Stochastik: Einfuehrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

417 Pages·2009·2.905 MB·German

by  Georgii H.-O.

de Gruyter Lehrbuch
Georgii · Stochastik

Hans-Otto Georgii
Stochastik
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
und Statistik
4., überarbeitete und erweiterte Auflage
≥
Walter de Gruyter
Berlin · New York
Prof. Dr. Hans-Otto Georgii
Mathematisches Institut
LMU München
Theresienstr. 39
80333 München
Mathematics Subject Classification 2000: 60-01; 62-01
(cid:2)(cid:2) GedrucktaufsäurefreiemPapier,dasdieUS-ANSI-NormüberHaltbarkeiterfüllt.
ISBN 978-3-11-021526-7
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Vorwort
Überall herrscht Zufall – oder was wir dafür halten. Und zwar keineswegs nur beim
LottooderRoulette,woergezieltherausgefordertwird,sondernauchinwesentlichen
BereichenunseresAlltags.WennzumBeispielSchadenshäufigkeitenzurKalkulation
von Versicherungsprämien genutzt werden oder aktuelle Aktien-Charts zur Depot-
umschichtung, wenn sich Fahrzeuge an einer Kreuzung oder Datenpakete in einem
Internet-Router stauen, wenn Infektionen sich ausbreiten oder Bakterien resistente
Mutantenbilden,wennSchadstoffkonzentrationengemessenoderpolitischeEntschei-
dungenaufgrundvonMeinungsumfragengetroffenwerden–immeristeinegehörige
PortionZufallimSpiel,undimmergehtesdarum,dasZufallsgeschehenzuanalysie-
renundtrotzUnsicherheitrationaleSchlussfolgerungenzuziehen.Genaudiesistdie
Zielsetzung der Stochastik, der „Mathematik des Zufalls“. Die Stochastik ist daher
eine höchstangewandte Wissenschaft,diekonkretvorgegebene Fragenzubeantwor-
tensucht.ZugleichistsieaberauchechteMathematik–mitsystematischemAufbau,
klaren Konzepten, tiefenTheoremen undmanchmal überraschenden Querverbindun-
gen.DiesesZusammenspielvonAnwendungsnäheundmathematischerPräzisionund
Eleganz gibt der Stochastik ihren spezifischen Reiz, und eine Vielzahl natürlicher
FragestellungenbestimmtihrelebhafteundvielseitigeEntwicklung.
DiesesLehrbuchgibteineEinführungindietypischenDenkweisen,Methodenund
Ergebnisse der Stochastik. Es ist hervorgegangen aus einem zweisemestrigen Vorle-
sungszyklus,denichwiederholtamMathematischenInstitutderUniversitätMünchen
gehaltenhabe.EsrichtetsichanStudierendederMathematikabdemdrittenSemester
undebensoanNaturwissenschaftlerundInformatiker,welchedieStochastiknichtnur
anwenden, sondern auch von ihrer mathematischen Seite her verstehen wollen. Die
beiden Teilbereiche der Stochastik – Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik – sind
wegenihrerjeweilseigenenZielsetzungundMethodikinzweiseparatenTeilendarge-
stellt,abermitAbsichtineinemBandgleichberechtigtvereinigt.Denneinerseitsbaut
die Statistik auf den wahrscheinlichkeitstheoretischen Konzepten und Modellen auf,
andrerseitsbrauchtdieWahrscheinlichkeitstheoriedieStatistikfürdenBrückenschlag
zur Realität. Bei der Auswahl des Stoffes habe ich mich bewusst auf die zentralen
Themenbeschränkt,diezumStandardkanonderentsprechendenmathematischenVor-
lesungen gehören. (Esistunvermeidlich, dassdeshalb mancher deneinoderanderen
aktuellen Akzent vermissenwird, etwa die Resampling-Methoden der Statistik.) Die
Standardthemen jedoch werden inder gebotenen Ausführlichkeit behandelt. Statt ei-
nesEinstiegsmitdiskretenModellen,diebereitsimGymnasialunterrichteinenbreiten
vi Vorwort
Raum einnehmen, wird gleich zu Beginn der allgemeine (maßtheoretische) Rahmen
abgesteckt und motiviert, und auch sonst werden von Fall zu Fall einige eher theo-
retischeAspektediskutiert.Insgesamtbleibtdermaßtheoretische Apparatjedochauf
das absolut Notwendige beschränkt, und im Vordergrund steht die Vermittlung der
stochastischenIntuition.
DerStoffdiesesTextesumfasstetwasmehralszweivierstündigeVorlesungen.Wer
dasBuchimSelbststudiumliest,wirddeshalbeineAuswahltreffenwollen. Vielerlei
Möglichkeitenbietensichan.ZurerstenOrientierungkannmansichganzaufdieBe-
griffsbildungen, Sätze undBeispiele konzentrieren und dieBeweise übergehen. Dies
ist insbesondere ein gangbarer Weg für Nichtmathematiker. Zum tieferen Verständ-
nis gehört natürlich die Auseinandersetzung mit einer repräsentativen Auswahl von
Beweisen.WersichmehrfürdieTheorieinteressiertundschonkonkreteAnwendun-
genimKopf hat,kannumgekehrt einenTeilder Beispieleweglassen. Wermöglichst
schnellzurStatistikvordringenwill,kannsichinTeilIaufdieKernaussagenderAn-
fangsabschnitte bis einschließlich 3.4 sowie 4.1, 4.3, 5.1 und 5.2 beschränken. Das
Herzstück von Teil II sind die Abschnitte 7.1–5, 8.1–2, 9.2, Kapitel 10, sowie 11.2
und 12.1.Insgesamtkann esdem Überblick dienlich sein,imZweifelsfall eineText-
passagezuüberspringenunderstbeiBedarfdorthinzurückzukehren.ZurKlärungder
Bezeichnungskonventionen empfiehltsicheinBlickaufSeite393.
Die Übungsaufgaben sind jeweils am Kapitelende zusammengefasst. Wie üblich
dienensieteilsderAnwendung, teilsderAbrundungundErgänzungdesStoffes.Der
Schwierigkeitsgradvariiertentsprechend,istaberabsichtlichnichtkenntlichgemacht.
Ambestenistes,sichdiejenigenAufgabenherauszupicken,dieamehestendasInteres-
sewecken,undsichaneinerLösungzumindestzuversuchen.Einemweitverbreiteten
Wunschentsprechend,habeichindiese4.AuflageLösungsskizzenfüreinenTeilder
Aufgaben aufgenommen; diese Aufgaben sind durch L markiert. Ich hoffe, dass die
fürdenLerneffektwichtigeeigeneAktivitätderLeserdadurchnichtzurückgedrängt,
