Stochastik 2: Von der Standardabweichung bis zur Beurteilenden Statistik

424 Pages·2020·7.81 MB·German

by  Michael Barot, Juraj Hromkovič

Grundstudium Mathematik
Michael Barot
Juraj Hromkovič
Stochastik 2
Von der Standardabweichung bis zur
Beurteilenden Statistik
Grundstudium Mathematik
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Michael Barot • Juraj Hromkovicˇ
Stochastik 2
Von der Standardabweichung bis zur
Beurteilenden Statistik
MichaelBarot JurajHromkovicˇ
KantonsschuleSchaffhausen DepartementInformatik
Schaffhausen,Schweiz ETHZürich
Zürich,Schweiz
ISSN2504-3641 ISSN2504-3668(eBook)
GrundstudiumMathematik
ISBN978-3-030-45552-1 ISBN978-3-030-45553-8(eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-030-45553-8
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Birkhäuser
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DieAnschriftderGesellschaftist:Gewerbestrasse11,6330Cham,Switzerland
Danksagung
DieAutorenbedankensichbeiderFachschaftMathematikderKantonsschuleSchaffhau-
sen,insbesonderebeiAlexAlder,DanielBaumgartner,GiancarloCopetti,MichaelGerike,
DavidMaletinskyundUeliManz,fürBeispiele,AnregungenundkritischeDiskussionen.
Der erstgenannte Autor bedankt sich auch bei der Schulleitung der Kantonsschule
SchaffhausenundbeiderETH,diewesentlichdazubeigtragenhaben,dieErstellungdes
Bucheszuerleichtern.GanzherzlichenDankgehtauchanElkeBülowfürdassorgfältige
Korrekturlesen.
V
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung........................................................................... 1
2 Standardabweichung.............................................................. 5
2.1 Zielsetzung................................................................. 5
2.2 EinMaßfürdieStreuung.................................................. 5
2.3 ÜbertragungaufZufallsvariablen......................................... 9
2.4 EinealternativeBerechnungsmöglichkeit ................................ 15
2.5 DieStandardabweichungbeiBernoulli-Prozessen....................... 18
2.6 NützlichesüberErwartungswerte......................................... 22
2.7 DieVarianzbeiunabhängigenExperimenten ............................ 23
2.8 Zusammenfassung ......................................................... 30
2.9 Kontrollfragen.............................................................. 30
2.10 LösungenzuausgewähltenAufgaben .................................... 31
3 AnwendungeninderDatenverwaltung ......................................... 35
3.1 DatenverwaltungmitvollständigsortiertenDaten ....................... 36
3.2 Exkurs:GewichteteSummenvonZweierpotenzen ...................... 42
3.3 SucheinungeordnetabgespeichertenDaten ............................. 49
3.4 Exkurs:DieSummederQuadrate ........................................ 53
3.5 GuteHashfunktionen ...................................................... 56
3.6 UniversellesHashing ...................................................... 66
3.7 ExkursinAlgebraundZahlentheorie..................................... 71
3.8 ZweiKlassenvonHashfunktionen........................................ 82
3.9 Zusammenfassung ......................................................... 85
3.10 Kontrollfragen.............................................................. 86
3.11 LösungenzuausgewähltenAufgaben .................................... 87
4 DieWahrscheinlichkeitvonWertebereichen................................... 95
4.1 Zielsetzung................................................................. 95
4.2 BereichemitgroßerWahrscheinlichkeit.................................. 95
4.3 BerechnungenbeiBernoulli-Prozessen................................... 102
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
4.4 σ-Umgebungen ............................................................ 105
4.5 DieTschebyschowscheUngleichung..................................... 109
4.6 Zusammenfassung ......................................................... 112
4.7 Kontrollfragen.............................................................. 113
4.8 LösungenzuausgewähltenAufgaben .................................... 114
5 DasGesetzdergroßenZahlen ................................................... 117
5.1 Zielsetzung................................................................. 117
5.2 DieEntwicklungrelativerHäufigkeiten .................................. 117
5.3 Exkurs:DerBegriffdesGrenzwerts...................................... 123
5.4 Bernoulli-Prozesse,Fortsetzung .......................................... 131
5.5 FormulierungundBeweisdesGesetzesdergroßenZahlen ............. 133
