Table Of ContentGerd Fischer
Stochastik
einmal anders
Aus dem Programm ________- --.,.
Mathematik
Stochastik fur Einsteiger
von Norbert Henze
Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
und Statistik
von Ulrich Krengel
Lineare Algebra
von Albrecht Beutelspacher
Lineare Algebra
von Gerd Fischer
Analytische Geometrie
von Gerd Fischer
Analysis 1-3
von Otto Forster
Analysis 1-2
von Ehrhard Behrends
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Gerd Fischer
Stochastik
einmal anders
Parallel geschrieben mit
Beispielen und Fakten,
vertieft durch ErUiuterungen
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vleweg
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet tiber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Gerd Fischer
Fakultat flir Mathematik der
Technische Universitat Mtinchen
85747 Mtinchen
E-Mail: [email protected]
1. Auflage Februar 2005
Aile Rechte vorbehaiten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2005
Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch/ Petra RuBkamp
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Textbearbeitung: Christoph Eyrich, Berlin
Gedruckt auf siiurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN-13: 978-3-528-03967-7 e-ISBN-13: 978-3-322-80249-1
001: 10.1007/978-3-322-80249-1
Herrn Hanns Klinger gewidmet
Vorwort
Dieser Text ist entstanden aus mehreren Vorlesungen flir Studierende mit Mathe
matik als Nebenfach und Veranstaltungen zur Lehrerfortbildung an der Heinrich
Heine-Universitat Diisseldorf. Sie dienten einer erst en Einflihrung in die Frage
stellungen und Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik (kurz
Stochastik) sowohl flir Studierende, die solche Techniken in ihrem Fach benoti
gen, als auch fiir Lehrer, die sich flir den Unterricht mit den notigen fachlichen
Grundlagen vertraut machen wollten.
Der Inhalt eines solchen Kurses ist ziemlich kanonisch, auch die meisten Lehr
plane fiir die Oberstufe des Gymnasiums wahlen diesen Weg. In Kapitel 1 iiber
die Beschreibende Statistik werden erhobene Daten aufbereitet und durchleuch
tet. Die behandelten Probleme trifft man im taglichen Leben an, die benotigten
mathematischen Hilfsmittel sind zum groi3ten Teil sehr elementar. Dies ist ein
idealer Einstieg und eine hervorragende Grundlage flir die Beschaftigung mit den
Themen spaterer Kapitel.
Kapite12 fiihrt in die Wahrscheinlichkeitsrechnung ein, hier beginnt der Zufall zu
regieren. Die in der beschreibenden Statistik gefundenen Rechenregeln filr Haufig
keiten sind eine gute Motivation fiir den abstrakten Begriff der Wahrscheinlich
keit, die bei Merkmalen erprobten Begriffe finden sich analog bei Zufallsvariablen
wieder. Man kann zwar in der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht mehr erreichen,
als aus bekannten (oder als bekannt angenommenen) Wahrscheinlichkeiten ande
re, noch unbekannte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, aber dabei treten viele
iiberraschende Ergebnisse auf. Hohepunkt ist die Normalverteilung, da ist im
Hintergrund einige klassische nicht-triviale Analysis im Spiel. In der elementa
ren Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet man nur endliche Ergebnismengen.
Zum besseren Verstandnis der Normalverteilung und der Ausgangssituation bei
Schatzungen und Tests ist es hilfreich, auch ein wenig iiber unendliche Ergebnis
mengen und stetige Verteilungsfunktionen zu wissen. Das wird in sehr kompri
mierter Form in Abschnitt 2.9 beschrieben.
Wahrend der Inhalt der erst en beiden Kapitel bis auf den begriffiichen Rahmen
schon zu Zeit en von GAUSS bekannt war, sind die Kapite13 und 4 iiber Schiitzen
und Testen Kinder des 20. Jahrhunderts und stellen dementsprechend deutlich
hohere Anforderungen an den Leser. Die Durchfiihrung der Verfahren ist Ge
genstand des Grundkurses, an die genaueren mathematischen Hintergriinde wird
man sich wohl nur in einem Leistungskurs wagen. Diese Themen gehoren zur
sogenannten beurteilenden (oder schliefJenden) Statistik, einer Kombination von
beschreibender Statistik mit Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wenn man in der be
schreibenden Statistik nicht alle Daten erheben kann oder will, so beschrankt
man sich auf eine oder mehrere Stichproben, das Ergebnis erlaubt eine Schatzung
vi
der unbekannten wirklichen Werte. Ftir die GroBe der Abweichung des geschatz
ten vom wirklichen Wert kann man nur noch Wahrscheinlichkeiten angeben. Die
popularsten Beispiele ftir die dabei auftretenden Probleme sind Umfragen vor
Wahlen oder Hochrechnungen am Wahlabend. Eine genauere Kenntnis der Unsi
cherheit hatte wohl manche verfrlihte Siegesfeier vermieden, damit aber andrer
seits den Unterhaltungswert der Wahlnacht geschmalert.
