Statistische Physik: Von der Thermodynamik zur Quantenstatistik in fünf Postulaten

489 Pages·2017·6.01 MB·German

by  Peter van Dongen (auth.)

Peter van Dongen
Statistische
Physik
Von der Thermodynamik zur
Quantenstatistik in fünf Postulaten
Statistische Physik
Peter van Dongen
Statistische Physik
Von der Thermodynamik zur
Quantenstatistik in fünf Postulaten
Peter van Dongen
Mainz, Deutschland
ISBN 978-3-662-55499-9 ISBN 978-3-662-55500-2 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-55500-2
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Vorwort
Das Ziel dieses Buches ist, das Fach „Statistische Physik“ in einer Weise dar-
zustellen, die auf klar definierten Ausgangspunkten(„Postulaten“) beruht, modern
undanwendungsbezogenistundmöglichsteffektivundtransparentvondenGrund-
sätzenzu diesenAnwendungenführt. Hierbei solldas Buchden andeutschenUni-
versitäten üblichen Kanon abdecken. Damit das Buch optimal als Begleitliteratur
zu Vorlesungen über „Statistische Physik“ geeignet ist, sind bewusst keine The-
mengebiete aufgenommen, die in diesem Kanon nicht enthalten sind. Jedes „ka-
nonische“ Themengebiet wird allerdings hinreichend ausführlich behandelt, damit
es den Dozent(inn)en möglich ist, innerhalb der Grenzen des Kanons eine ihrem
Geschmack und ihren Interessen entsprechende Auswahl zu treffen. Das Ziel des
Buches ist also eine flexibel („modular“) einsetzbare und dennoch klar fokussier-
te und kohärente Darstellung der „Statistischen Physik“. Hierbei sollen Konzepte
von zentraler Bedeutung für die moderne Forschung wie „Dichteoperator“, „Viel-
teilchenentropie“ und „Variationsprinzipien“ im Vordergrundstehen. Generell wird
versucht,die quantenmechanischeNatur der Realitäternstzunehmen; aus diesem
GrundwerdenquantenmechanischeBeispielegegenüberklassischenbevorzugt.Bei
jedem Beispiel werden,wenn möglich,jedoch auch das klassische Pendant und der
klassische Limes diskutiert. Bereits im grundlegenden Kapitel über Thermodyna-
mik werden auch Beispiele aus der Quantenphysik behandelt.
Dieses Buch ist für den Studiengang B.Sc. Physik konzipiert. Die Zielgrup-
pen sind also primär Bachelorstudierende der Physik sowie Bachelorstudierende
der Mathematik oder Chemie mit Nebenfach Physik. Das Buch kann aber auch in
Teilen (z.B. „Thermodynamik“, „kinetische Theorie“) für physiknahe Studiengän-
ge wie Meteorologie, Chemie, Astrophysik oder Ingenieurwissenschaften verwen-
det werden. Als Vorwissen werden Basiskenntnisse auf den Gebieten der Mecha-
nik, Elektrodynamik,Quantenmechanik und Mathematik vorausgesetzt.Die größ-
te Herausforderungdes Faches „Statistische Physik“ ist allerdings nicht primär die
SchwierigkeitderhierfürerforderlichenMathematik,1 sonderneher–unddiestrifft
bereitsfürdieThermodynamikzu–dieTiefederzugrundeliegendenKonzepteund
die Anwendung auf vielfältige physikalische Phänomene.
Die Kursvorlesung über „Statistische Physik“ ist an deutschen Universitäten
in der Regel eine Pflichtvorlesung, die also von allen Physikstudierenden gehört
werden soll. Umso wichtiger ist es, die Ziele der Vorlesung möglichst transparent
zu formulieren. In Kursvorlesungen über Theoretische Physik habe ich als Dozent
schon oft die Fragen gehört: „Warum soll ich das lernen?“ oder „Warum ist die-
se Theorie für mich als Physiker(in) nützlich?“ Das Buch versucht, genau diese
Fragen zu beantworten und dadurch die Motivation und Lernbereitschaft der Stu-
dierenden zu erhöhen. Wesentliche Elemente in der Wissensvermittlung sind auch
die ausführlichen Erklärungen von Herleitungen und Berechnungen und die vielen
hilfreichen Grafiken. Damit die „Theorie“ nicht allzu abstrakt wirkt, werden typi-
scheAnwendungeninFallbeispielenbehandelt.WeitereFallbeispielewerdeninden
Übungsaufgabenaufgegriffen.ManchedieserÜbungsaufgabensindeherelementar,
manche ausführlicher oder anspruchsvoller (als „P“ gekennzeichnet), manche eher
1Nahezu alle für die Statistische Physik erforderlichen mathematischen Techniken sind z.B.
bereitsinRef.[12]enthalten,diedieMathematikdeserstenJahrseinesPhysikstudiumsabdeckt.
vi Vorwort
alskleines„Projekt“ gedacht(als„PP“ gekennzeichnet),aberalleÜbungsaufgaben
habendasZiel,denStoffzuerläuternundteilweiseauchzuergänzenundvertiefen.