5.6 Pseudozufallsgeneratoren.................................................. 143
5.7 Zusammenfassung ......................................................... 149
5.8 Kontrollfragen.............................................................. 150
5.9 LösungenzuausgewähltenAufgaben .................................... 150
6 StetigeZufallsvariablen........................................................... 155
6.1 Zielsetzung................................................................. 155
6.2 ModellierungdesexponentiellenZerfalls ................................ 155
6.3 DieuniformeVerteilung................................................... 161
6.4 Dichtefunktionen........................................................... 165
6.5 DiestandardisierteNormalverteilung..................................... 170
6.6 DieKolmogorowschenAxiome........................................... 177
6.7 Zusammenfassung ......................................................... 182
6.8 Kontrollfragen.............................................................. 183
6.9 LösungenzuausgewähltenAufgaben .................................... 184
7 ModellierenmitderNormalverteilung.......................................... 189
7.1 Zielsetzung................................................................. 189
7.2 EintypischesMusterbeiMessungen ..................................... 190
7.3 TranslationundStreckungvonFunktionsgraphen ....................... 195
7.4 DerErwartungswerteinerstetigenZufallsvariable....................... 203
7.5 DieVarianzunddieStandardabweichungeinerstetigen
Zufallsvariable ............................................................. 208
7.6 LineareTransformationenvonZufallsvariablen.......................... 211
7.7 DieallgemeineNormalverteilung......................................... 213
7.8 Q-Q-Plots................................................................... 221
7.9 Zusammenfassung ......................................................... 229
7.10 Kontrollfragen.............................................................. 230
7.11 LösungenzuausgewähltenAufgaben .................................... 230
Inhaltsverzeichnis IX
8 DerzentraleGrenzwertsatz ...................................................... 235
8.1 Zielsetzung................................................................. 235
8.2 VonEinflussfaktorenzuSummen......................................... 236
8.3 EinStudienbeispiel ........................................................ 238
8.4 DieAussagedeszentralenGrenzwertsatzes.............................. 244
8.5 AnwendungenderNäherungdurchdieNormalverteilung............... 249
8.6 DieSummeunabhängigerstetigerZufallsvariablen ..................... 255
8.7 DieErwartungstreue....................................................... 265
8.8 Zusammenfassung ......................................................... 268
8.9 Kontrollfragen.............................................................. 269
8.10 LösungenzuausgewähltenAufgaben .................................... 270
9 ModellierungvonUmfragen ..................................................... 273
9.1 Zielsetzung................................................................. 273
9.2 DasGrundproblem......................................................... 274
9.3 DiehypergeometrischeVerteilung........................................ 276
9.4 KompatibleSchätzungen.................................................. 284
9.5 Erwartungswert und Standardabweichung der
hypergeometrischenVerteilung ........................................... 289
9.6 AbschätzungderkompatiblenWerte...................................... 295
9.7 EineinfacheresModell.................................................... 300
9.8 DieWichtigkeitderZufälligkeitbeiderAuswahlderBefragten........ 308
9.9 Zusammenfassung ......................................................... 309
9.10 Kontrollfragen.............................................................. 309
9.11 LösungenzuausgewähltenAufgaben .................................... 311
10 Hypothesentests.................................................................... 315
10.1 Zielsetzung................................................................. 315
10.2 DerBinomialtest........................................................... 316
10.3 EinseitigeroderzweiseitigerTest?........................................ 320
10.4 Fehlerder1.und2.Art.................................................... 323
10.5 DieMachteinesTests ..................................................... 325
10.6 DieallgemeineVorgehensweise........................................... 329