sondernbefördertwird.
WiejedesLehrbuchspeistsichauchdiesesausmehrQuellen,alsichimEinzelnen
zurückverfolgen kann. Offenkundig ist aber, dass ich viele Anregungen den klassi-
schenTextenvonU.Krengel[47]sowieK.KrickebergundH.Ziezold[49]verdanke,
welche die Einführungsvorlesungen in Stochastik an deutschen Universitäten nach-
haltiggeprägthaben.ZahlreicheAnregungenerhieltichfernervonmeinenMünchner
Stochastik-Kollegen Peter Gänßler und Helmut Pruscha sowie von allen, welche im
LaufederJahrealsAssistentendiebetreffendenÜbungenbetreuthaben:PeterImkeller,
AndreasSchief,FranzStrobl,KarinMünch-Berndl,KlausZiegler,BernhardEmmer,
StefanAdamsundThomasRichthammer.IhnenallengiltmeinherzlicherDank.Hin-
weise von Lesern erbitte ich an [email protected]. Meinen Studenten danke ich für
ihreFragen,diemichzuergänzenden Erläuterungenangeregthaben,unddemVerlag
undinsbesondereHerrnRobertPlatofürdiekonstanteUnterstützung.
München,imMai2009 Hans-OttoGeorgii
Inhalt
Vorwort v
ZufallundMathematik 1
I Wahrscheinlichkeitstheorie 5
1 MathematischeBeschreibungvonZufallssituationen 7
1.1 Wahrscheinlichkeitsräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 EigenschaftenundKonstruktionvonWahrscheinlichkeitsmaßen . . . 15
1.3 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 StochastischeStandardmodelle 27
2.1 DieGleichverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 UrnenmodellemitZurücklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 UrnenmodelleohneZurücklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 DiePoisson-Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Wartezeit-Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6 DieNormalverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 BedingteWahrscheinlichkeitenundUnabhängigkeit 52
3.1 BedingteWahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2 MehrstufigeModelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 ExistenzunabhängigerZufallsvariablen,Produktmaße . . . . . . . . . 71
3.5 DerPoisson-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6 Simulationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.7 AsymptotischeEreignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
viii Inhalt
4 ErwartungswertundVarianz 93
4.1 DerErwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 WartezeitparadoxundfairerOptionspreis. . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 VarianzundKovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4 ErzeugendeFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5 GesetzdergroßenZahlundzentralerGrenzwertsatz 120
5.1 DasGesetzdergroßenZahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2 DieNormalapproximationderBinomialverteilungen . . . . . . . . . 132
5.3 DerzentraleGrenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.4 Normal-oderPoisson-Approximation? . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6 Markov-Ketten 153
6.1 DieMarkov-Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.2 Absorptionswahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.3 AsymptotischeStationarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.4 RückkehrzumStartpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
II Statistik 191
7 Parameterschätzung 193
7.1 DerAnsatzderStatistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.2 DieQualderWahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7.3 DasMaximum-Likelihood-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.4 ErwartungstreueundquadratischerFehler . . . . . . . . . . . . . . . 207
7.5 BesteSchätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
7.6 KonsistenzvonSchätzern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.7 Bayes-Schätzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8 Konfidenzbereiche 229
8.1 DefinitionundKonstruktionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
8.2 Konfidenzintervalle imBinomialmodell . . . . . . . . . . . . . . . . 235
8.3 Ordnungsintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Inhalt ix
9 RundumdieNormalverteilung 249
9.1 DiemehrdimensionaleNormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.2 Dieχ2-, F-undt-Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
10 TestenvonHypothesen 263
10.1 Entscheidungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10.2 Alternativtests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.3 BesteeinseitigeTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.4 ParametertestsimGauß-Produktmodell . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11 AsymptotischeTestsundRangtests 291
11.1 Normalapproximation vonMultinomialverteilungen . . . . . . . . . . 291
11.2 DerChiquadrat-Anpassungstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
11.3 DerChiquadrat-TestaufUnabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.4 Ordnungs-undRangtests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
12 Regressions-undVarianzanalyse 326
12.1 EinfachelineareRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
12.2 DaslineareModell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
12.3 DaslineareGauß-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
12.4 Varianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Lösungsskizzen 357
Verteilungstabellen 383
Literatur 389
Symbolverzeichnis 393
Index 397