Table Of ContentNorbert Henze
Stochastik für Einsteiger
Aus dem Programm für Einsteiger
Algebra für Einsteiger
von Jörg Bewersdorff
Algorithmik für Einsteiger
von Armin P. Barth
Diskrete Mathematik für Einsteiger
von Albrecht Beutelspacher und Marc-Alexander Zschiegner
Finanzmathematik für Einsteiger
von Moritz Adelmeyer und Elke Warmuth
Graphen für Einsteiger
von Manfred Nitzsche
Knotentheorie für Einsteiger
von Charles Livingston
Stochastik für Einsteiger
von Norbert Henze
Strategische Spiele für Einsteiger
von Alexander Mehlmann
Zahlen für Einsteiger
von Jürg Kramer
Zahlentheorie für Einsteiger
von Andreas Bartholomé, Josef Rung und Hans Kern
www.viewegteubner.de
Norbert Henze
Stochastik
für Einsteiger
Eine Einführung in die
faszinierende Welt des Zufalls
Mit über 220 Übungsaufgaben und Lösungen
8., erweiterte Auflage
STUDIUM
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der
Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über
<http://dnb.d-nb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Norbert Henze
Karlsruher Institut für Technologie
Institut für Stochastik
Kaiserstr. 89-93
76131 Karlsruhe
E-Mail: [email protected]
1. Auflage 1997
2.,durchgesehene Auflage 1998
3.,erweiterte Auflage 2000
4.,verbesserte Auflage 2003
5.,überarbeitete Auflage 2004
6.,überarbeitete und erweiterte Auflage 2006
7., überarbeitete und erweiterte Auflage 2008
8.,erweiterte Auflage 2010
Alle Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner |GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch | Nastassja Vanselow
Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.
www.viewegteubner.de
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich ge schützt. Jede
Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Ur heber rechts ge set zes ist ohne
Zustimmung des Verlags unzuläss ig und strafb ar. Das gilt insb es ondere für
Vervielfältigungen, Über setzun gen, Mikro verfil mungen und die Ein speiche rung
und Ver ar beitung in elek tro nischen Syste men.
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk
berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im
Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher
von jedermann benutzt werden dürften.
Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg
Druck und buchbinderische Verarbeitung: Ten Brink, Meppel
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in the Netherlands
ISBN 978-3-8348-0815-8
V
Vorwort zur 8. Auflage
Als weiterer Vertreter der Einsteiger–Reihe ist das vorliegende Buch als einführendes
Lehrbuch in die Stochastik konzipiert. Es wendet sich insbesondere an Lehrer/-innen,
StudierendedesLehramtes,StudienanfängeranFachhochschulen, Berufsakademienund
Universitäten sowie Quereinsteiger aus Industrie und Wirtschaft. Durch
• Lernziele bzw. Lernzielkontrollen am Ende der Kapitel,
• mehr als 220 Übungsaufgaben mit Lösungen und
• ein Symbol– sowie ein ausführliches Sachwortverzeichnis
eignet es sich insbesondere zum Selbststudium und als vorlesungsbegleitender Text.
Gegenüber der 7. Auflage wurde das Werk durch Einbeziehung weiterer Anwendungs-
beispiele und zusätzliche Übungaufgaben erweitert.
Um den Leser möglichst behutsam in die Stochastik, die Kunst des geschickten Ver-
mutens, einzuführen, wurden die mathematischen Vorkenntnisse bewusst so gering wie
möglich gehalten. So reicht für die ersten 21 Kapitel, abgesehen von einem Beweis in
Kapitel 10, ein Abiturwissen in Mathematik völlig aus. Erst ab Kapitel 22 (diskrete
Wahrscheinlichkeitsräume) wird eine gewisse Vertrautheit mit Begriffen und Methoden
derAnalysisvorausgesetzt.HierkannetwadasimLiteraturverzeichnisaufgeführteBuch
[HL] als Nachschlagewerk dienen.
DerKonzeptiondiesesBuchesliegtdieErfahrungzugrunde,dassdiespezifischenDenk-
weisen der Stochastik – insbesondere die Erfassung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes –
den Studierenden anfangs große Schwierigkeiten bereiten. Hinzu kommt das harte Ge-
”
schäft“ derModellierung zufallsabhängiger Vorgänge alseinwichtiges Aufgabenfeldder
Stochastik. Da die Konstruktion geeigneter Modelle im Hinblick auf die vielfältigen
AnwendungenderStochastikvonGrundaufgelerntwerdensollte,nimmtderAspektder
ModellbildungeinenbreitenRaumein.Hiermageströsten,dassselbstUniversalgelehrte
wie Leibniz oder Galilei bei einfachen Zufallsphänomenen mathematische Modelle auf-
stellten,diesichnichtmitdengemachtenBeobachtungendesZufallsinEinklangbringen
ließen. Um dem Einüben stochastischer Modellbildung ohne Verwendung fortgeschrit-
tener mathematischer Techniken genügend Raumzulassen,werdenstetige Verteilungs-
modelle erst ab Kapitel 29 behandelt.
