Structures mathématiques du langage

27 Pages·2013·0.23 MB·French

Structures mathématiques du langage
AlainLecomte
UniversitéParis8-Vincennes-Saint-Denis
MasterLFT
1 Du calcul de Lambek aux catégories
La théorie des catégories a été inventée 1 ([MacLane1971]) pour apporter un nouveau type de fon-
dement aux mathématiques, qui soit plus général que ne l’est la théorie des ensembles. La théorie des
ensemblesestbaséesurlarelationd’appartenance(∈)entreélémentsetentitésappeléesensembles.La
notiond’ensembleapparaîttrèsnaturelle.Cependant,vued’unemanièretropintuitive,elleconduitàdes
antinomiesfatales(dontcelledeRussell(1902),fameuse,del’ensembledesensemblesquines’appar-
tiennent pas à eux-mêmes). Pour les éviter, il a fallu formuler une théorie axiomatique dont la version
laplusconnueetlaplusutiliséeestdueàZermelo-Fraenkel(onparledethéorieZF),quiaxiomatisela
relation d’appartenance. On peut toutefois avoir envie de se débarrasser de cette relation, comme de la
notiond’élément,defaçonàobtenirunethéoriedontlesobjetssecomporteraienttoutàfaitcommedes
ensembles,mêmes’ilsnesontpasdéfinisàpartird’éléments.Onobtientalors2 untypetrèsgénéralde
structure abstraite que l’on appelle un topos et comme ce type de structure est beaucoup plus général
que la structure ensembliste, on gagne en abstraction et en puissance fondatrice. Pour formuler ce que
l’on entend par un topos, il faut d’abord toutefois passer par la théorie des catégories, qui donne, avant
d’atteindrelestopos,destypesdestructuresassociésàdesthéoriesplussimplesquecelledesensembles,
commelesontlesdiverseslogiquespropositionnelles(classiqueetintuitionnistenotamment).Ilestinté-
ressantderegardersilesgrammaires,enparticuliercatégorielles,trouventleurplacedanscettegamme
destructures.
Onnoteraparailleursque,lescatégoriessesituantàunniveaud’abstractionplusélevéquelesensembles
etquelesdifférentesstructuresalgébriquesquel’onpeutdéfiniràpartird’eux(monoïdes,groupes,an-
neaux, corps, ensembles partiellement ordonnés etc.), il deviendra possible grâce à elles d’exprimer de
façongénéralelesgenresdeconstructionsauxquellesonprocèderégulièrementpourtoutescesstructures
(construireunesous-structure,unproduit,unesommeetc.).On“factorise”enquelquesorteletravailen
définissantdesnotionsdeproduit,desomme,delimiteetc.quisontensuiteapplicablesàchacunedeces
structures.Onpeutmêmeenvisagerdesconstructionsnouvelles.
[Lambek(1988)] établit le rapport entre les catégories au sens des grammaires dites “catégorielles” et
lescatégoriesausensdelathéoriedescatégories.Onpourraitdireentreunelogiquecatégorialeetune
logique catégorique. Il faut pour cela opérer juste un léger changement de point de vue sur les déri-
vations syntaxiques. Au lieu de se baser sur les types (formules) et de dire qu’il existe une relation de
déductionentrelestypescommevuinitialementdanslechapitresurlecalculdeLambekd’origine,on
considèrechaquerelationdedéductioncommeuneflèche,c’est-à-direentermescatégoriquescommeun
morphisme.Lestypesouformulesfontalorsfigured’objets.Maisavantd’envenirlà,ilfautvoirquelques
1Avraidire,silathéoriedescatégoriesaétéinventéeparEilenbergetMcLaneen1945,c’estLawverequi,en1964,aperçu
qu’ellepouvaitservirdefondementauxmathématiques.
2AlasuitedestravauxdeA.Grothendieck,souventprésentécommeleplusgrandmathématicienduXXèmesiècle.
1
notionsdelathéoriedescatégories.
