Table Of ContentSteven Shreve: Stochastic Calculus and Finance
PRASAD CHALASANI SOMESH JHA
CarnegieMellon University CarnegieMellon University
[email protected] [email protected]
c Copyright;StevenE.Shreve,1996
(cid:13)
July 25,1997
Contents
1 IntroductiontoProbabilityTheory 11
1.1 TheBinomialAssetPricingModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 FiniteProbabilitySpaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 LebesgueMeasureandtheLebesgueIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 GeneralProbabilitySpaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.1 Independenceofsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.2 Independenceof -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
(cid:27)
1.5.3 Independenceofrandomvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.4 Correlationandindependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.5 Independenceandconditionalexpectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.6 LawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.5.7 CentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 ConditionalExpectation 49
2.1 ABinomialModelforStockPriceDynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 ConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1 Anexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 DefinitionofConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.3 FurtherdiscussionofPartialAveraging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.4 PropertiesofConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.5 ExamplesfromtheBinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1
2
3 ArbitragePricing 59
3.1 BinomialPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Generalone-stepAPT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Risk-NeutralProbabilityMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.1 PortfolioProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2 Self-financingValueofaPortfolioProcess . . . . . . . . . . . . . . . . 62
(cid:1)
3.4 SimpleEuropeanDerivativeSecurities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 TheBinomialModelisComplete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 TheMarkovProperty 67
4.1 BinomialModelPricingandHedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 ComputationalIssues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 MarkovProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.1 DifferentwaystowritetheMarkovproperty . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 ShowingthataprocessisMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 ApplicationtoExoticOptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 StoppingTimesandAmericanOptions 77
5.1 AmericanPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 ValueofPortfolioHedginganAmericanOption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 InformationuptoaStoppingTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 PropertiesofAmericanDerivativeSecurities 85
6.1 Theproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 ProofsoftheProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 CompoundEuropeanDerivativeSecurities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 OptimalExerciseofAmericanDerivativeSecurity. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 Jensen’sInequality 91
7.1 Jensen’sInequalityforConditionalExpectations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 OptimalExerciseofanAmericanCall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 StoppedMartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8 RandomWalks 97
8.1 FirstPassageTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3
8.2 isalmostsurelyfinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
(cid:28)
8.3 Themomentgeneratingfunctionfor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
(cid:28)
8.4 Expectationof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
(cid:28)
8.5 TheStrongMarkovProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.6 GeneralFirstPassageTimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.7 Example: PerpetualAmericanPut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.8 DifferenceEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.9 DistributionofFirstPassageTimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.10 TheReflectionPrinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9 PricingintermsofMarketProbabilities: TheRadon-NikodymTheorem. 111
9.1 Radon-NikodymTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.2 Radon-NikodymMartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.3 TheStatePriceDensityProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.4 StochasticVolatilityBinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.5 AnotherApplicatonoftheRadon-NikodymTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10 CapitalAssetPricing 119
10.1 AnOptimizationProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11 GeneralRandomVariables 123
11.1 LawofaRandomVariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.2 DensityofaRandomVariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.3 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.4 Tworandomvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.5 MarginalDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.6 ConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.7 ConditionalDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.8 MultivariateNormalDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.9 Bivariatenormaldistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
11.10MGFofjointlynormalrandomvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12 Semi-ContinuousModels 131
12.1 Discrete-timeBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4
12.2 TheStockPriceProcess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.3 RemainderoftheMarket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.4 Risk-NeutralMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.5 Risk-NeutralPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.6 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.7 StalkingtheRisk-NeutralMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.8 PricingaEuropeanCall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13 BrownianMotion 139
13.1 SymmetricRandomWalk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.2 TheLawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.3 CentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
13.4 BrownianMotionasaLimitofRandomWalks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.5 BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.6 CovarianceofBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
13.7 Finite-DimensionalDistributionsofBrownianMotion. . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.8 FiltrationgeneratedbyaBrownianMotion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.9 MartingaleProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.10TheLimitofaBinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.11StartingatPointsOtherThan0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.12MarkovPropertyforBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.13TransitionDensity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.14FirstPassageTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
14 TheItoˆ Integral 153
14.1 BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.2 FirstVariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.3 QuadraticVariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.4 QuadraticVariationasAbsoluteVolatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.5 ConstructionoftheItoˆ Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.6 Itoˆ integralofanelementaryintegrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.7 PropertiesoftheItoˆ integralofanelementaryprocess . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.8 Itoˆ integralofageneralintegrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5
14.9 Propertiesofthe(general)Itoˆ integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.10QuadraticvariationofanItoˆ integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
15 Itoˆ’sFormula 167
15.1 Itoˆ’sformulaforoneBrownianmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
15.2 DerivationofItoˆ’sformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
