Statistik in Theorie und Praxis: Mit Anwendungen in R

512 Pages·2014·12.4 MB·German

by  Michael Falk

Mathematik für das Lehramt
Herausgegeben von
Kristina Reiss, Technische Universität München
Th omas Sonar, Technische Universität Braunschweig
Hans-Georg Weigand, Universität Würzburg
Die Mathematik hat sich zu einer Schlüssel- und Querschnittswissenschaft entwickelt, die
in vielen anderen Wissenschaft en, der Wirtschaft und dem täglichen Leben eine bedeu-
tende Rolle einnimmt. Studierende, die heute für das Lehramt Mathematik ausgebildet
werden, werden in den nächsten Jahrzehnten das Bild der Mathematik nachhaltig in den
Schulen bestimmen. Daher soll nicht nur formal-inhaltlich orientiertes Fachwissen ver-
mittelt werden. Vielmehr wird großen Wert darauf gelegt werden, dass Studierende explo-
ratives und heuristisches Vorgehen als eine grundlegende Arbeitsform in der Mathematik
begreifen.
Diese neue Reihe richtet sich speziell an Studierende im Haupt- und Nebenfach Mathema-
tik für das gymnasiale Lehramt (Sek. II) sowie in natürlicher Angrenzung an Studierende
für Realschule (Sek. I) und Mathematikstudenten (Diplom/BA) in der ersten Phase ihres
Studiums. Sie ist grundlegenden Bereichen der Mathematik gewidmet: (Elementare) Zah-
lentheorie, Lineare Algebra, Analysis, Stochastik, Numerik, Diskrete Mathematik etc. und
charakterisiert durch einen klaren und prägnanten Stil sowie eine anschauliche Darstel-
lung. Die Herstellung von Bezügen zur Schulmathematik („Übersetzung“ in die Sprache
der Schulmathematik), von Querverbindungen zu anderen Fachgebieten und die Erläute-
rung von Hintergründen charakterisieren die Bücher dieser Reihe. Darüber hinaus stellen
sie, wo erforderlich, Anwendungsbeispiele außerhalb der Mathematik sowie Aufgaben mit
Lösungshinweisen bereit.
Mathematik für das Lehramt
K. Reiss/G. Schmieder†: Basiswissen Zahlentheorie
A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Stochastik
J. Engel: Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion
K. Reiss/G. Stroth: Endliche Strukturen
O. Deiser: Analysis 1
O. Deiser: Analysis 2
Herausgeber:
Kristina Reiss, Thomas Sonar, Hans-Georg Weigand
Michael Falk • Johannes Hain • Frank Marohn
Hans Fischer • René Michel
Statistik in Theorie
und Praxis
Mit Anwendungen in R
Michael Falk Hans Fischer
Institut für Mathematik Mathematisch-Geographische Fakultät
Universität Würzburg Katholische Universität Eichstätt-Ingolstadt
Würzburg, Deutschland Eichstätt, Deutschland
Johannes Hain René Michel
Institut für Mathematik Altran GmbH & Co. KG
Universität Würzburg Frankfurt am Main, Deutschland
Würzburg, Deutschland
Frank Marohn
Institut für Mathematik
Universität Würzburg
Würzburg, Deutschland
ISBN 978-3-642-55252-6 ISBN 978-3-642-55253-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-55253-3
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Vorwort
Dieses Buch ist aus dem Fortbildungskurs „Statistik in Theorie und Praxis“ ent-
standen,welchervom31.Oktoberbiszum6.November2010amMathematischen
Forschungsinstitut Oberwolfach durchgeführt wurde und sich an Gymnasiallehrer
richtete. Hauptanliegen des Buches ist dem Leser zu vermitteln, wie vielseitig die
oftalstrockeneMateriedargestellteStatistikseinkann.