Was tiberall in der Mathematik gilt, ist noch ausgepragter in der Stochastik:
Es geht nichts liber markante Beispiele, die geeignet sind, die Anstrengungen in
der Theorie zu rechtfertigen. Urn dem Leser dabei moglichst viel Freiheiten zu
geben, ist der Text durchgehend parallel geftihrt: links die Beispiele, rechts die
Fakten. Und weil Beweise und theoretische Erganzungen nicht von jedermann
gleich geliebt sind, gibt es daftir einen Anhang mit Erliiuterungen. Ich hoffe, dass
die Leser sich mit diesem Trio anfreunden konnen.
Ftir die Verwendung im Unterricht an Gymnasien oder anderen Stellen hat die
Teilung des Textes einen besonderen Vorteil: Zu den meisten Beispielen werden
Schtiler und Studierende einen leichten Zugang finden. Die systematische mathe
matische Darstellung auf den rechten Seiten kann man je nach Interesse mehr
oder weniger grtindlich studieren. Zur Ausftihrung der meisten n6tigen Rech
nungen gentigt einer der zum Schulgebrauch tiblichen Taschenrechner; ich habe
einen "Equation Editor" verwendet, der auch tiber Statistikfunktionen verftigt.
Ftir aufwandigere Rechnungen und die Einftigung der vielen Graphiken wurde
das Programmpaket MAPLE verwendet.
Es ist sicher verwegen, wenn ein absoluter Amateur auf dem Gebiet der Stochas
tik wie der Autor einen solchen Text schreibt. Aber er hofft, dass die viele Mtihe,
die er gehabt hat, die Grundlagen zu lemen, seine Darstellung ftir Leidensge
nossen verstandlicher macht. Ich habe ungeniert aus vielen Quellen gesch6pft:
insbesondere den Vorlesungnotizen meiner beiden Dlisseldorfer Kollegen Hanns
Klinger und Klaus JanBen (der mich mit unermtidlicher Geduld immer wieder zu
Korrekturen und Verbesserungen tiberedet hat), den leider vergriffenen Studien
briefen des DIFF [St] und den professionellen Texten von KRENGEL [Kr] und
HENZE [He]. Brigitte Kaletha hat einige der Beispiele beigetragen und ausgear
beitet, Petra Gemein, Brigitte Singhof, Gabriele SliB und Oliver Wagener haben
die TEX-Vorlagen erstellt und die Graphiken produziert. Ihnen allen sei gedankt,
ebenso dem Verlag, der es gewagt hat den unzahligen Btichern tiber Stochastik
noch ein weiteres hinzuzuftigen.
Mtinchen, im Februar 2005 Gerd Fischer
Inhaltsverzeichnis
1 Beschreibende Statistik 3
1.1 Individuen und ihre Merkmale 3
1.2 Haufigkeiten.. 7
1.3 Mittelwerte . . . . . . . . . . 15
1.4 StreuungsmaJ3e . . . . . . . . 29
1.5 Vergleich verschiedener Merkmale 37
2 Wahrscheinlichkeitsrechnung 57
2.1 Relative Haufigkeit und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . 57
2.2 Gleichverteilung und Zufallsvariable . . . . . . . . . . . 71
2.3 Urnenmodelle und Simulation von Zufallsexperimenten 77
2.4 Binomialverteilung und hypergeometrische Verteilung . 89
2.5 Unabhiingige Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten . 99
2.6 Ubergangswahrscheinlichkeiten und Multinomialverteilung 109
2.7 Erwartungswert, Varianz, Covarianz. . . . . . . . . 123
2.8 Die Gaul3-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2.9 Kontinuierliche Ergebnisse und stetige Verteilungen 165
3 Schatzungen 185
3.1 Punktschiitzungen........ 185
3.2 Maximum-Likelihood-Schiitzer 197
3.3 Intervallschiitzungen . . . . . . 199
4 Testen von Hypothesen 211
4.1 Einseitiger Binomialtest ........... 213
4.2 Zweiseitiger Binomialtest . . . . . . . . . . . 223
4.3 Einseitiger Gaul3-Test bei bekannter Varianz 229
4.4 Zweiseitiger Gaul3-Test bei bekannter Varianz 241
4.5 Tests und Schatzungen ........ 247
4.6 Test bei unbekannter Varianz (t-Test) 251
4.7 Der x2-Test . . . . . . . . . . . . . . . 261
Anhang 279
1.4 Streuungsmal3e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
1.5 Vergleich verschiedener Merkmale . . . . . . . . . . . . 283
2.4 Binomialverteilung und hypergeometrische Verteilung . 289
2.5 Unabhangige Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten . 290
2.6 Mehrstufige Experimente, Ubergangswahrscheinlichkeiten
und Multinomialverteilung . . . . . 291
2.7 Erwartungswert, Varianz, Covarianz ............ 293
Vlll
2.8 Die GauB-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
2.9 Kontinuierliche Ergebnisse und stetige Verteilungen 312
4.6 und 4.7 Die r-Funktion von EULER ....... . 321
Literaturverzeichnis 323
Index 325
Stochastik
einmal anders
Beispiel (U"ifrugc in d uer Schule)
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