Table Of ContentSpringer-Lehrbuch
Gerhard Wunsch· Helmut Schreiber
Stochastische
Systeme
3., neubearbeitete und erweiterte Auflage
mit 219 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Prof. Dr.-lng. habil. G.Wunsch
Praf. Dr. se. techn. H. Schreiber
Institut flir Grundlagen
der Elektrotechnik
TUDresden
MommsenstraBe 13
0-8027 Dresden
ISBN 978-3-540-54313-8 ISBN 978-3-662-22435-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-22435-9
Die Deutsche Bibliothek-CIP-Einheitsaufnahme
Wunsch, Gerhard:
Stochastische Systeme 1 G. Wunsch ; H. Schreiber.
3.Aufl.-
Berlin ; Heidelberg ; NewY ork ; London ; Paris ; Tokyo ;
Hong Kong ; Barcelona ; Budapest : Springer, 1992
ISBN 978-3-540-54313-8
NE: Schreiber, Helmut:
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1992
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Vorwort
Das vorliegende Buch enthlilt die wichtigsten Begriffe und Grundlagen zur
Analyse stochastischer Systeme. Es verfolgt das Ziel, eine dem gegen
wlirtigen internationalen Niveau entsprechende, ffir Ingenieure gedachte
Darstellung der Wahrscheinlichkeitsrcchnung, der Theorie zuflilliger Pro
zesse und deren Anwendungen auf Systeme der Informationstechnik zu ge
ben. Darnit unterscheidet sich das Buch grundlegend einerseits von den
hauptslichlich ffir Mathematiker gedachten Darstellungen, ffir deren Stu
dium gute Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung vorausgesetzt wer
den (z.B. [6] bis [9]), und andererseits von den zahlreichen Werken der
technischen Literatur, in denen die angewandten Rechenmethoden meist
recht knapp begriindet sind oder nur sehr spezielle Anwendungen betrach
tet werden.
Das Buch ist aus Vorlesungen fiir Studierende der Fachrichtung Infor
mationstechnik und aus der bereits in [4] verfolgten Konzeption hervor
gegangen. Dabei wurde in verstlirktem MaBe auf eine international Ubli
che Diktion Wert gelegt, urn dem Leser so einen leichteren Ubergang zu
groBeren und anerkannten Standardwerken mit weiterfUhrendem Inhalt zu
ermoglichen. Es wurde versucht, den allgemeinen theoretischen Rahmen, in
dem sich heute jede moderne Darstellung der Stochastik bewegt, moglichst
allgemeingiiltig und zugleich anschaulich darzustellen. Dabei wurden
gleichzeitig alle Abschnitte stlirker als Ublich ausgebaut, die eine di
rekte Anwendung in der Systemanalyse (Schaltungsanalyse) zulassen (z.B.
Abschn. 2.1, 2.2, 3.2 und 3.3).
Der gesamte Stoff ist in drei Hauptabschnitte unterteilt. Der erste
enthlilt die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, der zweite die
Grundlagen der Theorie stochastischer Prozesse einschlieBlich deren An
wendung im Zusammenhang mit statischen Systemen und der dritte eine ge
genUber den vorhergehenden Auflagen stlirker ausgebaute Darstellung der
Zusammenhlinge von zuflilligen Prozessen und dynamischen Systemen. Urn dem
Charakter dieses Buches als Lehrbuch zu entsprechen, wurden die Ab
schnitte mit zahlreichen Beispielen und Ubungsaufgaben ausgestattet, de
ren Losungen in einem Anhang zusammengefaBt sind.
Dresden, Januar 1992
G. Wunsch H. Schreiber
Inhaltsverzeichnis
Einfiihrung 1
1 Mathematische Grundlagen 3
1.1 Ereignis und Wahrscheinlichkeit 3
1.1.1 Ereignisraum 3
1.1.1.1 Elementarereignis 3
1.1.1.2 Ereignisse 4
1.1.1.3 Ereignisraum 8
1.1.2 Wahrscheinlichkeit 11
1.1.2.1 Relative Haufigkeit 11
1.1.2.2 Wahrscheinlichkeit 12
1.1.2.3 Rechenregeln 14
1.1.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 16
1.1.3.1 Bedingte relative Haufigkeit 16
1.1.3.2 Bedingte Wahrscheinlichkeit 16
1.1.3.3 Unabhangige Ereignisse 18
1.1.4 Aufgaben zum Abschnitt 1.1 19
1.2 ZufalJige Veranderliche 21
1.2.1 Eindimensionale Veranderliche 21
1.2.1.1 MeBbare Abbildungen 21
1.2.1.2 Verteilungsfunktion 24
1.2.1.3 Verteilung 26
1.2.1.4 Dichtefunktion 31
1.2.2 Mehrdimensionale Veranderliche 35
1.2.2.1 Verteilungsfunktion und Verteilung 35
1.2.2.2 Dichtefunktion 39
1.2.3 Bedingte Verteilungen 42
1.2.3.1 Randverteilungsfunktion 42
1.2.3.2 Bedingte Verteilungsfunktion 44
1.2.3.3 Unabhangige zufaIlige Veranderliche 49
1.2.4 Aufgaben zum Abschnitt 1.2 49
Inhaltsverzeichnis VII
2 Statische Systeme 53
2.1 Veranderlichenabbildungen 53
2.1.1 Determinierte statische Systeme 53
2.1.1.1 Determinierte Veranderlichenabbildung 53
