Table Of ContentGerhard HUbner
Stochastik
Mathematische Grundlagen ______ ___.....
der Informatik
Herausgeber: RolfM ohring, Walter Oberschelp
und Vietmar Pfeifer
Algorlthmische Lineare Algebra
von Herbert Moller
Analysis
von Gerald Schmieder
Numerik
von Helmuth Spath
Stochastik
von Gerhard Hilbner
Elnfiihrung In die Computergraphik
von Hans-Joachim Bungartz, Michael Griebel
und Christoph Zenger
vieweg ________________ ___
Gerhard Hubner
Stochastik
Eine anwendungsorientierte Einfuhrung
fUr Informatiker, Ingenieure und Mathematiker
4. Auflage
m
vleweg
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet liber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Prof. Dr. Gerhard Hiibner
Universitat Hamburg
Fachbereich Mathematik SP ST
BundesstraBe 55
20146 Hamburg
E-Mail: [email protected]
1. Auflage 1996
2., durchgesehene Auflage 2000
3., liberarbeitete Auflage April 2002
4. Auflage, Oktober 2003
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2003
Urspriinglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft 2003
www.vieweg.de
Das Werk einschlieBlich aHer seiner Teile ist urheberrechtlich ge
schlitzt. Jede Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Ur
heberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulăssig
und strafbar. Das gilt insbesondere fiir Vervielfăltigungen, Oberset
zungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbei
tung in elektronischen Systemen.
Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf săurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
ISBN 978-3-528-35443-5 ISBN 978-3-322-96958-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96958-3
v
Vorwort
Die vorliegende Einfiihrung in die Stochastik, die sich vorwiegend an Studierende
der Informatik richtet, geht in ihrer Konzeption im wesentlichen von den folgenden
drei Gesichtspunkten aus:
1. Die Anwendung soll im Vordergrund stehen. Der Leser soll in die Lage versetzt
werden, bei konkreten Vorgiingen mit Zufallseinfluss die wesentlichen Aspekte zu
erkennen, ein geeignetes Modell zu finden und daraus Prognosen und gegebenenfalls
Entscheidungshilfen abzuleiten.
2. Es sollen interessante und aktuelle Anwendungsbereiche einbezogen werden, die
sonst in einfuhrenden Lehrbuchern meist nicht behandelt werden, so z.B. Bedie
nungsmodelle, wie sie u.a. bei der Bewertung von Kommunikationsnetzen eine we
sentliche Rolle spielen, oder Aspekte von Simulationsmethoden, die immer dann
zum Zuge kommen, wenn die analytische Lasung eines Problems zu komplex wird
oder nicht bekannt ist.
3. Der Umfang soll uberschaubar sein, urn den Einstieg in die Stochastik zu er
leichtern. Es kann daher in vielen Bereichen nur ein begrenzter Einblick gegeben
werden, der zur Lasung von einfachen Problemen ausreicht, daneben aber fur kom
plexere Fragestellungen ein gewisses Verstiindnis ermaglicht, Interesse weckt und
die wesentlichen Grundlagen bereitstellt, urn eine Beschiiftigung mit schwierigeren
Aufgaben anhand weiterfiihrender Literatur oder in entsprechenden Lehrveranstal
tungen zu ermaglichen.
Formale Elemente und Strukturen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie sollen nur
insoweit einbezogen werden, wie sie einerseits als Handwerkszeug zur Modellierung
und Lasung praktischer Probleme gebraucht werden und andererseits die Einord
nung von einzelnen Aspekten und Methoden in ubergreifende Gesetzmiif&igkeiten
ermaglichen. Auf&erdem soll auch bei Vereinfachungen nach Maglichkeit auf Uber
einstimmung mit den sonst ublichen Bezeichnungen und Sprechweisen geachtet
werden.
In clieses Konzept sind im wesentlichen Erfahrungen aus clen regelmiif&igen Einfiih
rungsveranstaltungen "Stochastik fur Stuclierencle cler Informatik" an der Univer
sitiit Hamburg, aber auch aus ancleren Lehrveranstaltungen eingeflossen. Es liisst
sich clamit, wenigstens teilweise, auch auf entsprechende Veranstaltungen fur Stu
clierencle cler Mathematik, vVirtschaftsmathematik unci cler Ingenieurwissenschaf
ten anwenclen, .ie nach Beclarf ergiinzt durch vertiefencle theoretische ocler spezielle
angewanclte Themenbereiche.