2 Introduction à la théorie des catégories
2.1 Notionsdebase
2.1.1 Catégoriesetfoncteurs
Pourintroduirelanotiondecatégorie,noussommesplusoumoinsobligésdenousappuyersurcelle
d’ensemble, même si par la suite, la théorie des catégories est utilisée comme fondation, y compris de
la théorie des ensembles. Donc, au début, nous prenons comme exemples des ensembles, pouvant être
munis d’une structure (monoïde, groupe, anneau, corps, espace vectoriel etc.). Nous savons que, dans
touscescas,sedétache,outrelanotiondestructure,celled’homomorphisme.Parexemple,si(G,(cid:63))et
(G(cid:48),•)sontdesgroupes,unhomorphismedegroupeserauneapplicationf deGversG(cid:48)telleque:
– f(e )=e(cid:48) (e étantl’élementneutredugroupeX)
G G X
– f(x(cid:63)x(cid:48))=f(x)•f(x(cid:48))
f seraunisomorphismes’ilexisteunhomorphismef(cid:48)deG(cid:48)versGtelque:
f ◦f(cid:48) =I et f(cid:48)◦f =I
G G(cid:48)
oùI estl’identitédeX (quiestbiensûrunisomorphisme).
X
De façon générale, une catégorie est une collection d’objets et de morphismes, un morphisme étant en
général représenté par une flèche et un objet par un sommet, ce qui fait qu’en première approximation,
unecatégorien’estriend’autrequ’ungraphe.Simplement,parmilesflèches,ildoitnécessairementyen
avoir une particulière pour chaque objet A, qu’on appelle la flèche identité 1 : A → A. Les flèches
A
peuventd’autrepartsecomposer,cequifaitquepourtoutcoupleforméd’uneflèchef :A→Betd’une
flècheg :B →C,ilexisteuneflèchegf :A→C.Toutceladetellesorteque:
– pourtousAetBetpourtoutf :A→B:f1 =f =1 f
A B
– pourtoutesf :A→B,g :B →C eth:C →D:(hg)f =h(gf)
Atitred’exemplesdecatégories:
• lacatégorieEns,dontlesobjetssontlesensemblesetlesflècheslesapplicationsentreensembles,
• la catégorie Mon, dont les objets sont les monoïdes et les flèches les homomorphismes de mo-
noïdes,
• la catégorie PreOrd, dont les objets sont les ensembles pré-ordonnés et dont les flèches sont les
applicationsmonotones
Onpeutaussinoterquecertainsensemblesbienconnussonteux-mêmesdesmini-catégories:
• unsimpleensembleAestunecatégorie:sesobjetssontsesélémentsetlesseulesflèchessontles
"boucles"1 pourtouta∈A,
a
• unmonoïdeestunecatégorie:elleaunseulobjetetlesflèchessontlesélémentsdumonoïde.La
flècheidentitéestl’élémentneutreetl’opérationdecompositionestlacompositiondesflèches3,
• un ensemble pré-ordonné est une catégorie : les objets sont ses éléments et les flèches sont les
couples(a,b)telsquea(cid:22)b
Parmilescatégories,onpeutsituerCat,dontlesobjetssontjustement...lescatégories(!).Lesflèchesde
cettecatégorieunpeuspécialesontlesfoncteurs.
Définition1 UnfoncteurF :A→Bestunmorphismedegraphes,c’est-à-direuneapplicationdéfinie
surlesobjetsetlesmorphismesdeAdesortequepourtouteflèchef :A→B,onait:F(f):F(A)→
F(B),avec:
3SoitparexempleunmonoïdelibresurA,àchaquelettreacorresponduneflèchea : • → •,•étantleseulobjetdela
catégorie.Unmotestalorslacompositiondesflèchesassociéesauxlettresquilecomposent.
