbedingungen . . . . . 48
2.4.2 Das Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5 Terme als Prozesse, Verfahren und Objekte . . . . . . . . . . 51
2.5.1 Einen Term als Prozess behandeln . . . . . . . . . . . 52
VIII Inhaltsverzeichnis
2.5.2 Einen Term als Verfahren behandeln . . . . . . . . . . 53
2.5.3 Einen Term als Objekt behandeln . . . . . . . . . . . 54
2.5.4 Vom-Prozes-zum-Objekt-Ans¨atze . . . . . . . . . . . . 57
2.5.5 Alternative Ans¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.5.6 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 Zusammenfassung der Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Methode der empirischen Studien 67
3.1 Wahl der Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.1 Rahmenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.2 Eigene fru¨here Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Operationalisierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 Design der Interviews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.1 Probanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.2 Form der Interviews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.3 Methodisch-technische Aspekte der Interviews . . . . 75
3.3.4 Leitfaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Erste Studie: Bruchterme und Bruchtermgleichungen 83
4.1 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1 Kategorie 1: Optisch einfacher machen . . . . . . . . . 86
4.2.2 Kategorie 2: A¨ndern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.2.3 Kategorie 3: Umstrukturieren . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.4 Kategorie 4: Klassifizierungen erforschen . . . . . . . . 91
4.2.5 Umschreibung der Kategorien . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.6 Strukturierungen, die sich an Verfahren orientieren . . 97
4.2.7 Die Vielfalt der Experten-Strukturierungen . . . . . . 99
4.2.8 Vergleich: Novizen und Experten . . . . . . . . . . . . 103
4.3 Zusammenfassung der Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5 Zweite Studie: Lineare Gleichungen 107
5.1 Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.1 Kategorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.2 Ankerbeispiele: Kategorie 1 . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.3 Ankerbeispiele: Kategorie 2 . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.4 Ankerbeispiele: Kategorie 3 . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.5 Ankerbeispiele: Kategorie 4 . . . . . . . . . . . . . . . 119
Inhaltsverzeichnis IX
5.2.6 Strukturierungen nach Aufforderung zu Alternativen . 121
5.2.7 Erg¨anzungen bei den Kategorien . . . . . . . . . . . . 124
5.3 Zusammenfassung der Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6 Weiterentwicklung der Theorie 129
6.1 Zusammenfassung der bisherigen Theorie und Empirie . . . . 129
6.1.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.1.2 Empirie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.2 Die Kategorien im Vergleich mit anderen Studien . . . . . . . 133
6.2.1 Kategorie 1: Den Ausdruck optisch einfacher machen . 134
6.2.2 Kategorie 2: Den Ausdruck ¨andern . . . . . . . . . . . 136
6.2.3 Kategorie 3: Den Ausdruck umstrukturieren . . . . . . 138
6.2.4 Kategorie 4: Klassifizierungen des Ausdrucks erforschen139
6.3 Ein vierstufiges Modell des Strukturierens . . . . . . . . . . . 140
6.3.1 Implizites Wissen und Wahrnehmung . . . . . . . . . 140
6.3.2 Wiedererkennen als U¨bersetzen zwischen Strukturie-
rungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3.3 Das implizite Wissen des Strukturierens . . . . . . . . 148
6.3.4 Vier Stufen des Strukturierens . . . . . . . . . . . . . 151
6.3.5 Eine Theorie fu¨r die Entwicklung des Strukturierens . 159
6.4 Zusammenfassung der Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7 Zur F¨orderung des Strukturierens 167
7.1 Erstes Aufgabenformat: Mehrfaches Umformen . . . . . . . . 167
7.2 Zweites Aufgabenformat: Relationales Denken . . . . . . . . . 169
7.3 Die Aufgabenformate als Gespr¨achsanlass . . . . . . . . . . . 171
7.3.1 Strukturierungen sichtbar machen . . . . . . . . . . . 172
7.3.2 Weg vom Schema F, hin zur Exploration . . . . . . . 178
7.4 Zusammenfassung der Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8 Diskussion 185
8.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.1 Theoretische Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.2 Empirische Resultate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.2 Vergleich mit anderen Studien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.2.1 Der semiotisch-pragmatische Ansatz . . . . . . . . . . 188
8.2.2 Die Individualit¨at des Strukturierens . . . . . . . . . . 192
8.2.3 Ein Modell zur Entwicklung des Strukturierens . . . . 193
8.2.4 F¨orderungdesStrukturierensdurchmultipleL¨osungs-
wege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195