DieLösungsskizzenzudenÜbungsaufgabensindeinwichtigerTeildesdidaktischen
Konzepts.SiesollendenStudierendennichtnurzurKontrolledienen,obdieeigene
Lösung korrekt ist, sondern auch einen effizienten Lösungsweg, eine physikalische
Interpretation der Ergebnisse und gelegentlich auch Ausblicke aufzeigen.
Es sollte für interessierteStudierende sogarmöglichsein, sichden Inhalt dieses
Buches im Ganzen oder in Auszügen im Selbststudium zu erarbeiten, da Her-
leitungen und Erläuterungen zu den Berechnungen sehr ausführlich sind und zu
jedem Kapitel eine Sammlung von Übungsaufgaben mit Lösungen enthalten ist.
Sollte die Leserin oder der Leser Bedarf an weiteren Büchern über Statistische
Physik haben, so könnten neben den im Haupttext zitierten Büchern auch Refn.
[53, 48, 35, 24, 34, 16, 11] des beigefügten Literaturverzeichnisses empfohlen wer-
den. Die an sich sehr interessanten Bücher [44] und [4] kommen eher für ein ver-
tieftes Studium in Betracht. Speziell für besonders interessierte Studierende (oder
fürzeitintensivereVorlesungen)werdenaucheinigeweiterführendeodervertiefende
Aspekte der„kanonischen“ Themenbehandelt,dieinderRegelphysikalischbeson-
ders interessantsind.Die entsprechendenAbschnitte sind durcheinen Asterisk(∗)
gekennzeichnet,um anzugeben,dass man sie beim erstenDurchgang überspringen
kann (aber natürlich nicht muss: Die Lektüre wird sogar dringend empfohlen).
DiesesBuchhatsichimLaufederJahreentwickeltausNotizenzuKursvorlesun-
genüber „Statistische Physik“,die ichseit Anfang des Milleniums ander Johannes
Gutenberg-Universität in Mainz gehalten habe. Für die Fertigstellung der ersten
Version des zugrunde liegenden Skripts möchte ich mich herzlich bei meiner Se-
kretärinFrau Elvira Helf und bei HerrnFlorian Jung bedanken. Sehr dankbar bin
icheinemmeinerehemaligenStudierenden,HerrnM.Sc.JulianGroßmann,meinen
KollegenProf.Dr.MartinReuter,Prof.Dr.RolfSchillingundJun.-Prof.Dr.Mat-
teo Rizzi sowie meiner Frau, Dr. Irmgard Nolden, die das Manuskript komplett
durchgearbeitet und durch viele Kommentare und Verbesserungsvorschläge sehr
bereicherthaben. Ganz offensichtlich liegtdie Verantwortungfür noch verbliebene
wenigergelungene Formulierungenbei mir,und ich wäremeinen Lesernggf.dank-
bar für eine entsprechende Mitteilung. Zu großemDank bin ich auch dem Institut
für Theoretische Physik der Universität zu Utrecht verpflichtet, an dem ich die
Statistische Physik erstmals schätzen gelernt habe. Hierbei möchte ich zuallererst
Prof. Dr. Matthieu Ernst nennen, von dem ich damals sehr viel gelernt habe, aber
auchdieProfessorenNicovanKampen,TheoRuijgrokundHenkvanBeijeren.Ich
dankeauchganzherzlichFrauMargitMalyundFrauStefanieAdamvomLektorat
SpringerSpektrum sowieHerrnAlexanderReischert(RedaktionALUAN) für ihre
Unterstützung bei diesem Projekt.
Ich hoffe, dass sich dieses Buch über Statistische Physik für alle Leser(innen)
als nützlich erweist, aber insbesondere für die Studierenden, für die es primär ge-
schrieben wurde, und wünsche ihnen viel Erfolg und auch Spaß bei ihren ersten
Schritten in die Welt der Vielteilchenphysik.