2
– F(1 )=1
A F(A)
– F(gf)=F(g)F(f)
Denombreuxobjetsmathématiquespeuventêtrevuscommedesfoncteurs.Parexempleonpeutdéfinir
ListcommeunfoncteurdeEnsdansEns.AchaqueensembleS(doncchaqueobjetdeEns),Listassocie
unautreensemble:List(S)quis’interprètecommel’ensembledeslistesd’élémentsdeS.Maintenant,
àchaqueapplicationf : S → S(cid:48) (morphisme),List associeList(f) : List(S) → List(S(cid:48))quiassocie
àtoutelisted’élémentsdeS lalisted’élémentsdeS(cid:48)quiest:[f(s ),f(s ),...,f(s )].Dansunlangage
1 2 n
commeLISP,List(f)estnotémaplist(f).
Onpeut,deplus,direquechaqueobjetList(S)estdotéd’uneconcaténationassociative“(cid:95)”,etd’une
listevide[](élémentneutrepour“(cid:95)”).C’estdoncunmonoïde,doncunobjetdelacatégorieMon.List
estdoncunfoncteurdeEnsdansMon.List(f)estunhomomorphismedemonoïdes,cequisetraduit
parlefaitque:
List(f)([]) = []
List(f)(L(cid:95)L ) = List(f)(L )(cid:95)List(f)(L )
1 2 1 2
pourassurerqueceséquationsdéfinissentbienmaplistdemanièreunique,onrajoute:
List(f)[s] = [f(s)]
2.1.2 Transformationsnaturelles
Définition2 EtantdonnésdeuxfoncteursFetGdeAdansB,unetransformationnaturelleτ deFdans
Gestunefamilledeflèchesτ(A) : F(A) → G(A)dansB,uneflèchepourchaqueobjetAdeA,telle
quelecarrésuivantcommutepourtouteflèchef :A→BdansA:
τ(A(cid:45))
F(A) G(A)
F(f) G(f)
(cid:63) (cid:63)
τ(B(cid:45))
F(B) G(B)
autrementdittelleque:
G(f)τ(A)=τ(B)F(f)
Quanddesobjetsmathématiquesusuelssontvuscommedescatégories,lesmorphismesentrecesobjets
sontjustementlestransformationsnaturelles.Parexemple,toutensemblepeutêtrevucommeunfoncteur
de {•} dans Ens, où {•} est la catégorie avec un seul objet et le morphisme identité, il s’agit, pour un
objet A de Ens, du foncteur F tel que F (•) = A et pour 1 : F (1) = 1 . Si f est une application
A A A A
A → B,f estaussilatransformationnaturelledeF dansF qui,étantdonnéleseulobjet•,esttelle
A B
quef :F (•)→F (•).
A B
D’autrepart,lanotiondetransformationnaturellenouspermetdefairedesconstructionsintéressantes.
Soit en effet deux catégories A et B, qu’est-ce que BA? Par analogie avec ce qui se passe pour des
ensembles, on a envie de dire qu’il s’agit de l’ensemble des "fonctions" de A dans B. Mais comme ce
que nous voulons obtenir, c’est une catégorie, il faut à la fois définir des objets et des flèches. Pour les
objets, il est évident qu’il s’agira des foncteurs de A dans B. Quant aux flèches, il faut que ce soit des
"applications"defoncteurssurd’autres,doncils’agitdestransformationsnaturellesentrefoncteurs.
UnisomorphismeentrecatégoriesAetBestunfoncteurquipossèdeuninverse,autrementditunfoncteur
F deAdansBtelqu’ilexisteGdeBdansAavec:GF =1 etFG=1 .
A B
(lefoncteuridentité1 estlefoncteurquilaisselesobjetsetlesmorphismesinchangés).
A
Cesdéfinitionspermettentdedémontrerlesisomorphismessuivants:
3
– CA×B ∼=(CB)A
– (A×B)C ∼=AC ×BC
Nouspouvonsainsiutiliserdescatégoriesdefoncteurs.
Atitred’exemplesdefoncteursparticuliers,onpeutenvisagerlesfoncteursHom.
Définition3 SiAetBsontdeuxobjetsd’unecatégorieA,onnoteHom (A,B)laclassedetoutesles
A
flèchesA→B.Sic’estunensemble,pourchaqueAetB,alorslacatégorieAestditelocalementpetite.