Der verstiirkte Einsatz von graphischen Elementen das besonclere Herausheben
von wichtigen Stichwartern, clip Kennzeichnung von Beispielen clurch anschauliche
Symbole unci eine groge Zahl von Skizzen, Funktionsclarstellungen und Tabellen -
VI Vorwort
soli das Verstandnis, die visuelle Vorstellung, das Einpragen und das Nachschlagen
erleichtern.
An dieser Stelle mochte ich allen danken, die an der Entstehung dieses Buches mit
gewirkt haben:
den Horerinnen und Horern meiner Vorlesungen, sowie den an den Ubungen be
teiligten studentischen Hilfskraften fUr ihre Mitarbeit und fiir aile kritischen und
ermunternden Aul/,erungen,
meinen Hamburger Kolleginnen und Kollegen, Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern
fiir unzahlige Diskussionen, didaktische Uberlegungen und praktische Verbesse
rungsvorschlage,
allen Autoren von Lehrbiichern fUr manche Anregungen, Beispiele und Ubungsauf
gaben, deren Herkunft nicht immer im Einzelnen nachvollziehbar ist,
meinen akademischen Lehrern, die meine Einstellung zum mathematischen Den
ken und Forschen gepragt haben, insbesondere Herrn Prof. Hinderer, der seinem
damaligen Assistenten neben aller formalen Strenge seine Aufgeschlossenheit fiir
Anwendungen vermittelt hat,
dem Vieweg-Verlag und den Herausgebern fiir das Angebot, dieses Lehrbuch in der
Reihe "Mathematische Grundlagen der Informatik" zu veroffentlichen, fiir die gute
Zusammenarbeit und fiir aile Unterstiitzung bei redaktionellen Fragen,
den Studierenden Stefan Behnke und Stephan Engelke fUr ihren unermiidlichen
und engagierten Einsatz bei der Herstellung und Gestaltung der Druckvorlage, ins
besondere auch der Abbildungen,
und nicht zuletzt meiner Familie fUr manche Ermutigung und manchen Verzicht.
Hamburg, im September 1995 Gerhard Hiibner
Die vorliegende vierte Aufiage wurde neben notwendigen Korrekturen und Abrun
dungen erganzt durch zusatzliche Anmerkungen zum mathematischen Hintergrund,
insbesondere durch einen Exkurs iiber das Mal/,-Integral und einen Abschnitt iiber
die Gesetze der grol/,en Zahlen und den Zentralen Grenzwertsatz, sowie eine Erwei
terung des Statistik-Teils, u.a. mit erst en Einblicken in die Varianz-Analyse. Die
allgemeine Struktur des Buches einschliel/,lich des anwendungsorientierten Konzepts
wird dadurch nicht beeinfiusst. Die zusatzlichen Anmerkungen sollen die Leserin
nen und Leser neugierig machen auf weitere Erkundungen in der geheimnisvollen
Welt der Stochastik und allgemein der Mathematik. Aul/,erdem soli unter
http://www.math.uni-hamburg.de/home/huebner/buchservice.html
ein begleitender Online-Service aufgebaut werden, der weiteres Material fiir Stu
dierende und Dozenten zur Verfiigung stellt.
Allen Kollegen und Studierenden, die durch Hinweise und Vorschlage zur Verbes
serung dieser und der vorangehenden Aufiagen beigetragen haben, gilt me in beson
derer Dank.