15.3 GeometricBrownianmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15.4 QuadraticvariationofgeometricBrownianmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.5 VolatilityofGeometricBrownianmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.6 FirstderivationoftheBlack-Scholesformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.7 MeanandvarianceoftheCox-Ingersoll-Rossprocess . . . . . . . . . . . . . . . . 172
15.8 MultidimensionalBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
15.9 Cross-variationsofBrownianmotions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
15.10Multi-dimensionalItoˆ formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
16 MarkovprocessesandtheKolmogorovequations 177
16.1 StochasticDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
16.2 MarkovProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
16.3 Transitiondensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
16.4 TheKolmogorovBackwardEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
16.5 ConnectionbetweenstochasticcalculusandKBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
16.6 Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
16.7 Black-Scholeswithprice-dependentvolatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
17 Girsanov’stheoremandtherisk-neutralmeasure 189
17.1 Conditionalexpectationsunder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
IP
17.2 Risk-neutralmeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
f
18 MartingaleRepresentationTheorem 197
18.1 MartingaleRepresentationTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
18.2 Ahedgingapplication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
18.3 -dimensionalGirsanovTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
d
18.4 -dimensionalMartingaleRepresentationTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
d
18.5 Multi-dimensionalmarketmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6
19 Atwo-dimensionalmarketmodel 203
19.1 Hedgingwhen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
1 < (cid:26)< 1
19.2 Hedgingwhen(cid:0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
(cid:26) = 1
20 PricingExoticOptions 209
20.1 ReflectionprincipleforBrownianmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
20.2 UpandoutEuropeancall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
20.3 Apracticalissue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
21 AsianOptions 219
21.1 Feynman-KacTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
21.2 Constructingthehedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
21.3 PartialaveragepayoffAsianoption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
22 SummaryofArbitragePricingTheory 223
22.1 Binomialmodel,HedgingPortfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
22.2 Settingupthecontinuousmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
22.3 Risk-neutralpricingandhedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
22.4 Implementationofrisk-neutralpricingandhedging . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
23 RecognizingaBrownianMotion 233
23.1 Identifyingvolatilityandcorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
23.2 Reversingtheprocess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
24 Anoutsidebarrieroption 239
24.1 Computingtheoptionvalue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
24.2 ThePDEfortheoutsidebarrieroption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
24.3 Thehedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
25 AmericanOptions 247
25.1 PreviewofperpetualAmericanput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
25.2 FirstpassagetimesforBrownianmotion:firstmethod. . . . . . . . . . . . . . . . 247
25.3 Driftadjustment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
25.4 Drift-adjustedLaplacetransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
25.5 Firstpassagetimes: Secondmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
7
25.6 PerpetualAmericanput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
25.7 ValueoftheperpetualAmericanput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
25.8 Hedgingtheput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
25.9 PerpetualAmericancontingentclaim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
25.10PerpetualAmericancall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
25.11Putwithexpiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
25.12Americancontingentclaimwithexpiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
26 Optionsondividend-payingstocks 263
26.1 Americanoptionwithconvexpayofffunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
26.2 Dividendpayingstock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
26.3 Hedgingattime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
t1
27 Bonds,forwardcontractsandfutures 267
27.1 Forwardcontracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
27.2 Hedgingaforwardcontract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
27.3 Futurecontracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
27.4 Cashflowfromafuturecontract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
27.5 Forward-futurespread. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
27.6 Backwardationandcontango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
28 Term-structure models 275
28.1 Computingarbitrage-freebondprices: firstmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
28.2 Someinterest-ratedependentassets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
28.3 Terminology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
28.4 Forwardrateagreement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
28.5 Recoveringtheinterest fromtheforwardrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
r(t)
28.6 Computingarbitrage-freebondprices: Heath-Jarrow-Mortonmethod. . . . . . . . 279
28.7 Checkingforabsenceofarbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
28.8 ImplementationoftheHeath-Jarrow-Mortonmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
29 Gaussianprocesses 285
29.1 Anexample: BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
30 HullandWhitemodel 293
8
30.1 Fiddlingwiththeformulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
30.2 Dynamicsofthebondprice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
30.3 CalibrationoftheHull&Whitemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
30.4 Optiononabond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
31 Cox-Ingersoll-Rossmodel 303
31.1 Equilibriumdistributionof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
r(t)
31.2 Kolmogorovforwardequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
31.3 Cox-Ingersoll-Rossequilibriumdensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
31.4 BondpricesintheCIRmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
31.5 Optiononabond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
31.6 DeterministictimechangeofCIRmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
31.7 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
31.8 Trackingdown inthetimechangeoftheCIRmodel . . . . . . . . . . . . . 316
’0(0)
32 Atwo-factormodel(Duffie&Kan) 319
32.1 Non-negativityof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
Y
32.2 Zero-couponbondprices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
32.3 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
33 Changeofnume´raire 325
33.1 Bondpriceasnume´raire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
33.2 Stockpriceasnume´raire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
33.3 Mertonoptionpricingformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
34 Brace-Gatarek-Musielamodel 335
34.1 ReviewofHJMunderrisk-neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
IP
34.2 Brace-Gatarek-Musielamodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
34.3 LIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
34.4 ForwardLIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
34.5 Thedynamicsof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
L(t;(cid:28))
34.6 ImplementationofBGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
34.7 Bondprices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
34.8 ForwardLIBORundermoreforwardmeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
9
34.9 Pricinganinterestratecaplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
34.10Pricinganinterestratecap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
34.11CalibrationofBGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
34.12Longrates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
34.13Pricingaswap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
