Statistische Mechanik: Einführung und Weiterführendes

343 Pages·2017·2.641 MB·German

by  Norbert Straumann (auth.)

Norbert Straumann
Statistische
Mechanik
Einführung und Weiterführendes
Statistische Mechanik
Norbert Straumann
Statistische Mechanik
Einführung und Weiterführendes
Norbert Straumann
Zürich, Schweiz
ISBN 978-3-662-52949-2 ISBN 978-3-662-52950-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-52950-8
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Vorwort
Dieses Lehrbuch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, welche der Autor im Rah-
men eines Zyklus über Theoretische Physik an der Universität Zürich mehrfach
gehalten hat. Es ist dabei zusätzlicher Stoff aufgenommen worden, der über den
RahmeneinereinsemestrigenVorlesunghinausgeht.DiesgeschahinderHoffnung,
dassdasWerkauchzumSelbststudiumundzuErgänzungen,nebenKursvorlesun-
gen, beiträgt. Einige der anspruchsvolleren Themen, vor allem in einer Reihe von
Anhängen, sind auch von neueren Entwicklungen in der Statistischen Mechanik
beeinflusst.
Esseischonhierangemerkt,dassdieGrundlagenderphänomenologischenTher-
modynamik als bekannt vorausgesetzt werden. Diese wurden vom Autor vor län-
gerer Zeit im schmalen Band 265 der „Lecture Notes in Physics“ des Springer-
Verlags entwickelt. (Dieser ist noch immer zugänglich. Eine erweiterte Version
wurde ins Internet gestellt und ist im Literaturverzeichnis aufgeführt.)
WieschonbeimLehrbuch„TheoretischeMechanik“wäremeinManuskriptohne
die technische Hilfe von Tom Dörffel nicht zur Druckreife gelangt. Er hat das Al-
lermeistegekonntinLaTeXgesetztundauchalleAbbildungenhergestellt.Unsere
Zusammenarbeit war wieder sehr erfreulich und unkompliziert.
AndreasWipfvonderUniversitätJenadankeichganzherzlichfürseinedetail-
lierte Durchsicht des ganzen Manuskripts und die hilfreichen Verbesserungsvor-
schläge. Besonders dankbar bin ich der Physikalisch-Astronomischen Fakultät in
Jena,welchedieMitarbeitvonTomDörffelnachdessenMasterabschlussfinanziell
unterstützt hat. Ausschlaggebend war dabei die Initiative von Karl-Heinz Lotze.
Auch dafür vielen Dank.
Zürich, im April 2016 Norbert Straumann
Inhaltsverzeichnis
Vorwort .......................................................... v
Einleitung ........................................................ 1
I Grundlagen der klassischen statistischen Mechanik........... 3
1 Statistische Beschreibung von klassischen Systemen ............... 5
2 Die mikrokanonische Gesamtheit................................ 12
3 Anschluss an die Thermodynamik............................... 16
4 Das Gibbs’sche Variationsprinzip................................ 21
5 Das Gibbs’sche Paradoxon ..................................... 25
6 Die kanonische Gesamtheit..................................... 27
7 Verknüpfung mit der Thermodynamik ........................... 30
8 Ein anderer Zugang zur kanonischen Gesamtheit.................. 34
9 Die großkanonische Gesamtheit ................................. 37
10 Äquvalenz der Gesamtheiten im thermodynamischen Limes......... 44
11 Zusammenfassung von Teil I.................................... 45
12 Aufgaben .................................................... 50
II Statistisch-mechanische Modelle, thermodynamischer Limes . 53
13 Modelle für klassische Fluide und Gittersysteme .................. 54
14 Lösung des eindimensionalen Ising-Modells, die Transfermatrix ..... 62
15 Das Curie-Weiss-Modell........................................ 65
16 Molekularfeldnäherung, kritische Dimensionen .................... 70
17 Onsagers Lösung des zweidimensionalen Ising-Modells ............. 87
18 Der thermodynamische Limes................................... 96
19 Konvexität der freien Energie und thermodynamische Stabilität..... 102
20 Das Peierls-Argument für die Existenz eines Phasenübergangs ...... 106
21 Korrelationsungleichungen, Anwendungen ........................ 110
22 Phasenübergänge bei Spinmodellen.............................. 114
23 Hochtemperatur-/Tieftemperatur-Dualität ....................... 129
24 Die Renormierungsgruppe...................................... 135
25 Aufgaben .................................................... 155
III Quantenstatistik ............................................. 159
