Structures métriques pour les variétés riemanniennes

156 Pages·1981·6.473 MB·French

by  Gromov, Mikhael

Préface
Ces notes rendent compte d'un cours qui a eu lieu à l'Université de Paris
VII durant le dernier trimestre de 1979. Mon propos était d'exposer quelques-
uns des liens qui ont été découverts entre la courbure d'une variété rieman-
nienne V et son comportement global. Ici, le mot "global" ne s'applique pas
seulement à la topologie de V, mais aussi à une famille d'invariants métriques
des variétés riemanniennes et des applications entre ces variétés. Les invariants
métriques les plus simples de V sont, par exemple, son volume et son diamètre ;
un invariant important pour une application de V! dans V est sa dilatation. En
2
fait, de tels invariants métriques apparaissent aussi dans un contexte purement
topologique, et ils fournissent un lien important entre des données infinitésima
les sur V (qui s'expriment en général par une hypothèse sur la courbure), et la
topologie de V.
Par exemple, le théorème de Bonnet, aujourd'hui classique, donne une
majoration du diamètre d'une variété V à courbure positive, dont on peut
déduire la finitude du groupe fondamental de V.
Pour une étude topologique plus approfondie des variétés riemanniennes,
il faut des invariants métriques plus perfectionnés que le diamètre ou le volume ;
j'ai tenté de présenter un traitement systématique de ces invariants, mais mon
exposé est loin d'être aussi exhaustif que je ne l'espérais.
MM. J. Lafontaine et P. Pansu ont mené à bien la tâche presque insur
montable de transformer en un texte mathématique rigoureux le chaos de mes
cours parsemés d'énoncés imprécis et de démonstrations incomplètes ; je les en
remercie, ainsi que Monsieur Berger sans l'assistance et les encouragements de
qui cet ouvrage n'aurait jamais vu le jour. Je remercie aussi les Editions Cedic
pour la liberté qu'elles ont accordée aux auteurs au moment des corrections.
Mikhael Gromov
Paris, juin 1980
SOMMAIRE
CHAPITRE 1 : STRUCTURES DE LONGUEUR,
ESPACES DE LONGUEUR 1
A. Structures de longueur 1
B. Espaces de longueur 4
C. Exemples d'espace de longueur 7
D. Isométries par arcs 9
CHAPITRE2 : DEGRE ET DILATATION 11
A. Rappels : degré des applications entre variétés orientées 11
B. Dilatation dans les sphères canoniques, propriétés élémentaires ... 12
C. Quelques résultats généraux 16
D. Dilatation des applications à valeurs dans une sphère 18
CHAPITRE 3 : STRUCTURES METRIQUES 35
A. Distance de Lipschitz 35
B. Distance de Hausdorff 35
C. Premiers exemples de convergence au sens de Hausdorff 38
D. Cas non compact, distances pointées 39
E. Distance de Hausdorff-Lipschitz 42
CHAPITRE 4 : LOEWNER RETROUVE 47
A. D'abord un peu d'histoire (dimension 2) 47
B. Ensuite, formulation de quelques problèmes en dimension >3 . . . . 48
C. Enfin des théorèmes 50
D. Utilisation de la théorie géométrique de l'intégration 59
CHAPITRE 5 : VARIETES A COURBURE DE RICCI MINOREE 63
A. Précompacité 63
B. Croissance du groupe fondamental 68
C. Premier nombre de Betti 72
D. Petits lacets 75
CHAPITRE 6 : INEGALITES ISOPERIMETRIQUES
ET MOYENNABILITE 83
A. Applications quasirégulières 83
B. Dimension isopérimétrique d'une variété 83
C. Calculs de dimension isopérimétrique 88
D. Généralisations 94
CHAPITRE 7 : THEORIE DE MORSE,
THEORIE DES MODELES MINIMAUX 101
A. Application de la théorie de Morse à l'espace des lacets
d'une variété riemannienne 101
B. Dilatation des applications d'une variété dans une variété
simplement connexe 105
CHAPITRE 8 : PINCEMENT DE LA COURBURE
SECTIONNELLE 109
A. Pourquoi pincer la courbure sectionnelle ? 109
B. Conséquences métriques du pincement 110
C- Limites de variétés pincées 125
D. Groupes nilpotents 137
APPENDICE : PARTIES "QUASICONVEXES" DE R* 143
BIBLIOGRAPHIE GENERALE 148
INDEX 151

Chapitre I
S T R U C T U R ES DE L O N G U E UR :
E S P A C ES DE L O N G U E UR
INTRODUCTION
En géométrie riemannienne, du point de vue classique, on part d'une
variété C°° X, et on étudie les sections g définies positives et C°° du fibre
S2T*X. Mais pour l'introduction des notions fondamentales de dérivée cova-
riante et de courbure (cf. [GKM] ou [M], ch. 2), on utilise la différentiabilité de
g et non sa positivité, comme en témoigne la géométrie lorentzienne en relati
vité générale.