InvielenTheorie-BüchernzurangewandtenStatistikwerdenpraktischeBeispie-
leoftnuramRandebehandelt,ohnethematischindieTiefezugehen.Praxisorien-
tierte Werke zur Statistik hingegen setzen beim Leser häufig ein fundiertes Hinter-
grundwissen der Statistik-Theorie zum Verständnis voraus. Das vorliegende Buch
versucht den Brückenschlag zwischen beiden Gegensätzen. Zum einen wird Wert
aufeinesaubereHerleitungdergängigenstatistischenVerfahrengelegt.Zumande-
ren beinhaltet der zweite Themenschwerpunkt reale Anwendungen der Methoden
inderPraxis.DarüberhinauswerdenProjekteanderSchnittstellezwischenSchul-
undHochschulunterrichtvorgestellt.AlsunterstützendeSoftwaredientdaskosten-
lose Programm R mit der zugehörigen grafischen Oberfläche R-Commander; die
zahlreichen Programmbeispiele ermöglichen es, die vorgestellten Themen eigen-
ständignachzuvollziehen.
Zielgruppe
Das Buch soll Leser mit Interesse an den Problemstellungen von Mathematik und
Statistikansprechen.DazugehörenAnwenderstatistischerMethoden,zumBeispiel
imwissenschaftlichenBereich,oderStudierende(derMathematik)miteinertiefer-
gehendenNeugieranstatistischenFragestellungen.Genausoabersolltensichauch
solcheLeserangesprochenfühlen,diebisherweniginKontaktmitwissenschaftli-
chen Methoden der Statistik gekommen sind, aber an diesen Interesse haben. Ins-
besondere ist das vorliegende Buch für Lehrer und Studierende des Lehramts an
Gymnasien gedacht, die den Schülern im Rahmen des Unterrichts oder in Unter-
richtsprojektendieVielfaltderStatistiknäherbringenwollen.
v
vi Vorwort
Vorkenntnisse
Für die Lektüre werden lediglich elementare Stochastik-Kenntnisse vorausgesetzt,
wie sie beispielsweise in einer Einführungsvorlesung im Rahmen eines Bachelor-
Studiums vermittelt werden. Für Leser ohne Vorwissen in Stochastik werden die
wichtigstennichtimTexterläutertenGrundbegriffeineinemGlossaramEndedes
Buchszusammengefasst,
weshalb die Inhalte des Buchs auch für Neulinge zugänglich sein sollten. Dar-
über hinaus findet man am Ende jedes Kapitels Hinweise auf weiterführende Lite-
ratur.
Kenntnisse des Programmpakets R, mit dem die Beispiele im Buch vorgestellt
werden, sind zum Verständnis nicht vorausgesetzt. Alle verwendeten Funktionen
von R werden ausführlich erläutert; im letzten Teil des Buchs wird im Rahmen
einerR-EinführungzusätzlichdieArbeitsweisederSoftwarevorgestellt.
Inhalt
Die unterschiedlichen Thematiken des Buchs werden in fünf einzelnen Teilen vor-
gestellt. Statistik zu verstehen ohne die theoretischen Grundlagen zu kennen, ist
nichtmöglich.AusdiesemGrundbehandeltderersteTeildesBuchsfundamentale
statistischeGrundlagen(„StatistikinderTheorie“).Dabeiwirddermathematische
Hintergrundbeleuchtet,ohneanallenStelleninsDetailzugehen.
Im Unterschied zu den meisten anderen Lehrbüchern wird auf die praktischen
Anwendungen nicht nur in einzelnen kurzen und gekünstelten Beispielen einge-
gangen. Vielmehr wird diesem Aspekt der Statistik ein kompletter Teil des Buchs
gewidmet(„StatistikinderPraxis“).IndiesemwerdenrealeAnwendungsbeispiele
ausführlichundverständlicherläutertunddieimerstenTeilbesprochenenVerfahren
angewandt.
Indenletztenetwa20-30JahrenhabeninderStatistikrechenintensive,compu-
tergestützteSimulationsverfahreneinezentraleRolleeingenommen.IneinemBuch,
das die Vielfalt der Statistik vorstellen möchte, darf dieser Aspekt natürlich nicht
fehlen.ImdrittenTeildesBuchs(„StatistikmittelsSimulationen“)wirddiesenEnt-
wicklungen Rechnung getragen, indem einige Beispiele gesondert und ausführlich
präsentiertwerden.