Mainz, im September 2017
Peter van Dongen
Inhaltsverzeichnis
Vorwort v
Inhaltsverzeichnis vii
1 Einführung 1
1.1 Zur Notwendigkeit einer Statistischen Physik . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Historische Höhepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Thermodynamik 15
2.1 Thermodynamische Systeme: einige Beispiele . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3 Magnetische Materialien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.4 Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.5 Weitere Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Einige Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Der nullte Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Der erste Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Die Carnot-Maschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Der zweite Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Der zweite Hauptsatz und Carnot-Prozesse . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Carnot-Prozesseund Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9 Die Extensivität der Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 Thermodynamik der Photonen- und Phononengase . . . . . . . . . . 35
2.11 Thermodynamische Potentiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.11.1 Die innere Energie U(S,X,N) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.11.2 Die Enthalpie H(S,Y,N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.11.3 Die (Helmholtz’sche) freie Energie F(T,X,N). . . . . . . . . 39
2.11.4 Die freie Enthalpie G(T,Y,N) . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.11.5 Das großkanonische Potential Ω(T,X,μ) . . . . . . . . . . . . 41
2.11.6 Weitere thermodynamische Potentiale?. . . . . . . . . . . . . 42
2.11.7 Thermodynamische Potentiale für Photonen
und Phononen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.12 Antwortfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.12.1 Die Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
viii Inhaltsverzeichnis
2.12.2 Mechanische Antwortfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.12.3 Chemische Antwortfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.12.4 Beziehungen zwischen den Antwortfunktionen . . . . . . . . . 46
2.13 Fluktuationen um den Gleichgewichtszustand . . . . . . . . . . . . . 49
2.13.1 Konsequenzen der Stationarität der Entropie . . . . . . . . . 51
2.13.2 Die Stabilität des Gleichgewichts ∗ . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.13.3 Konsequenzen aus der Berechnung der Entropiefluktuation . 55
2.14 Anwendung: Die Maxwell-Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.15 Die Clapeyron-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.15.1 Die Clapeyron-Clausius-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.16 Die Gibbs’sche Phasenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.16.1 Der Tripelpunkt als Beispiel für die Phasenregel . . . . . . . 64
2.17 Der dritte Hauptsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.17.1 Beispiel: Das Photonengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.18 Thermodynamik von Phasenübergängen . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.18.1 Was ist ein Phasenübergang? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.18.2 Beispiele von Phasenübergängen . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.18.3 Landau-Theorie von Phasenübergängen 2. Ordnung . . . . . 76
2.18.4 Einfaches Modell für Phasenübergänge 1. Ordnung . . . . . . 82
2.19 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3 Grundlagen der Statistischen Physik 97
3.1 Quantentheorie für Vielteilchensysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 Die Dichtematrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3 Die Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4 Zentrales Postulat der Statistischen Physik . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5 Die Pauli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.5.1 Hamilton-Operator und Wechselwirkungsbild . . . . . . . . . 112
3.5.2 Zeitabhängigkeit der Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . 114
3.5.3 Bemerkungen zur Pauli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.5.4 Die Mastergleichung ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.6 Adiabatensatz und Virialtheorem ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6.1 Adiabatensatz ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6.2 Konsequenzen des Adiabatensatzes ∗ . . . . . . . . . . . . . . 121
3.6.3 Kombination mit dem Virialtheorem ∗ . . . . . . . . . . . . . 122
3.6.4 Zustandsgleichung für ein klassisches Gas ∗ . . . . . . . . . . 123
3.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4 Die statistischen Gesamtheiten 127
4.1 Die mikrokanonische Gesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1.1 Beispiel: Der paramagnetische Kristall . . . . . . . . . . . . . 131
4.2 Die kanonische Gesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.2.1 Beispiel: Das Photonengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2.2 Beispiel: Der klassische Grenzfall für Gase . . . . . . . . . . . 143
4.3 Das „Druck“-Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.3.1 Beispiel: Der klassische Grenzfall für Gase . . . . . . . . . . . 155
4.3.2 Beispiel: Einfaches Modell für eine Flüssigkeit ∗ . . . . . . . . 157
4.4 Die großkanonischeGesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Inhaltsverzeichnis ix
4.4.1 Beispiel: Der klassische Grenzfall für Gase . . . . . . . . . . . 163
4.4.2 Beispiel: Bose-Einstein-Kondensation. . . . . . . . . . . . . . 165
4.4.3 Zustandsgleichung eines klassischen realen Gases ∗ . . . . . . 169
4.4.4 Paarkorrelationendes klassischen realen Gases ∗ . . . . . . . 176
4.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5 Spinsysteme 191