10.7 DerP-Wert ................................................................. 330
10.8 DerexakteTestnachFisher............................................... 334
10.9 TestaufZufälligkeit ....................................................... 340
10.10 Zusammenfassung ......................................................... 344
10.11 Kontrollfragen.............................................................. 346
10.12 LösungenzuausgewähltenAufgaben .................................... 347
X Inhaltsverzeichnis
11 ExperimentierenmitdemComputer............................................ 353
11.1 DieMonteCarloMethode................................................. 354
11.2 Die Monte Carlo Methode zur Flächeninhalts- und
Volumenbestimmung ...................................................... 359
11.3 DieMonteCarloIntegration .............................................. 361
11.4 WeiteregeometrischeProblemstellungen ................................ 364
11.5 DieBrownscheBewegung ................................................ 368
11.6 Zufallsstreckungen......................................................... 376
11.7 Zusammenfassung ......................................................... 378
11.8 Kontrollfragen.............................................................. 379
11.9 LösungenzuausgewähltenAufgaben .................................... 379
12 LineareRegression ................................................................ 385
12.1 Zielsetzung................................................................. 385
12.2 DieProblemstellung....................................................... 385
12.3 DieLösung................................................................. 392
12.4 UrsprungderstatistischenSchwankungen ............................... 397
12.5 LineareRegressionfüreinnichtlinearesModell......................... 399
12.6 EinMaßfürdieGütedesModells........................................ 403
12.7 DasStandardmodell ....................................................... 408
12.8 ErwartungstreuederKoeffizientenimStandardmodell.................. 410
12.9 Zusammenfassung ......................................................... 413
12.10 Kontrollfragen.............................................................. 414
12.11 LösungenzuausgewähltenAufgaben .................................... 414
Literaturverzeichnis .................................................................... 417
Stichwortverzeichnis.................................................................... 419
1
Einleitung
In Band 1 dieses Werkes haben wir die grundlegenden Begriffe der Wahrscheinlich-
keitstheorie kennen gelernt. Ausgegangen sind wir dabei von Zufallsexperimenten, das
sind Experimente, welche am Ende verschiedene Auflösungen hervorbringen können:
verschiedene Resultate (Ergebnisse oder elementare Ereignisse). Wir haben dazu die
zugehörigenmathematischenModellestudiert:dieWahrscheinlichkeitsräume.Außerdem
haben wir kennen gelernt, was Zufallsvariablen sind und wie diese eingesetzt werden
können, um Vorhersagen in Zufallsexeprimenten zu berechnen, wie zum Beispiel den
durchschnittlichenGewinnbeieinemGlücksspiel.
Zusammenfassend können wir sagen, dass alle Berechnungen im 1. Band immer
vollständig durchgeführt werden konnten, auch wenn diese etwas aufwändig waren und
derEinsatzeinesgutenTaschenrechnershilfreichwar.
Indiesem2.Bandwirdsichdiesändern.WirwerdenwesentlichhäufigerSituationen
betrachten, bei denen wir ein Resultat nur durch eine Ungleichung abschätzen können.
Ganz wichtig ist dabei der Begriff der Approximation, der Annäherung. Die ganze
Mathematik birgt in sich diese zwei Ansätze: die exakte Rechnung einerseits und die
annähernde Abschätzung andererseits. In diesem Band wird nun der zweite Charakter
stärker zum Tragen kommen. In beiden Fällen wollen wir aus bestimmten Tatsachen
gewisseVorhersagenmachen.
InderFolgefassenwirdenInhaltdiesesBandesinallerKürzezusammen.
Wir starten im nächsten Kapitel mit der Einführung eines neuen Begriffs: der so-
genannten Standardabweichung. Diese Standardabweichung misst bei einer gegebenen
Zufallsvariablen, wie stark die Werte im Mittel vom Erwartungswert abweichen. Das ist
eine wichtige Vorhersage. Sie sagt uns, welche Resultate eines Experiments als typisch
oder als unerwartet betrachtet werden können. Im Kap.3 wird der Erwartungswert, den
wirbereitsimBand1eingeführthaben,unddieStandardabweichungeingesetzt,umden
©Der/dieHerausgeberbzw.der/dieAutor(en),exklusivlizenziertdurch 1
SpringerNatureSwitzerlandAG2020
M.Barot,J.Hromkovicˇ,Stochastik2,GrundstudiumMathematik,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-45553-8_1