Statik und Ein ussfunktionen vom modernen Standpunkt aus

466 Pages·2017·11.78 MB·German

F. Hartmann, P. Jahn
Statik und Ein(cid:29)ussfunktionen(cid:22)
vom modernen Standpunkt aus
2. Au(cid:29)age (2p), Last edit: 28.11.2017

Vorwort
Die neue Statik ist die alte Statik
und im Grunde ist sie heute m(cid:228)chtiger
als je zuvor.
Ein(cid:29)ussfunktionen sind ein klassisches Werkzeug der Statik. Sie verkn(cid:252)p-
fen Statik mit Anschauung, denn mit ein paar geschickten Skizzen(cid:22)wenn es
sein muss auf einem Bierdeckel(cid:22)kann man leicht dem Tragverhalten einer
Struktur nachsp(cid:252)ren und so Klarheit (cid:252)ber kritische Punkte (cid:28)nden.
LeideristaberdieAnwendungderEin(cid:29)ussfunktionenetwasindenHinter-
grund ger(cid:252)ckt, denn in Zweifelsf(cid:228)llen spielt man dann doch lieber Varianten
mit dem Computer durch und umgeht so die M(cid:252)he, nach dem warum und
wieso zu fragen und tiefer in das Verst(cid:228)ndnis des Tragverhaltens einzudrin-
gen.
Neue Ergebnisse haben jedoch das Interesse an den Ein(cid:29)ussfunktionen
wieder belebt, denn es ist nun klar, dass (cid:28)nite Elemente mit Ein(cid:29)ussfunk-
tionen rechnen. Das gleicht einer Rolle r(cid:252)ckw(cid:228)rts. Man dachte, man sei der
klassischen Rechenverfahren ledig, und pl(cid:246)tzlich sieht man, dass sie in den
(cid:28)niten Elementen wieder auferstanden sind.
In der klassischen Statik beschr(cid:228)nkt sich das Thema Ein(cid:29)ussfunktionen
auf den Satz von Land und seine Modi(cid:28)kationen und man verliert bald das
Interesse, weil sich die Ein(cid:29)ussfunktionen so schwer berechnen lassen.
Heute benutzen wir (cid:28)nite Elemente und bei (cid:28)niten Elementen ist der Be-
gri(cid:27) viel weiter gefasst. Das Stichwort hei(cid:255)t Funktionale. Die Durchbiegung
in der Feldmitte, das Moment (cid:252)ber der St(cid:252)tze, die Kraft im Lager, all dies
sind Funktionale. Alles, was man berechnen kann, ist f(cid:252)r die (cid:28)niten Elemen-
te ein Funktional. Und zu jedem linearen Funktional geh(cid:246)rt eine Greensche
Funktion, eine Ein(cid:29)ussfunktion.
Nun sind Ein(cid:29)ussfunktionen aber Biegelinien, also Verformungen und das
wird mit (cid:28)niten Elementen zum Problem, denn FE-Netze besitzen nur eine
eingeschr(cid:228)nkte Kinematik. Es gibt ja nur einen beschr(cid:228)nkten Vorrat an An-
satzfunktionen(shapefunctions),umVerformungendarzustellen.Unddasist
der Grund, warum FE-Ergebnisse in der Regel nur N(cid:228)herungen sind, denn
das FE-Programm kann mit der eingeschr(cid:228)nkten Kinematik eines Netzes die
exakten Ein(cid:29)ussfunktionen nicht generieren, es (cid:252)berlagert daher gezwunge-
3
4 Vorwort
nerma(cid:255)en gen(cid:228)herte Ein(cid:29)ussfunktionen mit der Belastung und so sind die
Ergebnisse auch nur N(cid:228)herungen.
Die Ein(cid:29)ussfunktionen sind demnach die eigentlichen, die wahren shape
functions, die physikalischen shape functions. Diese muss das FE-Programm
m(cid:246)glichstgutann(cid:228)hern.Wenndasgelingt,dannsindauchdieFE-Ergebnisse
gut.
In der Computerstatik geht das Thema Ein(cid:29)ussfunktionen also weit (cid:252)ber
den Satz von Land hinaus und um diesem Umfang einigerma(cid:255)en gerecht zu
werden, haben wir dieses Buch geschrieben.
Es ist kein Buch f(cid:252)r Erstsemester, der Leser sollte mit dem Thema Ein-
(cid:29)ussfunktionen schon etwas vertraut sein, dem Thema in den Statik- oder
Mechanikvorlesungen schon begegnet sein.
WirbehandelndasThemaauchscheinbarmiteinemsehrspitzenBleistift.