Ganz bewusst habe ich großen Wert auf die Motivation der Begriffsbildungen und auf
die Diskussion von Grundannahmen wie z.B. die Unabhängigkeit und Gleichartigkeit
von Versuchen gelegt. Ausführlich werden die Modellierung mehrstufiger Experimente
sowie der Zusammenhang zwischen Übergangswahrscheinlichkeiten und den oft nur
stiefmütterlich behandelten bedingten Wahrscheinlichkeiten besprochen. Auch in den
Kapiteln über Schätz– und Testprobleme werden keine Rezepte zu vermittelt, sondern
VI Vorwort zur 8. Auflage
prinzipielleVorgehensweisenderSchließendenStatistikanhandelementarerBeispielezu
verdeutlicht. Kritische Anmerkungen zum Testen statistischer Hypothesen entspringen
einer langjährigen Erfahrung in der statistischen Beratung.
EineReiheparadoxerPhänomenedürftezuanregendenDiskussionenundzurBeschäfti-
gung mit mathematischer Modellierung führen. Hierzu gehören u.a. das Ziegenproblem
(Kapitel 7 und 15), das Paradoxon der ersten Kollision (Kapitel 10; das Phänomen
der ersten Gewinnreihenwiederholung im Zahlenlotto könnte ein Klassiker“ werden),
”
Simpsons Paradoxon (Kapitel 15 und Kapitel 21), das Zwei–Jungen–Problem (Kapitel
15) und das häufig auch als Coupon–Collector–Problem oder Problem der vollständigen
Serie bekannte Sammlerproblem (Kapitel 23).
WasbeimerstenDurchblätterndiesesBuchesauffällt,isteinhäufigerWechselzwischen
einem (hoffentlich) angenehm zu lesenden Prosastil und dem in der Mathematik ge-
wohntenDefinition–Satz–Beweis–Schema. DieserWechsel istfürdieStochastiktypisch.
Stochastik ist – wenn man sie nicht auf die Mathematische Stochastik reduziert – kein
Teilgebiet der Mathematik, sondern eine interdisziplinäre Wissenschaft mit vielfältigen
Anwendungen,derenformaleSprachedieMathematikist.Denjenigen,dieanderEntste-
hungsgeschichte dieserWissenschaftinteressiertsind,werdenvermutlichdiezahlreichen
biographischen Hinweise unddieangegebenenInternet–AdressenvonNutzensein.Eine
kleine Sammlung von Links zu den Themen Mathematik und Mathematikgeschichte
findet man unter http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history/.
Steigen Sie ein in die faszinierende Welt des Zufalls!
Karlsruhe, im August 2009
VII
Danksagung
Andieser Stelle möchte ich allendanken, die mir während der Entstehungsphase dieses
Buches eine unschätzbare Hilfe waren. Frau Ingrid Voss TEXte“ große Teile des Ma-
”
nuskriptes und war an der Erstellung des Sachwortverzeichnisses sowie des Symbolver-
zeichnisses beteiligt. Herr Dipl.–Math. techn. Thorsten Wagner und Herr Dipl.–Math.
Heiko Zimmermann steuerten zahlreiche Abbildungen beiund waren stetsmit Rat und
Tat zur Stelle. Herr Dipl.–Math. Michael Fichter ließ uns uneigennützig von seinem
TEXpertenwissen“ profitieren.
”
HerrnDr.MartinFolkersverdankeichzahlloseVerbesserungsvorschläge undvielewert-
volle biographische Hinweise. Herr Dr. Wolfgang Henn fand trotz eines beängstigend
vollenTerminkalendersnochdieZeit,großeTeiledesManuskripteseinerwohlwollenden
Kritikzuunterziehen. IntieferSchuldsteheichbeiFrauDipl.–Math. NoraGürtler und
bei Herrn Dipl.-Math. Bernhard Klar. Durch gründliches und schnelles Korrekturlesen
undzahlreicheVerbesserungsvorschlägehabenbeideeinenentscheidendenAnteildaran,
dass sich der Abgabetermin beim Verlag nicht noch weiter verzögert hat.
MeinerFrauEddaundmeinenKindernMartin,MichaelundMatthiasdankeichzutiefst
für ihr Verständnis und ihre grenzenlose Geduld. Ihnen ist dieses Buch gewidmet.