Par contre, l'introduction des notions de longueur des courbes de (X,g) et
de distance géodésique associées à g (cf. mêmes références) utilise uniquement
le fait que g donne naissance à une famille continue de normes sur les espaces
T X. Nous allons étudier pour elles-mêmes ces notions de longueur et de dis
X
tance associée.
A. STRUCTURES DE LONGUEUR
1.1. Définition : Etant donnés deux espaces métriques X et Y et une application
f de X dans Y, on appelle dilatation de f le nombre (éventuellement infini)
dilf = d(fW.ffe))
sup
x,x<EX;x*x d(X!,X )
l z l 2 2
On appelle dilatation locale de f en x le nombre
dil f = lim dil(f| (x,6))
x B
s-o
On dit que f est courte si dif f < 1 .
Si f est une application lipschitzienne d'un intervalle [a,b] dans X, la
fonction t — dilf est mesurable et bornée.
t
1.2. Définition : On appelle longueur d'une telle application le nombre
f(f) = / b dilf dt
t
Si maintenant f est seulement continue, on peut définir f(f) comme la borne
n
supérieure des sommes D d(f(ti),f(ti + ])) pour toutes les subdivisions
i = 0
a = t <ti ... <t = b de [a,b].
0 n+!
1
Si <p est un homéomorphisme d'un intervalle fermé F sur I=[a,b], on a
î{îo<p) = î{ï) , du fait que <p est strictement monotone (invariance par change
ment de paramètre).
Les deux définitions sont équivalentes quand f est absolument continue
(cf. [Ri], p. 106). Cela nous autorise à définir ?(f) comme l'intégrale de la dilata
tion quand f est Lipschitzienne, puis à poser £(fo<p) = i(f) pour tout homéo
morphisme <p de 1' sur I. Plus généralement
1.3. Définition : On appelle structure de longueur sur un ensemble X la donnée
pour tout intervalle fermé borné I d'une famille C (I) d'applications de I dans X
et d'une application $ de C = U C (I) dans R satisfaisant aux propriétés suivantes :
a) Positivité : on at(£)>Q pour toute ïdeÇ,,et2{ï) = 0 si et seulement si f
est constante (on suppose bien sûr que les fonctions constantes sont dans C ) ;
b) Restriction, juxtaposition : si I c J, la restriction aide tout élément de
C(l)estdanse(ï);si fG e([a,b])ef g€ C([b,c]), et si f(b)^g(b), lafonction
h obtenue en juxtaposant f et g est dans ([a,c]), et i>(h) = i(f) + l(g) ;
c) Invariance par changement de paramètre : si <p est un homéomorphisme
de I sur J et si f£ C(J), alors' fo^e C(I) et ë(î) = l(fo<p) ;
d) Continuité : pour tout I = [a,b], l'application t-*£(f | [ ]) est continue.
a?t
Grâce à a), b) et c), on définit sur X une pseudo-distance d?, dite distance
de longueur, en posant
d(x,y) = inf tf(f), f£ C avec f(x) = x et f(b) = y}
f
et une topologie associée à cette distance.
Il pourra être commode de poser ^f)= + oo quand f:I—X n'est pas dans
C(I).
1.4. Exemples
a) Un espace métrique (X,d) a une structure de longueur canonique : on
prend pour C toutes les applications continues d'intervalles dans X, et pour 1
la longueur définie en 1.2. On appelle / structure de longueur métrique de
(X,d). Mais il n'y a en général aucune raison pour que d = d , et les topologies
£
définies par d et df peuvent même être distinctes, cf. b).
b) Si (X,d) est un cônes/appuyant sur la courbe de von Koch muni de la
métrique induite par celle de R3, seules les courbes portées par les génératrices
ont une longueur finie ; la topologie de (X,d) est strictement moins fine que
celle de (X,d^) (cf. [Ri] p. 117). D'ailleurs, comme on a toujours d<d^, les
2
deux métriques donnent la même topologie si et seulement si pour tout x de X
et pour tout S >0, il existe un d-voisinage U(x) dont tout point est relié à x par
une courbe de longueur inférieure à 8.
c) Si X est une variété, toute structure riemannienne ou finslerienne sur X
définit naturellement une structure de longueur : on procède comme dans 1.2.
en remarquant que quand f est différentiable la dilatation locale est la norme
de la dérivée.
d) Structure de longueur induite : Si X est
muni d'une structure de longueur et si <p est une
application d'un ensemble Y dans X, on obtient
une structure de longueur sur Y en posant, pour
toute f : I — Y ,
Mf) = M^of)
e) A tout sous-fibré E du fibre tangent à
d'une variété riemannienne (V,g) on associe une
structure de longueur : la longueur d'une
courbe c sera sa longueur riemannienne si c
est absolument continue et si son vecteur tangent
est presque toujours dans E, et sinon elle sera infinie. Si E est intégrable, la
topologie définie par d^ n'est autre que la topologie feuilletée. Le cas non inté
grable présente un grand intérêt.