Das ist aber im Grunde Notwehr, weil sich in der Statik doch viele Dinge im
Laufe der Zeit eingeschli(cid:27)en haben und der mathematische Hintergrund der
Formeln nicht immer o(cid:27)enkundig und evident ist.
Kassel Friedel Hartmann, Peter Jahn
Fr(cid:252)hjahr 2016 [email protected], [email protected]
PS.Urspr(cid:252)nglichsolltederTitelnurEin(cid:29)ussfunktionen (cid:22) vom modernen
Standpunkt aus hei(cid:255)en. Im Zeitalter der Suchmaschinen schien es uns jedoch
sinnvoll, das Wort Statik mit in den Titel aufzunehmen. Es war nicht unsere
Absicht einen (nicht existierenden) Gegensatz zwischen alter und neuer Sta-
tik zu konstruieren. Nur der Blickwinkel auf die Ein(cid:29)ussfunktionen hat sich
mit dem Computer ge(cid:228)ndert.
Vorwort 5
Zweite Au(cid:29)age
Inderpdf-EditionwurdenkleinereKorrekturen,won(cid:246)tig,vorgenommenund
die Darstellung um rund 100 Seiten erweitert.
Die bei Kassel-University-Press erh(cid:228)ltliche gedruckte Version des Buchs
ist weiterhin auf dem Stand der 1. Au(cid:29)age vom Fr(cid:252)hjahr 2016, ebenso der
pdf-(cid:28)le auf der Seite der Kassel-University-Press.
Das elektronische Format macht es m(cid:246)glich, ˜nderungen und Erg(cid:228)nzun-
gen, gleich einem nie endenden work in progress, kontinuierlich in den Text
ein(cid:29)ie(cid:255)en zu lassen. Wir arbeiten also weiter an dem Text.
Die jeweils tages-aktuelle pdf-Version der zweiten Au(cid:29)age liegt auf den
Seiten www.be-statik.de und www.winfem.de.
Kassel Friedel Hartmann, Peter Jahn
Oktober 2017 [email protected], [email protected]

Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen............................................... 15
1.1 Einf(cid:252)hrung ............................................ 15
1.1.1 Das Prinzip der virtuellen Verr(cid:252)ckungen ............ 16
1.1.2 Der Satz von Betti ............................... 17
1.1.3 Ein(cid:29)ussfunktionen................................ 17
1.1.4 Identit(cid:228)ten ...................................... 18
1.2 Greensche Identit(cid:228)ten................................... 21
1.2.1 L(cid:228)ngsverschiebung u(x) eines Stabes................ 23
1.2.2 Schubverformung w (x) eines Balkens............... 24
S
1.2.3 Durchbiegung w eines Seils ........................ 25
1.2.4 Durchbiegung w eines Balkens ..................... 25
1.2.5 Durchbiegung w eines Balkens, Theorie II. Ordnung .. 26
1.2.6 Elastisch gebetteter Tr(cid:228)ger ........................ 27
1.2.7 Zugbandbr(cid:252)cke................................... 27
1.3 Die Arbeitss(cid:228)tze der Statik .............................. 27
1.4 Ein Null-Summen-Spiel................................... 29
1.5 Beispiele .............................................. 32
1.5.1 Das Prinzip der virtuellen Verr(cid:252)ckungen ............ 32
1.5.2 Energieerhaltungssatz............................. 33
1.5.3 Das Prinzip der virtuellen Kr(cid:228)fte................... 34
1.6 Rahmen............................................... 36
1.7 Einzelkr(cid:228)fte und Einzelmomente.......................... 39
1.8 Lagersenkung .......................................... 41
1.9 Federn ................................................ 45
1.10 Temperatur............................................ 46
1.11 Die vollst(cid:228)ndige Arbeitsgleichung......................... 46
1.12 Kurzform.............................................. 47
1.13 Dualit(cid:228)t............................................... 48
1.14 Ganze Tragwerke....................................... 52
1.15 Mohr contra Betti ...................................... 55
1.16 Schwache und starke Ein(cid:29)ussfunktionen ................... 58
1.17 Die kanonischen Randwerte.............................. 62
1.18 Die Reduktion der Dimension ............................ 64
1.19 Methode der Randelemente .............................. 66
1.20 Finite Elemente und Randelemente ....................... 69
7
8 Inhaltsverzeichnis
1.21 Testfunktionen ......................................... 71
1.22 M(cid:252)ssen virtuelle Verr(cid:252)ckungen klein sein? ................. 71
1.23 Nur, wenn Gleichgewicht herrscht?........................ 73
1.24 Was ist Weg und was ist Kraft? .......................... 74
1.25 Die Zahl der Weg- und Kraftgr(cid:246)(cid:255)en....................... 75
1.26 Warum das Minus in −EAu(cid:48)(cid:48) =p? ....................... 75