26 Statistische Operatoren ........................................ 160
27 Die Entropie eines Zustandes ................................... 162
28 Die mikrokanonische Gesamtheit in der Quantenstatistik........... 166
29 Das Gibbs’sche Variationsprinzip................................ 168
30 Kanonische und großkanonische Gesamtheit ...................... 170
31 Die idealen Quantengase ....................................... 176
32 Die Debye-Theorie fester Körper ................................ 193
33 Die halbklassische Näherung.................................... 197
viii Inhaltsverzeichnis
34 Der Magnetismus des Elektronengases ........................... 202
35 Weiße Zwerge................................................. 207
36 Heisenberg-Modelle, Mermin-Wagner-Theorem.................... 216
37 Impulskondensation eines wechselwirkenden Fermi-Systems......... 223
38 Aufgaben .................................................... 230
A Wahrscheinlichkeitstheoretische Sätze, Birkhoff’scher Ergo-
densatz ...................................................... 235
A.1 Beweis des Birkhoff’schen Ergodensatzes ......................... 239
A.2 Birkhoff’scher Ergodensatz für Flüsse............................ 243
A.3 Bemerkungen zur Eindeutigkeit des mikrokanonischen Maßes ....... 244
B Zeitpfeil und Boltzmann-Entropie............................ 245
B.1 Die Boltzmann-Entropie ....................................... 245
B.2 Phasenraum und Wahrscheinlichkeiten........................... 247
C Ehrenfest’sches Urnenmodell................................. 249
D Das sphärische Modell ....................................... 255
D.1 Berechnung der Zustandssumme ................................ 256
D.2 Diskussion der Funktion g1pzq .................................. 261
D.3 Existenz eines kritischen Punktes für dą2....................... 263
D.4 Berechnung der kritischen Exponenten........................... 264
E Beweis des Satzes von Perron-Frobenius ..................... 269
F Größter Eigenwert der Transfermatrix ....................... 273
F.1 Jordan-Wigner-Transformation ................................. 273
F.2 Fourier-Transformation ........................................ 276
F.3 Berechnung der Eigenwerte..................................... 277
F.4 Dualität des Ising-Modells...................................... 281
G Existenz des thermodynamischen Limes für Spinsysteme..... 283
H Spontane Symmetriebrechung, Mermin-Wagner-Theorem .... 287
H.1 Gibbs-Zustände für das unendliche Volumen...................... 287
H.2 Die klassische Bogoliubov-Ungleichung........................... 288
H.3 Das Mermin-Wagner-Theorem für klassische Spinsysteme .......... 290
I Die Funktionen f pzq......................................... 293
λ
J Virialentwicklung der Zustandsgleichung..................... 299
J.1 Die unreduzierbaren Cluster-Integrale ........................... 299
J.2 Die Virialreihe................................................ 302
J.3 Beweise der Aussagen.......................................... 303
K Lösungen der Aufgaben...................................... 305
K.1 Lösungen zu Teil I ............................................ 305
K.2 Lösungen zu Teil II............................................ 313
Inhaltsverzeichnis ix
K.3 Lösungen zu Teil III........................................... 318
Literaturverzeichnis .............................................. 329
Index............................................................. 333
Einleitung
Die statistische Mechanik (SM) beschreibt das eigentümliche thermodynamische
Verhalten als makroskopische Erscheinung eines Systems, das unvorstellbar viele
mikroskopischeFreiheitsgradeaufweist.DieThermodynamikerweistsichdabeials
eine asymptotische Theorie, welche im Grenzfall unendlich vieler Freiheitsgrade
gilt.Dannsindnämlichdie„GesetzedergroßenZahlen“amWerkundesgeschehen
dabei–wiemanesvonderWahrscheinlichkeitstheorieweiß –rechtungewöhnliche
Dinge. Die statistischen Gesetze führen aber auch zu spontanen Abweichungen
vom Gleichgewicht, die sich in Schwankungserscheinungen äußern, welche in der
SM eine wesentliche Rolle spielen. (Darauf beruhen z.B. einige der wichtigsten
Arbeiten von Einstein.)
