Stochastische Integration: Eine Einführung in die Finanzmathematik

289 Pages·2016·2.188 MB·German

by  Michael Hoffmann (auth.)

Michael Hoffmann
Stochastische
Integration
Eine Einführung in
die Finanzmathematik
BestMasters
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senschaften.
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insbesondere auch Nachwuchswissenschaftlern Orientierung geben.
Michael Hoffmann
Stochastische
Integration
Eine Einführung in
die Finanzmathematik
Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Helmut Rieder
Michael Hoffmann
Bochum, Deutschland
BestMasters
ISBN 978­3­658­14131­8 ISBN 978­3­658­14132­5 (eBook)
DOI 10.1007/978­3­658­14132­5
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Geleitwort
Diese Diplomarbeit ist im Zusammenhang mit einer 2-semestrigen
Vorlesung ”Finanzmathematik I und II” entstanden.
Auf der Grundlage der Monographie ”Stochastische Analysis” von
Hackenbroch und Thalmaier ([9]) und anderer Literatur sollte das der
Vorlesung zugrunde gelegte Lehrbuch ”Finanzmathematik” von Irle
([10]) hinsichtlich stochastischer Integration vertieft werden.
Im Vergleich zu beiden Quellen hat Michael Hoffmann eine Reihe von
Vereinfachungen, Vervollst¨andigungen, Verbesserungen und Verallge-
meinerungen erzielt.
Herausgekommen ist ein mit durchgehender Konsequenz und Genau-
igkeit geschriebenes Standardwerk zur stochastischen Integration.
Bayreuth Prof. Dr. Helmut Rieder
Vorwort
Das stochastische Integral ist der zentrale Begriff der stochastischen
Analysis und daher sehr wichtig fu¨r Anwendungen in der Physik, der
Biologie und nicht zuletzt der Finanzmathematik. Es geht zuru¨ck auf
den japanischen Mathematiker Itoˆ Kiyoshi (1915-2008), der in seinen
1944 und 1946 erschienenen Arbeiten den Grundstein fu¨r die Theorie
der stochastischen Integration und der stochastischen Differentialglei-
chungen legte. Er gilt damit als der Begru¨nder der stochastischen
Analysis.
Die vorliegende Arbeit ist eine Literaturarbeit, die als Ziel hat, den
stochastischen Integralbegriff auf elementarem und leicht nachvollzieh-
barem Weg einzufu¨hren und, als finanzmathematische Anwendung
der gewonnenen Theorie, Finanzmarktmodelle zu diskutieren.
Stochastische Integration bedeutet, subtil gesprochen(cid:2), gegebenen sto-
chastischen Prozessen F und X einen Integralprozess FdX zuzuord-
nen. Dabei etablieren wir in den Kapiteln 2 bis 11 eine stochastische
Integrationstheoriefu¨rProzessemitZeitbereichR .Diewohlintuitivs-
+
te Herangehensweise ist es, bei festem ω aus dem zugrunde liegenden
Wahrscheinlichkeitsraum, den ω-Pfad F•(ω) des Integranden mittels
Stieltjes-Integration nach dem ω-Pfad X•(ω) des Integrators zu inte-
grieren. Dies ist das Anliegen der Kapitel 2 und 3, nachdem in Kapitel
1 auf die n¨otigen Grundlagen fu¨r diese Arbeit eingegangen wurde.
Allerdings werden wir sogar schon im dritten Abschnitt sehen, dass
dieser stochastische Integrationsbegriff noch nicht ausreicht. Denn mit
ihm k¨onnen im Allgemeinen nicht einmal pfadweise stetige Integran-
VIII Vorwort
den nach Martingalen integriert werden, was durchaus wu¨nschenswert
ist, besonders in Anbetracht der Brownschen Bewegung.
Um auch dies zu erm¨oglichen, werden wir in Kapitel 4 zu den soge-
nannten Semimartingalen einen Begleitprozess, den Klammerprozess,
einfu¨hren. Dieser beschreibt wesentlich das Fluktuationsverhalten
eines Semimartingals. Zu einem lokalen Martingal X gewinnen wir
damit zun¨achst einen U¨bergangskern K(ω,·) von dem zugrunde lie-
genden Messraum (Ω,F∞) nach (R+,B(R+)) als das pfadweise Maß
mit der Verteilungsfunktion [X]•(ω), dem ω-Pfad der quadratischen
Variation von X. Der ausintegrierte Kern fu¨hrt dann auf ein, dem
lokalenMartingalX zugeordnetes,MaßμX auf(R+×Ω,B(R+)⊗F∞).
Dieses Maß wird auch Dol´eansmaß genannt. Mit einem Erweiterungs-