2.1.1.2 Verteilungs- und Dichtefunktion am Systemausgang 55
2.1.2 Momente 61
2.1.2.1 Erwartungswert 61
2.1.2.2 Varianz 65
2.1.2.3 Kovarianz 66
2.1.2.4 Charakteristische Funktion 69
2.1.3 Stochastische statische Systeme 72
2.1.3.1 Stochastische Veranderlichenabbildung 72
2.1.3.2 Systemmodell 75
2.1.3.3 Bedingter Erwartungswert 77
2.1.4 Aufgaben zum Abschnitt 2.1 80
2.2 ProzeBabbildungen 85
2.2.1 Stochastische Prozesse 85
2.2.1.1 ProzeB und Realisierung 85
2.2.1.2 Verteilungsfunktion und Verteilung 91
2.2.1.3 Vektorprozesse 95
2.2.1.4 Momente 97
2.2.2 Spezielle Prozesse 102
2.2.2.1 Stationare Prozesse 102
2.2.2.2 Markowsche Prozesse 107
2.2.2.3 GauBsche Prozesse 111
2.2.3 ProzeBabbildungen statischer Systeme 114
2.2.3.1 Determinierte ProzeBabbildung 114
2.2.3.2 Transformation der Dichtefunktion 117
2.2.3.3 S tochastische ProzeBabbildung 122
2.2.4 Aufgaben zum Abschnitt 2.2 125
3 Dynamische Systeme 131
3.1 Analysis zufalliger Prozesse 131
3.1.1 Stetigkeit zufalliger Prozesse 131
3.1.1.1 Konvergenz im quadratischen Mittel 131
3.1.1.2 Stetigkeit im quadratischen Mittel 135
3.1.2 Ableitung und Integral 138
3.1.2.1 Differentiation im quadratischen Mittel 138
VIII Inhaltsverzeichnis
3.1.2.2 Integration im quadratischen Mittel 141
3.1.3 Aufgaben zum Abschnitt 3.1 143
3.2 Zuflillige Prozesse in determinierten linearen Systemen 145
3.2.1 ProzeBabbildungen determinierter linearer Systeme 145
3.2.1.1 Zustandsgleichungen 145
3.2.1.2 Stationlire Prozesse 152
3.2.1.3 Stationlire GauB-Prozesse 160
3.2.2 Anwendungen stationlirer Prozesse 163
3.2.2.1 Ergodizitiit 163
3.2.2.2 MeBschaltungen 164
3.2.2.3 Rauschanalyse 167
3.2.2.4 Optimalfilter 176
3.2.3 Aufgaben zum Abschnitt 3.2 184
3.3 Markow-Prozesse in dynamischen Systemen 189
3.3.1 Lineare Systeme mit diskreter Zeit 189
3.3.1.1 Zeitvariables System 189
3.3.1.2 Zeitinvariantes System 195
3.3.2 Stochastische Automaten 198
3.3.2.1 Automatenklassen 198
3.3.2.2 Stochastischer Operator 201
3.3.2.3 Uberfiihrungs- und Ergebnisfunktion 204
3.3.2.4 Verhaltensfunktion 206
3.3.2.5 Matrixdarstellung 210
3.3.3 Aufgaben zum Abschnitt 3.3 212
4 Losungen zu den Ubungsaufgaben 214
Literaturverzeichnis 250
Sachverzeichnis 252
Formelzeichen
A Ereignisraum (a-Algebra tiber Q)
A zu A komplementiires Ereignis
fA Menge aller zufalligen Verlinderlichen auf (Q,~,P)
fA Menge aller zufiilligen Prozesse auf (Q,~,P)
A' zur Matrix A transportierte Matrix
A,B, ... (zufallige) Ereignisse
A,B,C,D Zustandsmatrizen (lineares dynamisches System)
B Borel-Mengen-System (a-Algebra tiber IR)
Cov(~ Kovarianzmatrix des Prozesses X
Cov(X,Y) Kovarianz von X und Y
Y
Cov(~,r> Kovarianzmatrix der Vektorprozesse ~ und
det A Determinante der Matrix A
EX = mX Erwartungswert von X, Mittelwert
EXn Moment n-ter Ordnung
F Uberftihrungsoperator
f Uberftihrungsfunktion
f(ol·) bedingte Dichtefunktion
fX Dichtefunktion von X
fX Dichtefunktion von X
FX Verteilungsfunktion von X
FX Verteilungsfunktion von ~
g Ergebnisfunktion
h Gewichtsfunktion, Impulsantwort
*
h Ubertragungsfunktion
hA(n) relative Haufigkeit von A bei n Versuchen
x Formelzeichen
Ubertragungsmatrix (im Bildbereich der Fourier-Transformation)
H"(jro) zu H* (jro) konjugierte Matrix
HO' (jro) zu H* Oro) transponierte Matrix
H°(p) Ubertragungsmatrix (im Bildbereich der Laplace-Transformation)
H(t) Gewichtsmatrix, Ubertragungsmatrix im Originalbereich
i.q.M. im quadratischen Mittel
I~ = (-oo,~) reelles Intervall
kA(n) Hiiufigkeit von A bei n Versuchen
l.i.m. Grenzwert im (quadratischen) Mittel
Menge aller zufiilligen Veriinderlichen mit EX2 <
00
Mengensystem
M,N, ... Mengen
Erwartungswert von X, Mittelwert
Menge der natiirlichen Zahlen
Menge aller Abbildungen von M in N
P WahrscheinlichkeitsmaB auf A
P(A) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A
P(AIB) Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B
~(M) Potenzmenge der Menge M
Px WahrscheinlichkeitsmaB auf !!, Verteilung von X
Px Verteilung von ~
P{X<~} Wahrscheinlichkeit dafUr, daB die zufiillige Veriinderliche X
einen Wert kleiner als ~ annimmt
q Ergebnisfunktion (stochastischer Automat)
IR+ Menge der nicht negativen reellen Zahlen
IR Menge der reellen Zahlen
spezieller Wahrscheinlichkeitsraum
s Sprungfunktion, Sprungsignal