Exemplesdefoncteurs:(NB:AopestlacatégorieAoùtouteslesflèchesontétéinversées)
Si A est une catégorie localement petite, alors il existe un foncteur Hom : Aop ×A →Ens. Pour une
flèche(g,h):(A,B)→(A(cid:48),B(cid:48))deAop×A,où:g :A(cid:48) →Aeth:B →B(cid:48)dansA,Hom(g,h)envoie
f ∈Hom(A,B)surhfg ∈Hom(A(cid:48),B(cid:48)).
A(cid:48) Hom(g,h)(f(cid:45)) B
(cid:54)
g h
(cid:63)
f (cid:45)
A B
On obtient aussi un foncteur Hom∗ : Aop →EnsA, ainsi qu’un foncteur Hom∗ : A →EnsAop. Par
op
exemple, pour ce dernier, si on reprend le diagramme précédent, Hom∗ est le foncteur tel que pour
Aop
toute h : B → B(cid:48) dans A, Hom∗ (h) est le foncteur de Aop dans Ens qui envoie la flèche g sur
Aop
l’ensembleHom(g,h).
Définition4 Unesous-catégorieC d’unecatégorieBestunecatégoriedontlesobjetsetlesflèchessont
contenusdansceuxdeB etquiestferméesouslesopérationsdesource,but,identitéetcomposition.C
estditepleinesipourtousobjetsC,C(cid:48)deC,Hom (C,C(cid:48))=Hom (C,C(cid:48))
C B
Pourdestransformationsnaturelles,onécritNat(F,G)aulieudeHom(F,G).Autrementdit,Nat(F,G)
estl’ensembledestransformationsnaturellesdeF versG(sic’estbienunensemble).
2.1.3 Limites
L’un des concepts centraux de la théorie des catégories est fourni par la notion de limite. Elle per-
metlaconstructiondenombreusessortesd’objets,danschaquecatégorie,quisonttoujoursdéfinisàun
isomorphismeprès.Unpremierexempleestfourniparlesobjetsditsterminaux.
Définition5 Unobjet1d’unecatégorieAestditêtreunobjetterminalsipourchaqueobjetAdeA,il
existeuneflècheunique(cid:13) :A→1.
A
Onvoitfacilementquelanotiond’objetterminalestdéfinieàunisomorphismeprès:eneffet,soit1’un
autreobjetterminal,alorscomme1et1’sontenparticulierdesobjets,d’aprèsladéfinition,ilexisteune
etuneseuleflèche((cid:13) )de1vers1’etuneetuneseuleflèche,((cid:13) ),de1’vers1.Lacompositionde
1 1(cid:48)
cesdeuxflèchesdonne:
(cid:13) ◦(cid:13) :1(cid:48) →1(cid:48) (cid:13) ◦(cid:13) :1→1
1 1(cid:48) 1(cid:48) 1
Comme la définition implique également l’unicité de toute flèche de 1 dans 1, comme de 1(cid:48) dans 1(cid:48), et
doncsonégalitéavec,respectivement,1 et1 ,onobtient:
1 1(cid:48)
(cid:13) ◦(cid:13) =1 (cid:13) ◦(cid:13) =1
1 1(cid:48) 1(cid:48) 1(cid:48) 1 1
d’oùl’isomorphisme.
Exemple:danslacatégorieEns,toutsingletonestterminal,etilssonttousisomorphesentreeux.Noter
4
qu’eneffet,ilexisteuneetuneseuleapplicationd’unensemblequelconqueversunsingleton{a}(l’ap-
plication constante qui associe a à chaque élément de l’ensemble de départ, si celui-ci n’est pas vide.
S’ilestvide,onsaitqu’ilexisteuneetuneseuleapplicationde∅dansn’importequelensemble,doncen
particulieraussidans{a}).
Définition6 Unobjet0d’unecatégorieAestditêtreunobjetinitialsipourchaqueobjetAdeA,il
existeuneflècheunique0→A.C’estbiensûrl’objetterminaldeAop.