1.27 Die virtuelle innere Energie .............................. 76
1.28 Gleichgewicht .......................................... 77
1.29 Wie der Mathematiker das Gleichgewicht entdeckt.......... 80
1.30 Die Mathematik hinter dem Gleichgewicht................. 80
1.31 Gleichgewicht am verformten Tragwerk?................... 81
1.32 Quellen und Senken..................................... 82
1.33 Das Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie......... 83
1.33.1 Minimum oder Maximum?......................... 84
1.33.2 Horizontale Tangente ............................. 88
1.33.3 Wenn das Material rei(cid:255)t........................... 91
1.33.4 Wenn Lager entfallen ............................. 91
1.34 Unendliche Energie ..................................... 93
1.35 Sobolev’scher Einbettungssatz............................ 97
1.36 Der Reduktionssatz..................................... 101
1.37 Das Kraftgr(cid:246)(cid:255)enverfahren ............................... 103
1.38 Wo l(cid:228)uft es hin?........................................ 105
1.39 Einstein und die Statik.................................. 107
1.40 Nichtlineare Probleme................................... 108
1.40.1 Nichtlinearer Stab ................................ 109
2 Der Satz von Betti ....................................... 111
2.1 Grundlagen............................................ 111
2.2 Ein(cid:29)ussfunktionen f(cid:252)r Weggr(cid:246)(cid:255)en ........................ 113
2.2.1 Herleitung....................................... 116
2.3 Ein(cid:29)ussfunktionen f(cid:252)r Kraftgr(cid:246)(cid:255)en ....................... 118
2.3.1 Ein(cid:29)ussfunktion f(cid:252)r N(x) ......................... 120
2.3.2 Ein(cid:29)ussfunktion f(cid:252)r M(x) ......................... 121
2.3.3 Ein(cid:29)ussfunktion f(cid:252)r V(x).......................... 122
2.3.4 Lagersenkung ................................... 123
2.3.5 Die Kette der Ein(cid:29)ussfunktionen .................. 125
2.3.6 Momente di(cid:27)erenzieren die Ein(cid:29)ussfunktionen ....... 126
2.3.7 Ein R(cid:228)tsel....................................... 126
2.4 Statisch bestimmte Tragwerke............................ 128
2.4.1 Polpl(cid:228)ne ........................................ 130
2.4.2 Konstruktion von Polpl(cid:228)nen und Verschiebungs(cid:28)guren 131
2.4.3 Berechnung der Verdrehungen...................... 133
2.4.4 Berechnung der Verschiebung eines Punktes ......... 135
2.4.5 Ein(cid:29)ussfunktion f(cid:252)r eine Querkraft, Bild 2.19 ........ 135
2.4.6 Ein(cid:29)ussfunktion f(cid:252)r eine Normalkraft, Bild 2.20 ...... 136
Inhaltsverzeichnis 9
2.4.7 Ein(cid:29)ussfunktion f(cid:252)r ein Moment, Bild 2.21 .......... 137
2.4.8 Ein(cid:29)ussfunktion f(cid:252)r ein Moment, Bild 2.22 .......... 138
2.4.9 Ein(cid:29)ussfunktion f(cid:252)r eine Querkraft, Bild 2.23 ........ 141
2.4.10 Ein(cid:29)ussfunktion f(cid:252)r zwei Lagerkr(cid:228)fte, Bild 2.24 ...... 141
2.4.11 K(cid:228)mpferdruck am Bogen, Bild 2.25 ................. 143
2.5 Statisch unbestimmte Tragwerke ......................... 144
2.6 Ein(cid:29)ussfunktionen f(cid:252)r Lagerkr(cid:228)fte ........................ 146
2.7 Spr(cid:252)nge in Schnittgr(cid:246)(cid:255)en................................ 151
2.8 Die Nullstellen der Querkraft ............................ 152
2.9 Dirac Deltas ........................................... 153
2.10 Dirac Energie .......................................... 156
2.11 Punktwerte bei Fl(cid:228)chentragwerken........................ 162
2.12 Dualit(cid:228)t............................................... 163
2.13 Monopole und Dipole ................................... 167
2.14 Ein(cid:29)ussfunktionen f(cid:252)r integrale Werte..................... 171
2.15 Ein(cid:29)ussfunktionen rechnen r(cid:252)ckw(cid:228)rts ..................... 177
2.16 Theorie II. Ordnung .................................... 179
3 Finite Elemente .......................................... 183
3.1 Die Idee der (cid:28)niten Elemente ............................ 183
3.2 Warum die Knotenwerte beim Seil exakt sind .............. 186
3.3 Addition der lokalen L(cid:246)sung ............................. 189
3.4 Projektion............................................. 194
3.5 ˜quivalente Knotenkr(cid:228)fte ............................... 196
3.6 Festhaltekr(cid:228)fte ......................................... 198