5.1 Wechselwirkende magnetische Momente . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.1.1 Spezialfälle: Heisenberg- und Ising-Modell . . . . . . . . . . . 192
5.2 Das „Druck“-Ensemble für Spinsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.3 Ising-Modell: Lösung in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.3.1 Berechnung der Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.3.2 Berechnung der isothermen Suszeptibilität . . . . . . . . . . . 195
5.3.3 Berechnung der Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.4 Hochtemperaturlimes in beliebiger Dimension . . . . . . . . . . . . . 197
5.5 Tieftemperaturlimes in beliebiger Dimension. . . . . . . . . . . . . . 198
5.5.1 Niederenergetische Anregungen in einer Dimension . . . . . . 198
5.5.2 Niederenergetische Anregungen in höherer Dimension . . . . 199
5.6 Molekularfeldnäherung zum Ising-Modell. . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.6.1 Selbstkonsistenzgleichung für die Magnetisierung . . . . . . . 200
5.6.2 Die thermische Antwortfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.6.3 Die mechanische Antwortfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.7 Phasenübergang im zweidimensionalen Ising-Modell ∗ . . . . . . . . 207
5.7.1 Allgemeine Form der Zustandssumme ∗ . . . . . . . . . . . . 207
5.7.2 Hochtemperaturentwicklung für die Zustandssumme ∗ . . . . 208
5.7.3 Tieftemperaturentwicklung für die Zustandssumme ∗ . . . . . 209
5.7.4 Dualität der Hoch- und Tieftemperaturbereiche ∗ . . . . . . . 210
5.8 Der klassische Limes für Spinsysteme ... . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.8.1 ... entspricht nicht dem Hochtemperaturlimes ... . . . . . . 213
5.8.2 ... sondern dem Limes hoher Spinquantenzahlen . . . . . . . 214
5.9 Beispiel: Die klassische Heisenberg-Kette . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.9.1 Berechnung thermodynamischer Größen . . . . . . . . . . . . 216
5.9.2 Berechnung der Spin-Spin-Korrelationsfunktion . . . . . . . . 216
5.10 Beispiel: Die planare Heisenberg-Kette ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.10.1 Berechnung thermodynamischer Größen ∗ . . . . . . . . . . . 222
5.10.2 Berechnung der Spin-Spin-Korrelationsfunktion ∗ . . . . . . . 223
5.11 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6 Quantengase 231
6.1 Allgemeine Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.2 Die Funktionen g (z,ζ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
α
6.3 Entwicklung um den klassischen Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.4 Kondensationim Bose-Gas? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.5 Fermi-Gas bei tiefen Temperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.6 Das Fermi-Gas im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.7 Das zweidimensionale Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.8 Das relativistische Elektronengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.9 Weiße Zwerge ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
x Inhaltsverzeichnis
6.10 Zweiatomige Moleküle ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.10.1 Anwendung auf das HD-Molekül ∗ . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.10.2 Anwendung auf das H - und das D -Molekül ∗ . . . . . . . . 263
2 2
6.10.3 Die Wärmekapazität C ∗. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
V,N
6.11 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7 Kinetische Theorie 273
7.1 Die Mastergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7.1.1 Herleitung der Mastergleichung für Markow-Prozesse . . . . . 275
7.1.2 Beispiel: Ein Atom wechselwirkt mit Photonen . . . . . . . . 278
7.1.3 Beispiel: Die Irrfahrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.1.4 Beispiel: Zerfall radioaktiver Atome . . . . . . . . . . . . . . 282
7.1.5 Stationäre Lösungen der Mastergleichung? . . . . . . . . . . . 284
7.2 Stabilität in der Mastergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.2.1 Beispiel: Der quantenmechanische harmonische
Oszillator im Strahlungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
7.3 Stabilität in der Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.3.1 Die räumlich homogene Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . . 296
7.3.2 H-Theorem und Ehrenfest-Modell . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.3.3 Die räumlich inhomogene Boltzmann-Gleichung . . . . . . . . 304
7.4 Die Euler-Gleichungen einer idealen Flüssigkeit . . . . . . . . . . . . 311
7.4.1 Beispiel: Stationärer axialsymmetrischer Wirbel . . . . . . . . 317
7.4.2 Erhaltungsgrößenin den Euler-Gleichungen . . . . . . . . . . 319
7.4.3 Linearisierung um die Gleichgewichtslösung . . . . . . . . . . 320
7.5 Die Navier-Stokes-Gleichungender viskosen Hydrodynamik . . . . . 322
7.5.1 Berechnung der Korrektur zur Verteilungsfunktion ∗ . . . . . 324
7.5.2 Die Dynamik der langsamen Variablen ∗ . . . . . . . . . . . . 326
7.5.3 Der Wärmefluss ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
7.5.4 Der Drucktensor ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
7.5.5 Die hydrodynamischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . 333
7.5.6 Beispiel: Axialsymmetrischer Wirbel . . . . . . . . . . . . . . 337
7.5.7 Berechnung von Transportkoeffizienten ∗. . . . . . . . . . . . 340
7.5.8 Linearisierung um die Gleichgewichtslösung . . . . . . . . . . 343
7.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
8 Lösungen zu den Übungsaufgaben 351
8.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
8.2 Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
8.3 Grundlagen der Statistischen Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
8.4 Die statistischen Gesamtheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
8.5 Spinsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
8.6 Quantengase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
8.7 Kinetische Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435