Un exemple typique est celui du groupe de Heisenberg H3 des matrices de
/l X \
2
la forme 0 1 y , muni d'une métrique invariante à gauche. Si C est son
\0 0 1/
centre (isomorphe à R), on a une fibration riemannienne (cf. [B-G-MJ, ch. 1) de
H3 sur H3/C = R2 euclidien, et on prend pour E le fibre horizontal (i.e. normal
aux fibres) de cette fibration.
1.5. Si X est muni d'une structure de longueur t, soit Ha structure de longueur
définie à partir de la métrique dg. Le critère suivant, qui n'est qu'une version
axiomatique de propriétés classiques de la longueur des courbes d'un espace
métrique, permet de retomber sur ses pieds.
1.6. Proposition : Si pour tout intervalle I la fonction t est semi-continue infé-
rieurement sur C (I) muni de la topologie compacte-ouverte, alors i=L
Preuve. D'après 3. d), £(f|[,t]) est uniformément continue sur I = [a,b].
a
Pour tout 8 >0, il existe un r\ >0 tel que si |t-t' | <rj on a dKf(t),f(t'))<8 .
Soit a = t <t ...<t i=b une subdivision de I de pas inférieur à y. II
0 1 n +
existe pour tout i entre 0 et n une fonction g; de C ([t^tj + i]), prenant les
mêmes valeurs que f aux extrémités, et telle que
«Cgi) < dKf(tj),f(ti+i)) + e/n
3
En juxtaposant les gj , on obtient une courbe hg telle que
*(h ) = è i(g-) < E d(f(ti),f(ti+i)) + S < W + S
6 f
i=0 i=0
et que pour tout t de I on ait df (h (t),f(t)) < 3£ .
£
D'après l'hypothèse de semi-continuité, on a
£(f) < lim inf f(h ) < T(f) ,
E
et l'inégalité opposée est une conséquence immédiate de la définition de S .
Remarque. Si t est la structure de longueur métrique associée à une distance
d , le même argument montre que i-T en utilisant la semi-continuité de la
t
longueur par rapport à d (cf. 1.2. et [Cq], p. 137). Autrement dit, en poursui
vant la suite de constructions
(X,d) espace structure de O^Aè nouvelle métrique
métrique * longueur métrique —• associée à la
sur X structure de longueur
on retrouve la même structure de longueur. Nous insistons encore par contre
sur le fait qu'en général d^ d^.
B. ESPACES DE LONGUEUR
1.7. Définition : Un espace métrique (X,d) est un espace de longueur si la dis
tance de deux points quelconques est toujours égale à la borne inférieure des
longueurs des courbes qui les joignent {autrement dit si d = d$ . -;
Exemples : Pour la métrique induite par la métrique euclidienne, R2 moins un
point est un espace de longueur, mais R2 moins un segment ne l'est pas.
La sphère Sn n'est pas un espace de longueur pour la métrique induite par
celle de Rn +1 , mais en est un pour la métrique géodésique d'après la proposi
tion 1.6.
Les espaces de longueur ont une caractérisation métrique particulièrement
simple.
1.8. Théorème : Pour un espace métrique (X,d), les propriétés suivantes sont
équivalentes.
i) Quels que soient x et y dans X et £>0 , il existe un z tel que
sup(d(x,z),d(y,z» < 1/2 d(x,y) + £ .
4
ii) Quels que soient x et y dans X , et r e? r strictement positifs tels
t 2
que rj + r < d(x,y) , on a
2
d(B(x, ), B(y,r )) < d(x,y) - t- t .
ri 2 t 9
Tout espace de longueur satisfait à ces propriétés.
Inversement, si (X,d) est complet et satisfait à l'une d'elles, c'est un espace de
longueur.
Démonstration
Soit (X,d) un espace métrique complet satisfaisant à la condition i). Une
suite (8^) de nombres positifs étant donnée, on a un point z tel que
1/2
sup(d(x,z ),d(y,z ) < <5/2 + S ô/2 , puis des points z et z tels que les
1/2 1/2 1 1/4 3/4
distances d(x,z ), d(z ,z ), d(z ,z ) et d(z ,y) soient toutes inférieures à
1/4 1/4 1/2 1/2 3/4 3/4
1/2 (S/2 + S! S/2) + S (5/2 + 8 Ô/2) , etc.