schluss fu¨r dicht definierte stetige lineare Operatoren ergibt sich dann
ein stochastischer Integralbegriff fu¨r lokale Martingale. All das findet
in Kapitel 5 statt.
Der sechste Abschnitt gibt Eigenschaften und Rechenregeln dieses
Begriffs und zeigt, dass der Name ”Integral” gerechtfertigt ist. Denn
einerseits entspricht das so gegebene Integral von Prozessen, die
pfadweise die Form einer Treppenfunktion besitzen, dem pfadwei-
sen Stieltjes-Integral. Andererseits l¨a(cid:2)sst sich fu¨r eine sehr weite Klasse
von Integranden F der Ausdruck FdX durch pfadweise Stieltjes-
Integrale geeignet approximieren.
Kapitel 7 fu¨hrt beide Integrationsbegriffe zu einem stochastischen
Integral nach Semimartingalen zusammen. Außerdem werden dort
die Itˆo-Differentiale festgelegt und wir werden einen Beweis fu¨r die
wichtigste Formel der stochastischen Analysis, dem sogenannten Itˆo-
Kalku¨l, bereitstellen. Im achten Teil dieser Arbeit verwenden wir die
Itˆo-Formel beispielhaft dazu, die Brownsche Bewegung durch ihren
Klammerprozess zu charakterisieren. Dies tr¨agt den Namen L´evy-
Charakterisierung. Abschnitt 9 beantwortet die Frage, unter welchen
Voraussetzungen sich ein lokales Martingal M durch
Vorwort IX
(cid:3)
M −M = FdB
0
alsstochastischesIntegralnacheinerBrownschenBewegungB darstel-
len l¨asst. Gleichzeitig ist dieses Resultat wichtig fu¨r die Arbitragetheo-
rie in den sp¨ater definierten Finanzmarktmodellen. Weiterhin ben¨otigt
der Finanzmathematikteil die sogenannte Girsanov-Transformation.
Diese ist Inhalt von Kapitel 10 und gibt eine L¨osung auf die Fra-
ge, wie man ein lokales Martingal beim U¨bergang P → Q zu einem
¨aquivalenten Wahrscheinlichkeitsmaß ver¨andern muss, damit es ein
lokales Martingal bleibt. Besondere Aufmerksamkeit gilt dabei dem
Transformationsverhalten Brownscher Bewegungen.
Preisprozesse in Finanzmarktmodellen werden u¨ber stochastische
Differentialgleichungen definiert. Daher werden wir in Abschnitt 11
die sogenannten Itˆoschen stochastischen Differentialgleichungen auf
Existenz und Eindeutigkeit untersuchen. Dies sind stochastische Dif-
ferentialgleichungen der Form
dX = b(X ,t)dt+σ(X ,t)dB ,
t t t t
d.h. der gesuchte Prozess X ist ein pfadweises stochastisches Integral
nach dem Lebesguemaß plus einem stochastischen Integral nach einer
treibenden Brownschen Bewegung. Die Integranden beider Integral-
prozesse sollen dabei funktional von X abh¨angen.
In Kapitel 12 erweitern wir den stochastischen Integrationsbegriff zu
einem Integral fu¨r Prozesse mit Zeitbereich N und [0,T]. Daru¨ber
0
hinaus wird ein Einblick in alternative Konstruktionsm¨oglichkeiten
des stochastischen Integrals nach lokalen Martingalen gegeben. Wir
werden dort auch das Wiener-Integral einfu¨hren und seine wichtigste
Anwendung, die Spektraldarstellung schwach station¨arer Prozesse,
skizzieren.
X Vorwort
Die letzten beiden Teile dieser Arbeit sind einer finanzmathema-
tischen Anwendung des stochastischen Integrals gewidmet. Dabei
werden zuerst die sogenannten allgemeinen Finanzmarktmodelle vom
Black-Scholes-Typdefiniert.DiesesindVerallgemeinerungendesBlack-
Scholes-Modells, bei denen man mehr Gu¨ter und auch eine gr¨oßere
Zufallsabh¨angigkeit zul¨asst. Es wird eine hinreichende Bedingung fu¨r
die Arbitragefreiheit des Modells auf die sogenannten Marktpreis-
des-Risikos-Gleichungen zuru¨ckgefu¨hrt. Schließlich wird die Claim-
Bewertung und das Black-Scholes-Modell als ein beispielhafter Spezi-
alfall diskutiert.
Ein Ziel war es, m¨oglichst alle angegebenen Resultate mit einem
ausfu¨hrlichen und leicht verst¨andlichen Beweis auszustatten. Aus
diesem Grund wird die dargestellte Theorie zun¨achst fu¨r pfadweise
stetige Integratoren hergeleitet. Wir werden auch sehen, wie man mit
den selben Methoden eine stochastische Integrationstheorie fu¨r c`adl`ag
Prozesse gewinnt.
Bochum MichaelHoffmann