Exemple:dansEns,∅estinitial.
Unélémentd’unensembleS (danslacatégorieEns)peutêtrevucommeuneflèche1 → S.Onappelle
unetelleflèche:uneconstantedeS.
Uneconstructiontrèsfréquente,pratiquéepourchaquestructurealgébrique(voiretopologique),estcelle
deproduit(detellesortequeleproduit-cartésien-dedeuxensemblessoitunensemble,leproduitde
deuxgroupessoitungroupe,celuidedeuxespacestopologiquessoitunespacetopologiqueetc.).Enfait,
ilyaunlienentrelesproduitsengénéraletlanotiond’objetterminal.
Définition7 UnproduitdedeuxobjetsAetB consisteenladonnéed’unobjetnotéA×B etdedeux
flèches,appeléesprojectionsπ : A×B → Aetπ : A×B → B,telsquepourtoutobjetC ettout
1 2
coupledeflèchesf :C →Aetg :C →B,ilexisteexactementuneflèche<f,g >:C →A×B telle
quelediagrammesuivantcommute.
C
f <f, g > g
(cid:27) (cid:63)
(cid:45)
(cid:27) (cid:45)
A A×B B
π π
1 2
EtantdonnésAetB deuxobjetsd’unecatégorieA,considéronslacatégoriedespairesdeflèches<f :
C → A,g : C → B >,ladéfinitionprécédentefaitqueleproduit,donnéparlapaire< π : A×B →
A,π(cid:48) :A×B →B >estterminaldanscettecatégorie.
Pardualité(cf.larelationexistanteentreobjetterminaletobjetinitial),onpassedelanotiondeproduit
àcelledeco-produit.Onobtient:
Définition8 Un coproduit de deux objets A et B consiste en la donnée d’un objet noté A+B et de
deuxflèches,appeléesinjectionsι :A→A+B etι :B →A+B,telsquepourtoutobjetC ettout
1 2
coupledeflèchesf :A→C etg :B →C,ilexisteexactementuneflèche[f,g]:A+B →C telleque
lediagrammesuivantcommute.
(cid:45) (cid:27)
A A+B B
ι ι
1 2
[f, g]
f g
(cid:63)(cid:27)
(cid:45)
C
Exemple:
– dansEns,lecoproduitcorrespondàlasommedisjointe.
LasommedisjointeA⊕Besteneffetmuniededeuxapplications,lesinjectionscanoniques:
ι :A→A⊕B ι :B →A⊕B
1 2
5
etilestvraiquepourtoutcoupledeflèchesf :A→C,g :B →C,onpeutdéfinir[f,g]deA⊕Bdans
C demanièreque[f,g]ι =f et[f,g]ι =g,ilsuffitdeprendrelafonctiondéfiniepar:
1 2
∀x∈A⊕B,[f,g](x) = f(x)six∈A
= g(x)six∈B
Cettefonctionestparfaitementdéfiniepuisqu’iln’yapasd’élémentcommunauxdeuxmembresd’une
sommedisjointe.
Définition9 Uneflèchee:X →Aestditeêtreunégaliseurdedeuxflèchesf :A→B etg :A→B
si:
1. fe=ge
2. pourtouteflèchee(cid:48) : X(cid:48) → Atellequefe(cid:48) = ge(cid:48),ilexisteuneuniqueflèchek : X → X(cid:48) telle
queek =e(cid:48)
X e (cid:45) A f (cid:45)(cid:45) B
(cid:45)
(cid:54) g
e(cid:48)
k
X(cid:48)
Exemple:
– dansEns,étantdonnésdeuxapplicationsf etg deAdansB,soitX lesous-ensembledeAoùf
etgsontégales.Lafonctiond’inclusione:X →Aestunégaliseur.
Laconstructionduale(deco-égaliseur)fournitl’équivalentdelanotionderelationd’équivalence.
Ondéfinitégalement,defaçongénérale,lanotiondelimiteetonmontrequelesnotionsdeproduitetde
co-produitseramènentàelle.