3.7 Shape forces und der FE-Lastfall ......................... 201
3.8 Finite Elemente f(cid:252)r Fu(cid:255)g(cid:228)nger ........................... 208
3.9 Der FE-Lastfall bei Platten.............................. 209
3.10 Kopplung von Bauteilen................................. 212
3.10.1 Inzidenzmatrizen ................................. 213
3.10.2 ˜quivalente Spannungs Transformation ............. 214
3.11 Berechnung von Ein(cid:29)ussfunktionen mit (cid:28)niten Elementen ... 215
3.12 Funktionale............................................ 218
3.13 Schwache und starke Ein(cid:29)ussfunktionen ................... 220
3.14 Beispiele .............................................. 222
3.15 Die lokale L(cid:246)sung ...................................... 231
3.16 Die zentrale Gleichung .................................. 233
3.17 Zustandsvektoren und Messungen ........................ 234
3.18 Der Satz von Maxwell................................... 236
3.19 Die inverse Stei(cid:28)gkeitsmatrix ............................ 240
3.20 Beispiele .............................................. 242
3.21 Allgemeine Form einer FE-Ein(cid:29)ussfunktion ................ 245
3.22 Weich aufgeh(cid:228)ngte Tragwerke............................ 246
3.23 Finite Di(cid:27)erenzen und Ein(cid:29)ussfunktionen.................. 249
3.24 Die Natur macht keine Spr(cid:252)nge, aber die (cid:28)niten Elemente ... 252
10 Inhaltsverzeichnis
3.25 Der Weg vom Aufpunkt zur Belastung .................... 253
3.26 Die Spalten von K und K−1 ............................ 254
3.27 Die inverse Stei(cid:28)gkeitsmatrix als Analysetool .............. 256
3.27.1 Maximale Verformungen .......................... 256
3.27.2 Maximale Momente............................... 257
3.27.3 Beliebige Funktionale ............................. 258
3.28 Lokale ˜nderungen und die Inverse ....................... 259
3.29 Das Weggr(cid:246)(cid:255)enverfahren ................................ 259
3.29.1 Wie kommt man auf Ku=f ? .................... 260
3.29.2 Handberechnung von K........................... 262
3.29.3 Finite Elemente .................................. 263
3.29.4 Drehwinkelverfahren .............................. 264
3.30 Mohr und die Flexibilit(cid:228)tsmatrix K−1 .................... 265
3.31 Querschnitts(cid:228)nderungen................................. 267
3.32 Sensitivit(cid:228)tsplots ....................................... 268
3.33 Die Lagerkr(cid:228)fte der FE-L(cid:246)sung........................... 273
3.34 Ein(cid:29)ussfunktion f(cid:252)r ein starres Lager ..................... 274
3.35 Lagersenkung Æ la FEM ................................. 278
3.36 Ein(cid:29)ussfunktion f(cid:252)r ein federndes Lager ................... 280
3.37 Wandknoten ........................................... 282
3.38 Genauigkeit der Lagerkr(cid:228)fte ............................. 284
3.39 Punktlasten und Punktlager bei Scheiben.................. 284
3.40 Punktlager sind hot spots ............................... 287
3.41 Der amputierte Dipol ................................... 291
3.42 Einzelkr(cid:228)fte als Knotenkr(cid:228)fte ............................ 297
3.43 Die Grenzen von FE-Ein(cid:29)ussfunktionen ................... 298
4 Betti Extended ........................................... 301
4.1 Beweis ................................................ 302
4.2 In welchen Punkten ist die FE-L(cid:246)sung exakt? .............. 304
4.3 Exakte Werte .......................................... 310
4.4 Eindimensionale Probleme............................... 310
4.5 Fl(cid:228)chentragwerke....................................... 314
4.6 Punktlager bei Scheiben und Platten und der Unterschied ... 316
4.7 Wenn die L(cid:246)sung in V liegt ............................. 317
h
4.8 Patch-Test............................................. 320
4.9 Adaptive Verfeinerung .................................. 320
4.10 Goal oriented adaptive re(cid:28)nement ........................ 322
4.11 Pollution .............................................. 324
5 Stei(cid:28)gkeits(cid:228)nderungen und Reanalysis .................... 329
5.1 Ein erster Versuch...................................... 329
5.2 Zweites Beispiel ........................................ 332
5.3 Strategie .............................................. 333
5.4 Addition oder Subtraktion von Stei(cid:28)gkeiten................ 334