IX
Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur 8. Auflage V
0 Einleitung 1
1 Zufallsexperimente, Ergebnismengen 3
2 Ereignisse 7
3 Zufallsvariablen 12
4 Relative Häufigkeiten 18
5 Grundbegriffe der deskriptiven Statistik 22
6 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume 39
7 Laplace–Modelle 48
8 Elemente der Kombinatorik 54
9 Urnen- und Teilchen/Fächer-Modelle 63
10 Das Paradoxon der ersten Kollision 68
11 Die Formel des Ein– und Ausschließens 73
12 Der Erwartungswert 79
13 Stichprobenentnahme: Die hypergeometrische Verteilung 85
14 Mehrstufige Experimente 90
15 Bedingte Wahrscheinlichkeiten 98
16 Stochastische Unabhängigkeit 116
17 Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen 128
18 Die Binomialverteilung und die Multinomialverteilung 138
19 Pseudozufallszahlen und Simulation 150
20 Die Varianz 156
21 Kovarianz und Korrelation 162
X Inhaltsverzeichnis
22 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume 174
23 Wartezeitprobleme 180
24 Die Poisson–Verteilung 189
25 Gesetz großer Zahlen 195
26 Zentraler Grenzwertsatz 199
27 Schätzprobleme 211
28 Statistische Tests 234
29 Allgemeine Modelle 259
30 Stetige Verteilungen, Kenngrößen 268
31 Mehrdimensionale stetige Verteilungen 284
32 Statistische Verfahren bei stetigen Merkmalen 299
Nachwort 326
Tabelle der standardisierten Normalverteilung 327
Quantile der t-Verteilung 328
Lösungen der Übungsaufgaben 330
Literaturverzeichnis 353
Symbolverzeichnis 355
Index 357
1
0 Einleitung
WelcheinZufall!sagenwirhäufig,umunsereVerwunderungübereinalsunwahrschein-
licherachtetesEreignisauszudrücken. DerZufallführtRegiebeidenwöchentlichen Zie-
hungen der Lottozahlen, und er steht Pate bei Spielen wie Mensch-ärgere-Dich-nicht!
oder Roulette, wobei Zufall meist mit Glück (Glücksgöttin Fortuna) oder Pech (Pech-
vogel, Pechsträhne) verbunden wird. Um allen Mannschaften die gleiche Chance zu
sichern,werdendieSpielpaarungendesPokalwettbewerbsdesDeutschenFußballbundes
(DFB–Pokal)vorjederRundeunterdennochverbliebenenMannschaftendurchdasLos
bestimmt, d.h.durch die höhere Gewalt desZufalls“ festgelegt.Neuerdings entscheidet
”
das Los sogar bei strittigen Fragen über das Abstimmungsverhalten im Bundesrat (so
beschlossen bei den Koalitionsverhandlungen 1996 in Rheinland–Pfalz).
Das Wort Stochastik steht alsSammelbegriff fürdie Gebiete Wahrscheinlichkeitstheorie
und Statistik und kann kurz und prägnant als Mathematik des Zufalls“ bezeichnet
”
werden.DabeiwollenwirimFolgendennichtüberdieExistenzeineswieimmergearteten
Zufalls philosophieren, sondern den pragmatischen Standpunkt einnehmen, dass sich
gewisseVorgängewiedieZiehungderLottozahleneinerdeterministischenBeschreibung
entziehen und somit ein stochastisches Phänomen darstellen, weil wir nicht genug für
eine sichere Vorhersage wissen. Wir lassen hierbei offen, ob dieses Wissen nur für uns
in der speziellen Situation oder prinzipiell nicht vorhanden ist.
Stochastische Begriffsbildungen begegnen uns auf Schritt und Tritt. So verspricht der
lokaleWetterberichtfürdenmorgigenTageineRegenwahrscheinlichkeit von70Prozent,
und Jurist(inn)en nehmen einen Sachverhalt mit an Sicherheit grenzender Wahrschein-
lichkeitan,wennsieihnals sogutwiesicher“ erachten.Wirlesen,dassdieÜberlegenheit
”
einer neuen Therapie zur Behandlung einer bestimmten Krankheit gegenüber einer
Standard–Therapie statistisch auf dem 5% Niveau abgesichert sei. Diese Formulierung
mag (und soll es vielfach auch) beeindrucken; sie wird aber den meisten von uns nicht
vielsagen.EswerdenErgebnissevonMeinungsumfragenpräsentiert,dieeinestatistische
Unsicherheit von einem Prozent aufweisen sollen. Auch hier interpretieren wir diese
Unsicherheit – wenn überhaupt – meist falsch.
Ziel dieses Buches ist es, dem Leser einen ersten Einstieg in die faszinierende Welt des
ZufallszuvermittelnundihnindieLagezuversetzen,stochastischePhänomenekorrekt
zu beurteilen und über statistische Unsicherheiten“ oder eine statistische Signifikanz
” ”
auf dem 5%-Niveau“ kritisch und kompetent mitreden zu können. Wir werden sehen,
dassselbstdersprichwörtlich unberechenbare ZufallgewissenGesetzenderMathematik
gehorcht und somit berechenbar wird. Dabei macht gerade der Aspekt, dem Zufall
aufdieFinger sehen“ und fürein beobachtetes stochastisches Phänomen einpassendes
”
Modell aufstellen zu müssen, den spezifischen Reiz der Stochastik aus.