Définition10 SoitAunecatégorie,etDundiagrammequelconquesurA,dontlesobjetssontnotésD .
i
uncônepourDestunobjetX deAetunefamilledeflèchesf :X →D telsquelediagrammesuivant
i i
commute,pourtousietj.
X
fi f
j
(cid:27)
(cid:45)
(cid:45)
D D
i j
g
Définition11 Uncôneestunelimitesi,deplus,pourchaqueautrecône{f(cid:48) : X(cid:48) → D },ilexisteune
i i
flècheuniquek :X(cid:48) →X tellequelediagrammesuivantcommute,pourtoutD .
i
X(cid:48) k (cid:45) X
f(cid:48) fi
i
(cid:27)
(cid:45)
D
i
6
Exemples:
– si, dans A, le diagramme se limite aux deux objets : A et B, un cône pour ce diagramme est la
donnéed’undiagramme:
(cid:27) f g (cid:45)
A X B
Sicecôneestunelimite,alorsonretrouveexactementlanotiondeproduit.
– siDestlediagramme:
B
g
(cid:63)
(cid:45)
A C
f
alorsuncônepourDestunP munidesflèchesf(cid:48),h,g(cid:48)telquelediagrammesuivantcommute:
f(cid:48) (cid:45)
P B
g(cid:48) h g
(cid:63) (cid:63)
(cid:45)
(cid:45)
A C
f
Si un tel cône est une limite, on obtient un pullback. Les pullbacks donneront lieu à la notion
importantedeproduitfibré.
Lanotiondualedecelledecôneestcelledecocône,etdelimite:co-limite.
2.1.4 Adjonction
Ilestusueld’avoirdansdenombreusesstructures,unesituationoùdeuxfoncteurssont,enuncertain
sens,“inverses”l’undel’autre.Toutlemondeaapprissurlesbancsdel’écoleque,dèsquenousavons
lanotiondemultiplication,nousavonscellededivision,avecévidemment,surR+,larelation:
c
a×b≤c⇔b≤
a
Lamultiplicationpara(notons-lam )etladivisionpara(notons-lad )entretiennentdoncunerelation
a a
évidente,qu’onpeutformulercommesuit:
m (b)≤c⇔b≤d (c)
a a
Delamêmefaçon,lecalculdeLambekadmetleséquivalences:
A•B →C ⇔A→C/B ⇔B →A\C
ConsidéronsF (B)=A•BetG (B)=A\B,nousavonsalors:
A A
F (B)→C ⇔B →G (C)
A A
Dans les deux cas, nous avons une structure commune, que l’on nomme adjonction (ou aussi parfois,
correspondancedeGalois).Parlebiaisdel’adjonction,onretrouveralesnotionsdéfiniesplushaut.
7
Définition12 UneadjonctionentredescatégoriesC etDconsisteen:
– deuxfoncteursF :C →DetG:D →C
– unetransformationnaturelleη :I →(G◦F)
C
telsquepourtoutobjetX deC ettouteflèchef deC :f : X → G(Y),ilexisteuneetuneseuleflèche
deD:f∗ :F(X)→Y tellequelediagrammesuivantcommute:
η(cid:45)X
X G(F(X))
f G(f∗)
(cid:63)
(cid:45)
G(Y)
Sinousnousplaçonsdoncdansuneseulecatégorie,dontlesobjetssontlestypesducalculdeLambeket
lesmorphismeslesdéductionsentretypes,alorsendéfinissant:
– pourchaquetypeA,soitF :B (cid:55)→F (B)=A•B
A A
– pourchaquetypeA,soitG :B (cid:55)→G (B)=A\B
A A
ladéfinitiondel’adjointconduità:
-pourtoutef :X →A\Y,ilexisteuneflèchef∗unique,f∗ :A•X →Y tellequef =G (f∗)◦η ,
A X
où,àX,η associeA\(A•X).
X
Cequ’onécriradelamanièrerésuméesuivante:
f :X →A\Y
f∗ :A•X →Y
quiestexactementunedesrèglesmentionnéesci-dessus.Nousyreviendronsplusloin.