In diesem Buch befassen wir uns lediglich mit der SM des Gleichgewichts.
Wir werden einige einfach formulierbare Rezepte kennenlernen, welche es uns
u.a. grundsätzlich ermöglichen, die thermodynamische Fundamentalgleichung ei-
nes makroskopischen Systems aus dem Hamilton-Operator (der Hamilton-Funk-
tion) des mikrophysikalischen Viel-Teilchen-Systems zu berechnen. Es muss aber
schon hier darauf hingewiesen werden, dass die Begründung dieser Rezepte nach
wie vor unbefriedigend ist. Wir werden uns genötigt sehen, eine Reihe von Grun-
dannahmen zu machen, welche sich bis jetzt noch nicht in überzeugender Weise
aus der mikroskopischen Theorie ableiten lassen. Die sich ergebende mechanisch-
thermodynamische Analogie ist aber so natürlich, dass die Theorie richtig sein
muss. Hinzu kommt der praktische Erfolg in den mannigfaltigsten Anwendungen.
Das Gebäude der SM ist deshalb sehr solide und wird Zeiten überdauern.
In der SM erweist sich die Entropie, wie Boltzmann gezeigt hat, als ein Maß
für die „Wahrscheinlichkeit“ des beobachteten makroskopischen Zustands. Sie ist
durch die Menge mikroskopischer Zustände bestimmt, die alle zum gleichen ma-
kroskopischen Zustand Anlass geben. Dies wird durch die berühmte Formel
S “k lnW
ausgedrückt,welcheaufBoltzmannsGrabsteinimZentralfriedhofinWiensteht.1
Boltzmanns Auffassung der Entropie als statistische Größe hat sich nur langsam
gegen starke Widerstände durchgesetzt. Selbst Planck wurde erst zu dieser Auf-
fassung bekehrt, als ihm kein anderer Weg zur Ableitung des von ihm entdeckten
1EstutnichtszurSache,dassBoltzmannselbstdieFormelniemalssoaufgeschriebenhat.
TatsächlicherschiensiezuerstinPlancks„VorlesungüberdieTheoriederWärmestrahlung“
inBoltzmannsTodesjahr1906.
2 Einleitung
Strahlungsgesetzes mehr übrig blieb. (Siehe dazu den ‚Prolog‘ in meinem Buch
Quantenmechanik I, Straumann, 2013.) Überhaupt war die Stellung von Boltz-
mann und Gibbs in mancher Hinsicht recht schwierig, da die Atome noch als
Fiktionen galten und über ihre physikalische Eigenschaften nichts Sicheres be-
kannt war. Deshalb konnte man der SM mit einem gewissen Recht den Vorwurf
machen,sieerklärediebekanntenGesetzederphänomenologischenThermodyna-
mik durch Unbekanntes. Heute erscheint es uns dagegen selbstverständlich, auch
die Thermodynamik atomistisch zu begründen.
Hinweis In diesem Buch wird die phänomenologische Thermodynamik als be-
kannt vorausgesetzt, etwa im Umfang der Darstellung in Straumann (1986). Wir
werden uns an die Bezeichnungen darin halten.