2 t
Si la suite (8 k) est choisie telle que £ 8k < + °° , on construit ainsi une
application f des rationnels dyadiques de [0,1] dans X telle que
d(f(p/2n), f(p + l/2n)) < l/2n fi (l+£ ) .
k
k = i
Si (X,d) est complet, cette application se prolonge à [0,1] tout entier ; le produit
11(1 + Sk) pouvant être choisi arbitrairement proche de 1, on construit ainsi des
courbes de longueur arbitrairement proche de ô = d(x,y) , ce qui prouve la der
nière partie. Que i)=>ii) se voit de la même façon, en utilisant les "courbes
dyadiques" construites ci-dessus. Que ii)=*i) et qu'un espace de longueur
satisfait aux propriétés i) et ii) est trivial. •
Les espaces de longueur jouissent d'un certain nombre des propriétés géo
métriques des espaces riemanniens.
1.8bis. Propriété : Si (X,d) est un espace de longueur, et si f est une applica
tion de X dans un espace métrique Y, alors sa dilatation est la borne supérieure
de sa dilatation locale, i.e., dil f= sup dil f. Noter que, si X et Y sont des
x
x6X
variétés riemanniennes, si f est différentiable en x et df(x) est sa différen
tielle : T X—Tf( )Y, alors dil f= |df(x)|| .
X x x
1.9. Définition : On appelle géodésique minimisante d'un espace de longueur
(X, d) toute courbe f : I — X telle que d(f(t),f(t ')) = \ t -1' \, quels que soient t
et t' dans I; géodésique toute courbe f: I — Xdont la restriction à tout inter
valle assez petit est une géodésique minimisante.
On a alors un théorème analogue au théorème de Hopf-Rinow (cf. [Ml]
p. 62).
1.10. Théorème : Si (X,d) est un espace de longueur complet et localement
compact, alors
i) les boules fermées sont compactes, ou, ce qui revient au même, toute
partie fermée bornée est compacte.
ii) on peut toujours joindre deux points arbitraires par une géodésique
minimisante.
Avant de démontrer ce théorème, remarquons que si (X,d) est un espace
métrique complet localement compact et non compact, il y a beaucoup de bou
les fermées non compactes pour la métrique d' = inf(l, d) .
1.11. Compacité des boules fermées
Remarquons d'abord que si a est dans X , la boule fermée B(a,r) est
par hypothèse compacte si r est assez petit. Nous allons d'abord montrer que
si B(a,r) est compacte pour tout r d'un intervalle [0, p[, alors B(a,p) est elle
aussi compacte.
Soit (x ) une suite de points de cette boule. On peut supposer que d(a,x )
n n
tend vers p : dans le cas contraire, il existe une boule B(a,r), où r < p, contenant
une infinité de x , d'où une valeur d'adhérence. Soit (8 ) une suite de réels
n p
positifs tendant vers zéro. En appliquant la propriété ii) du théorème 1.8., on
voit que pour tout p il existe un entier n(p) tel que pour tout n supérieur à
n(p) on ait un point yg tel que
yg G B(a, p - 2 £ ) et d(x , yg) < S
p n p
Pour chaque p , la suite (yg) vit dans un compact : par le procédé diagonal ou
parce que tout produit de compacts est compact, il existe une suite d'entiers (n )
k
telle que la sous-suite (yg ) converge pour tout p . La suite (x ), qui est limite
n
uniforme des suites (yg ), est une suite de Cauchy, convergente puisque (X,d)
est complet.
D'après ce qui précède, la borne supérieure des r tels que B(a,r) soit com
pacte est infinie : si elle était égale à p. < + <x> , on pourrait trouver un p' > p
tel que B(a,p') soit compacte, en utilisant un recouvrement fini de la sphère
S(a,p) par des boules compactes.
1.12. Existence d'une géodésique minimisante joignant deux points arbitraires
On étudie d'abord le cas où X est compact,
Lemme : Si (X,d) est un espace de longueur compact, et si a et b sont deux
points de X, il existe une courbe de longueur d(a,b) joignant a et b .
Preuve. Il suffit de considérer des courbes f : [0,1] — X telles que le paramé
trage soit proportionnel à la longueur. D'après la définition 1.7. des espaces de
longueur, il existe pour tout entier n une telle courbe f .joignant a et b , et
n
de longueur inférieure à d(a,b) + 1/n . L'ensemble des f est alors équicon-
n
tinu, et d'après le théorème d'Ascoli, il existe une sous-suite f uniformément
nnk
convergente. Si f est la courbe limite, la longueur étant semi-continue inférieu-
rement on a
£(f) < lim inf t(î„ ) = d(a,b) .
"k
Dans le cas d'un espace de longueur complet et localement compact, mais
non compact, il suffit de remarquer que les courbes f qui interviennent
n
ci-dessus ont leur image contenue dans la boule compacte B(a, 2d(a,b)) .
6