G. H.
vii
Inhaltsverzeichnis
1 Einfiihrung 1
1.1 Was ist Stochastik? 1
1.2 Anwendungsbereiche der Stochastik 1
1.3 Modell und Realitiit ... 3
1.4 Fragestellungen und Ziele 4
1.5 Beschreibende Statistik . 6
1.6 Aufgaben ....... . 9
2 Wahrscheinlichkeits-Modelle 11
2.1 Die Modell-Bausteine . 11
2.2 Der Merkmalraum n 12
2.3 Zusammengesetzte Merkmale 13
2.4 Ereignisse . . . . . . . . . . . 14
2.5 Das Ereignis-System A .... 17
2.6 Darstellung von Ereignissen durch Zufallsvariable 19
2.7 Relative Hiiufigkeit und Wahrscheinlichkeit .... 21
2.8 Weitere Eigenschaften von WahrscheinlichkeitsmaBen 26
2.9 Elementare bedingte Wahrscheinlichkeiten 27
2.10 Aufgaben ................. . 29
3 Darstellungen von WahrscheinlichkeitsmaEen 33
3.1 Diskrete W-MaBe und Ziihldichten .. 33
3.2 Stetige W-MaBe und Riemann-Dichten 36
3.3 Verteilungsfunktionen. 41
3.4 Aufgaben ..... . 46
4 Mehrstufige W-Modelle, Koppelung 47
4.1 Koppelung diskreter W-Modelle 47
4.2 Koppelung stetiger W-Modelle . 49
4.3 Unabhiingige Koppelung .... 49
VII! Inhal tsverzeichnis
4.4 Markov-Koppelung ........ . 52
4.5 Zufiilliges Ziehen ohne Zuriicklegen 53
4.6 Folgen von Koppelungsmodellen 56
4.7 Aufgaben ........... . 57
5 Zufallsvariable und Bildmodelle 59
5.1 Zufallsvariable und messbare Abbildungen 59
5.2 Bildmodelle und Verteilungen von Zufallsvariablen . 60
5.3 Hypergeometrische und Binomial-Modelle ..... 62
5.4 Die Poisson-Approximation der Binomial-Verteilung . 64
5.5 Die Normal-Approximation der Binomial-Verteilung . 65
5.6 Wartezeiten - die geometrische Verteilung . . . . . . 66
5.7 Mehrfaches Wart en -- die negative Binomialverteilung 68
5.8 Bild-Verteilungen fiir stetige W-1Vlodelie ..... . 69
5.9 Randverteilung und gemeinsame Verteilung 71
5.10 Stochastische Unabhiingigkeit von Zufallsvariablen . 74
5.11 Summen-Verteilungen und Faltung 78
5.12 Aufgaben ............. . 82
6 KenngroEen 87
6.1 Mediane und Quantile 87
6.2 Erwartungswert: Einfiihrung 89
6.3 Erwartungswert: diskrete Modelle 90
6.4 Erwartungswert: stetige und gemischte Modelle 96
6.5 Streuung und Varianz 102
6.6 Kovarianz ...... . 105
6.7 Mehrdimensionale Normalverteilung . 107
6.8 Zufiillige Summen und bedingte Erwartungswerte 110
6.9 Gesetze der grolben Zahlen 115
6.10 Aufgaben ........ . 118
7 Modelle fiir stochastische Prozesse 123
7.1 Vorbemerkungen ......... . 123
7.2 Markov-Ketten - einige Grundbegriffe . 124
7.3 Markov-Ketten im Gleichgewicht 127
7.4 Aufgaben ............ . 132
IX
8 Bediensysteme 133
8.1 Vorbemerkungen ...... . 133
8.2 Das Bedienmodell MIMI11°c . 135
8.3 Das MIMl1-Bediensystem im Gleichgewicht 139
8.4 LeistungsmaRe im MIMl1-Bediensystem 141
8.5 MIMlslc-Bediensysteme ... 145
8.6 Andere Bedienzeitverteilungen 152
8.7 Gekoppelte Bediensysteme - Bediennetze 153
8.8 Bedienmodelle mit stetiger Zeit 158
8.9 Aufgaben ......... . 160
9 Zufallszahlen und Simulation 163
9.1 Vorbemerkungen ..... . 163
9.2 Erzeugen gleichverteilter Zufallszahlen 163
9.3 Zufallszahlen mit anderen Verteilungen 165
9.4 Anwendung von Simulationsverfahren . 169
9.5 Aufgaben ............... . 171
10 Grundfragen der Statistik 173
10.1 Typische Problemstellungen 173
10.2 Punktschatzung .. 175
10.3 Intervallschatzung . 177
10.4 Testen von Hypothesen . 181
10.5 Vergleiche mehrerer Stichproben, Varianz-Analyse 184
10.6 Chi-Quadrat-Anpassungstest . 187
10.7 Test auf Unabhangigkeit 189
10.8 Aufgaben ....... . 190
A Tabellen 193
A.1 Die wichtigsten diskreten Verteilungen 193
A.2 Die wichtigsten stetigen Verteilungen . 194
A.3 Werte der Standard-Normalverteilung . 195
A.4 Quantile der Standard-Normalverteilung 196
A.5 Quantile der Student-Verteilung . . . 196
A.6 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung 197
x Inhaltsverzeichnis
Literaturverzeichnis 199
Symbole und Abkiirzungen 202
Stichwortverzeichnis 203