DadasBuchinsbesondereauchLehrendeanSchulenundHochschulenanspre-
chen soll, wird im vierten Teil des Buchs („Statistik als Projekt im Unterricht“)
darauf eingegangen, wie man mittels einfacher Fragestellungen Lernende zum ei-
genständigen Bearbeiten statistischer Probleme motivieren kann. Die Themen in
diesemTeilsinddasErgebnisvontatsächlichenProjekten,dieinderVergangenheit
vonSchüler-undauchLehrergruppenerfolgreichdurchgeführtwurden.Wirhoffen,
dass die hier gegebenen Anregungen einen Beitrag zur Einbeziehung praxisnaher
UnterrichtsprojekteinSchuleundHochschulegebenkönnen.
Alle vorgestellten Beispiele in den Teilen I bis IV werden mit der Software R
durchgeführt.DaabergeradeStatistik-AnfängerSchwierigkeitenmitderKomman-
Vorwort vii
dozeilenorientierung von R haben, versuchen wir den Einstieg in R zu erleichtern,
indemwir–woimmeresmöglichist–denR-CommanderalsgrafischeOberfläche
zubenutzen.DerletzteTeildesBuchsstelltdahereineEinführungsowohlinRals
auchindenR-Commanderdar.
OrganisationdesTextes,NotationundtechnischeDetails
ImerstenTeildesBuchswerdendietheoretischenGrundlagenbesprochen,dieTeile
IIbisIVbauenaufdiesenGrundlagenauf,könnenselbstaberunabhängigvonein-
ander durchgearbeitet werden. Durch das komplette Buch ziehen sich Programm-
beispiele,indenendiebesprochenenVerfahreninRumgesetztwerden.Lesern,die
noch keine Erfahrung mit R haben und gleich die entsprechenden R-Beispiele am
Rechnermitverfolgenwollen,empfehlenwirmitderLektüredesTeils„Statistikfür
EinsteigermitRundR-Commander“zubeginnen.
DieDurchführungderBeispielekannimkomplettenBuchmitdemR-Comman-
der erfolgen. Sollten die Befehle zu komplex werden und der R-Commander an
seine Grenzen stoßen, werden die nötigen R-Befehle erläutert, die aber weiterhin
imSkriptfensterdesR-Commandersausgeführtwerdenkönnen.
Programmbeispiele werden – wie hier zu sehen – im Text immer mit dieser Ab-
trennungkenntlichgemacht.MöchtemanaufdieeigeneBearbeitungderBeispiele
verzichten,könnendieseTeiledesBuchsübersprungenwerden.
FüreinbesseresVerständniswollenwirkurzdieverschiedenenNotationsweisen
innerhalb der Programmbeispiele erläutern. Pfadverzeichnisse (z.B. C:\R-Buch\)
oderPaketnamen(z.B.Rcmdr)erkenntmananderfettenSchrift.Genausowerden
MenüpunkteinfetterSchriftgedruckt,dasKlickenvonmehrerenMenüpunktenhin-
tereinanderwirddurchdasZeichen−→angezeigt.SobedeutetetwaGrafiken−→
Histogramm ..., dass zuerst der Menüpunkt Grafiken und darin das Unterme-
nü Histogramm(cid:2) ...(cid:4)angek(cid:2)lickt werden soll. Schal(cid:4)tflächen in Dialogfeldern, wie
beispielsweise (cid:3)OK (cid:5)oder (cid:3)Datenmatrixbetrachten (cid:5)sind stets umrahmt, Optionen
zum (De-)Aktivieren in Dialogfeldern sind an der kursiven Schrift zu erkennen.
Einzelne Tastenbefehle sind in Großbuchstaben gesetzt (z.B. ENTER), wobei ein
+-ZeichenzwischenzweiTastennamendasgemeinsameDrückenbeiderTastenbe-
deutet(z.B.STRG+V).MüsseninDialogfeldernfreieTexteinspezielleFelderein-
gegeben werden, steht der Text in Anführungszeichen (z.B. „Größe des Manns”),
genauso wie Karteinamen innerhalb eines Dialogfelds (z.B. „Optionen”). Länge-
re Befehle (z.B. bei der Spezifizierung einer Fallauswahlbedingung) oder Befehle,
die im Skriptfenster eingegeben werden müssen, werden abgesetzt vom normalen
FließtextinFestbreitenschriftgesetzt.
Ganz allgemein werden Definitionen und neu eingeführte Begriffe im Text
mit fetter Schrift hervorgehoben. Datensatz- und Variablennamen sind an der
viii Vorwort
Festbreitenschrift zu erkennen. Das Ende eines Beweises wird mit dem
Symbol(cid:2)gekennzeichnet.