Latransformationnaturelleηestappeléeunité.
Laconstructionci-dessuspossèdesaduale:
(cid:15)Y (cid:45)
F(G(Y)) Y
(cid:45)
(cid:54)
g
F(g∗)
F(X)
où(cid:15)estlaco-unité.Ilestpossibledeprouverquel’existenced’uneunitéentraînecelled’uneco-unité,et
réciproquement,cequidonnedeuxpointsdevuepossiblespourregarderl’adjonction.
DupointdevueducalculdeLambek,(cid:15) estlatransformationnaturellequi,àtouteformuleA•(A\Y)
Y
associeY.
Larègled’inférencedéduiteestlaréciproquedelaprécédente:
g :A•X →Y
g∗ :X →A\Y
Exercice:SoitC =EnsetD =Mon.Onprendpourη,lafamilled’applicationsqui,àchaqueensemble
S, associe l’ensemble List(S) des listes de S, pour F la fonction List et pour G le foncteur d’oubli
(c’est-à-direlefoncteurtrivialdeMondansEnsqui“oublie”lastructuredemonoïde).
– Démontrerqu’onobtientuneadjonction.
– Démontrerque,enprenant(N,+,0)commeobjetdeMonet1lafonctionconstantedeS dansN
qui,àtoutélémentdeS associe1,lafonctionunique1∗ définieparl’adjonctionn’estautrequela
fonctionlongueur!
8
2.1.5 Monades
Onavuqu’onpouvaittoujoursconsidérerunensemblepré-ordonné(A,≤)commeunecatégorieA.
Unfoncteurentredeuxtellescatégories,(A,≤)et(B,≤),estalorsuneapplicationmonotone:sia≤a(cid:48)
alorsF(a) ≤ F(a(cid:48)).SoituntelfoncteurF,etsoitGdansl’autredirection,quiestsonadjointàdroite
(autrement dit, pour tous a ∈ A et b ∈ B, F(a) ≤ b si et seulement si a ≤ G(b)), alors on peut voir
facilementquepourtouta,a(cid:48) ∈A,
1. a≤GF(a)
2. GFGF(a)≤GF(a)
3. sia≤a(cid:48)alorsGF(a)≤GF(a(cid:48))
(1):onaF(a)≤F(a)donca≤GF(a).
(2) : GF(a) ≤ GF(a) donc en faisant migrer le G de droite vers la gauche (il devient alors un F) :
FGF(a)≤F(a),etenappliquantGauxdeuxtermes:GFGF(a)≤GF(a).
GF estalorstypiquementcequel’onappelleunefermeture.Lespointsprécédentssetraduisenten:
1. a⊂a
2. a⊂a
3. sia⊂a(cid:48)alorsa⊂a(cid:48)
De même FG permet de définir une opération d’intérieur. NB : il est clair que (1) et (2) ci-dessus en-
traînentGFGF(a)∼=GF(a)(onnemettrait"="quesilarelation≤étaitbienunerelationd’ordre).
SionappellefermésdeAlesélémentsatelsqueGF(a) ∼= aetouvertsdeB lesélémentsbdeB tels
queFG(b)∼=b,alorsFetGdéterminentuneéquivalenceentrel’ensemblepréordonnéA desfermésde
0
Aetl’ensemblepréordonnéB desouvertsdeB,selonlediagrammesuivant:
0
F (cid:45)
A (cid:27) B
(cid:54) G (cid:54)
inclusion inclusion
equivalence (cid:45)
A B
0 0
Cesnotionsdefermetureetd’intérieurserencontrentsouventenmathématiques,notammentbiensûren
topologie.NotonsT =GF.T estappeléunemonade.