Das Betriebssystem des Rechners, mit dem alle Berechnungen und Diagram-
me durchgeführt wurden, war Windows 7. Die Version von R war 3.0.3, die des
R-Commanders lautete 2.0-0. Sämtliche in den Programmbeispielen verwendeten
Datensätzestehenunter
http://www.springer.com/978-3-642-55252-6
zumDownloadallenNutzernzurVerfügung.
Danksagungen
Wirdanken
(cid:2) AndreasGeggfürdievielfältigeUnterstützunginsbesonderebeispezifischenR-
Problemen
(cid:2) ThomasMauchfürdieMitautorschaftandenKapiteln8und9
(cid:2) NorbertKrämer,HerbertMichelundStefanEnglertfürdieinKapitel10vorge-
stelltegemeinsameProjektarbeit
(cid:2) BertramGerber,KirsaNeuserundBirgitMichelsfürdieUnterstützungbeiKa-
pitel12unddieErlaubniszurVerwendungderBilderindiesemKapitel
(cid:2) Christina Zube und Nicole Saverschek für die fachliche Hilfestellung in Kapi-
tel14
(cid:2) Nicole Vornberger für die medizinischen Hintergrundinformationen zu Kapi-
tel15
(cid:2) SabineSiglochfürdieAnmerkungenzudenProjektkapitelninTeilIV
(cid:2) denTeilnehmernandenSchülerprojekttagenundderLehrerfortbildunginOber-
wolfachfürdieengagierteTeilnahmeandeninTeilIVbeschriebenenProjekten
(cid:2) HassanHumeidafürdieBereitstellungdesDatensatzessudan.csv
(cid:2) StefanieLinderfürdieBereitstellungderDateninKapitel16
(cid:2) DianaTichyundOkaDaijifürdieBereitstellungderDateninKapitel15
(cid:2) PeterZimmermannvonderKatholischenUniversitätEichstätt-Ingolstadtfürdie
TEX-nischeHilfe
(cid:2) ChristianWeißfürdieDurchsichtdeskomplettenManuskripts
(cid:2) KerstinWerlervonderKatholischenUniversitätEichstätt-Ingolstadtfürdieviel-
fältigeHilfebeiderTexterstellung
(cid:2) dem Springer Verlag für die Bereitschaft, dieses Buch zu veröffentlichen. Ins-
besondere danken wir Agnes Herrmann und Clemens Heine für die fruchtbare
Kooperation.
Würzburg MichaelFalk,JohannesHain,FrankMarohn
Eichstätt HansFischer
Frankfurt RenéMichel
März2014
Inhaltsverzeichnis
TeilI StatistikinderTheorie
1 ExplorativeWerkzeuge ......................................... 3
1.1 Scatterplots................................................ 3
1.1.1 ZweimetrischeMerkmale............................. 3
1.1.2 EinmetrischesundeinkategorialesMerkmal............. 7
1.2 VerdichtungvonDaten ...................................... 11
1.2.1 Lokations-undStreuungsmaße......................... 12
1.2.2 Histogramme........................................ 19
1.2.3 Boxplots ........................................... 24
1.3 Aufgaben ................................................. 27
Literatur....................................................... 30
2 SchätzeninBinomialmodellen................................... 31
2.1 MotivationundEinführung .................................. 31
2.2 SchätzeneinesAnteilswertes................................. 35
2.3 Punktschätzer.............................................. 38
2.4 Intervallschätzer ........................................... 46
2.4.1 KonstruktionmittelsTschebyschow-Ungleichung ......... 47
2.4.2 KonstruktionmittelsQuantilen......................... 50
2.4.3 EinseitigeKonfidenzintervalle ......................... 55
2.4.4 BerechnungderIntervallgrenzen ....................... 56
2.5 ApproximativeKonfidenzintervalle............................ 58
2.6 PlanungdesStichprobenumfangs ............................. 64
2.7 TestoderKonfidenzintervall? ................................ 65
2.7.1 DerBinomialtest..................................... 67
2.7.2 ZusammenhangzwischenKonfidenzintervallundTest ..... 72
2.8 Aufgaben ................................................. 74
Literatur....................................................... 77
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