Définition13 UnemonadesurunecatégorieAestuntriplet(T,η,µ),oùT estunfoncteurA→Aet
où:
– ηestunetransformationnaturelle1 →T
A
– µestunetransformationnaturelleT2 →T
detellesortequelesdiagrammessuivantscommutent:
T ηT (cid:45) T2 (cid:27) Tη T T3 Tµ (cid:45) T2
µ µT µ
=
=
(cid:63)(cid:27) (cid:63) (cid:63)
(cid:45)
T T2 (cid:45) T
µ
autrementditsatisfaisantleséquations:
µ◦Tη =1 =µ◦ηT, µ◦µT =µ◦Tµ
T
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Appliquéeaucasdesensemblespré-ordonnés,TestuneapplicationmonotonedeAdansA,ilyapour
chaque élément a, un morphisme η vers T(a), autrement dit a ≤ T(a), et pour chaque objet a, un
morphismedeTT(a)dansT(a),autrementditTT(a)≤T(a).Leséquationsdisentqu’enpartantdea,
η donneunT(a)etqueµappliquéàTT(a)redonnebienleT(a)initial,etqu’enpartantdeTT(a),on
obtientlemêmeT(a)ensuivantl’unoul’autredesdeuxcheminsindiqués.
Noterquecettenotiondemonaderessemblebeaucoupà,voiregénéralise,lanotiondemonoïde.
UnmonoïdeM peuteneffetêtrevucommeunensembleM munidedeuxfonctions:
η :1→M µ:M ×M →M
tellesquelesdiagrammessuivantscommutent:
η×(cid:45)1 (cid:27)1×η 1×(cid:45)µ
1×M M ×M M ×1 M ×M ×M M ×M
µ µ×1 µ
ρ
λ
(cid:63)(cid:27) (cid:63) (cid:63)
(cid:45)
(cid:45)
M M ×M M
µ
1estinterprétécommelesingleton{∅},doncηestlafonctionquià∅associelemotvide(cid:15).Dans1×µ,
1 est interprété comme la fonction identité M → M. λ (resp. ρ) est la fonction (bijective) de 1×M
(resp.M ×1)dansM qui,àtoutcouple(∅,x)(resp.(x,∅))associex.Lacommutationdesdiagrammes
s’interprètecomme:
(cid:15)x=x x(cid:15)=x
(xy)z =x(yz)
autrementditcommel’existenced’unélémentneutreetl’associativité.
Pourcesraisons,dansunemonade,latransformationηestappeléel’unitéetµlamultiplication.
2.1.6 Exemplesdemonades
UnexempletypiquedemonadesurlacatégorieEnsestlefoncteur℘.Ilconsisteàprendrepourunité
la famille de flèches η : A → ℘(A) définies par : ∀a ∈ A,η (a) = {a}, et pour multiplication, la
A A
familledeflèchesµ :℘(℘(A))→℘(A)définiepar:
A
(cid:91)
∀X ∈℘(℘(A)),µ (X)= {X;X ∈X}
A
Un autre exemple est fourni par le foncteur List, qui, à tout ensemble associe l’ensemble des listes de
ses éléments, avec pour unité la famille de fonctions η qui sont les fonctions définies sur A associant
A
à chaque élément a ∈ A l’élément [a] ∈ List(A), et pour multiplication la famille de fonctions µ
A
qui sont les fonctions définies sur List(List(A)) associant à chaque élément (par exemple une liste de
listes [[a,b],[c,d],[e]]) la liste obtenue en mettant à plat les élements de la liste de listes (par exemple
[a,b,c,d,e]).Onvoitsurcetexemplequelanotiondemonadepermetdedéfinird’embléeuneopération
généralisée,icilaconcaténationdeslistes.Laconditiond’associativitédelamonadeassurel’associativité
decetteopération.
2.1.7 Rôledesmonades
La notion de monade est importante car, si on part d’une catégorie de structures algébriques quel-
conquesAlg(parexempleMon,Grpetc.)etquel’ondéfinitunemonadeparl’intermédiaired’unfonc-
teurdeEnsdansAlg(commeparexemplelefoncteurListci-dessus),alorsonpeutreconstruirelacaté-
gorieàpartirdecettemonade.(Celarevientaussi,étantdonnéeunemonadeT surEns,àsedemander
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