Table Of ContentFriedel Hartmann
Casimir Katz
Statik mit finiten
Elementen
2. Auflage
Statik mit finiten Elementen
Friedel Hartmann • Casimir Katz
Statik mit finiten Elementen
2. Auflage
Friedel Hartmann Casimir Katz
Baunatal, Deutschland Sofistik AG
Oberschleissheim, Deutschland
ISBN 978-3-662-58924-3 ISBN9 78-3-662-58925-0 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-58925-0
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Lektorat: Dipl.-Ing. Ralf Harms
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Vorwort
Die Methode der finiten Elemente ist heute aus den technischen Büros und
Ingenieurbüros nicht mehr wegzudenken. Insofern hat sie eine beispiellose
Erfolgsgeschichte hinter sich und wohl auch noch ein gutes Stück vor sich.
Plötzlich war es möglich, Tragwerke zu analysieren, die vorher einer Berech-
nung nicht zugänglich waren.
Mit dem Erfolg kam aber auch die Kritik, denn es wurde spürbar, dass
die Kenntnis der Grundlagen nicht im gleichen Sinne mitgewachsen ist, ja
Prüfingenieure klagen, dass die Methode zunehmend unkritisch eingesetzt
wird, ohne dass die Ergebnisse in irgendeiner Form hinterfragt werden. Oft
fehlt es an dem einfachsten Verständnis für die Grenzen und Möglichkeiten
der Methode.
Das ist eigentlich schade, denn hinter den finiten Elementen steckt, so
merkwürdig das jetzt hier klingen mag, ‚richtige‘, klassische Statik. Die Me-
thodederfinitenElementebedeutetmehr,alsdassmaneinTragwerkinklei-
ne Elemente zerlegt, sie in den Knoten verbindet und die Belastung durch
Knotenkräfte ersetzt. Das ist ein beliebtes Modell, aber dieses Modell ver-
kürzt die statische Wirklichkeit in einem solchen Maße, dass es schon wieder
irreführend ist. Zu oft wird vergessen, dass dieses Modell nur ein Modell ’als
ob’ ist.
Die Unkenntnis der Grundlagen ist um so mehr zu bedauern, als die Idee
hinter den finiten Elementen eigentlich sehr einfach ist. Es ist das klassische
Prinzip der virtuellen Verrückungen: So wie ein Waagebalken ins Gleichge-
wicht kommt, wenn wir die eine Last mit der anderen Last aufwiegen, so ist
esmitdenfinitenElementen:InderlinkenWaagschaleliegt,imübertragenen
Sinn, die ursprüngliche Belastung p, und wir legen in die rechte Waagschale
eineErsatzlastp so,dassbeijederDrehungdesWaagebalkensbeideLasten
h
die gleiche Arbeit leisten. Das ist – natürlich etwas verkürzt – die Methode
der finiten Elemente.
EinVerständnisfürdieGrundlagenderfinitenElementeistVoraussetzung
dafür,dassmanFE-Programmesinnvolleinsetzenkann,dassmanErgebnisse
bewerten kann, denn erst aus dem Wissen um die Grundlagen kommt die
nötige Souveränität und Gelassenheit im Umgang mit FE-Programmen.
Das Ziel des Buches war es daher, die Grundlagen der finiten Elemente in
einer an die Vorstellungswelt des Ingenieurs angepassten Sprache darzustel-
len,siesoaufzubereiten,dassdieStatikhinterdenfinitenElementensichtbar
V
VI Vorwort
wird. Dabei kam es uns vor allem darauf an, die Ideen zu vermitteln. Sie wa-
renwichtigundnichtunbedingtdietechnischenDetails,denndieStatiksollte
im Vordergrund stehen und nicht das Programmieren der Elemente. Und so
haben wir auch viel Wert auf illustrative Beispiele gelegt.
Die finiten Elemente wurden nicht von Mathematikern sondern von Inge-
nieuren erfunden (Argyris, Clough, Zienkiewicz). In der Tradition der mit-
telalterlichen Baumeister wurden Elemente ersonnen und ausprobiert, ohne
dass man die genauen Hintergründe gekannt hätte. Die Ergebnisse waren
empirischbrauchbar,undmanwardankbar,dassmanüberhauptAntworten
auf Fragen erhielt, die vorher unlösbar waren. In einem zweiten Zeitalter,
das man barock nennen könnte, wurden dann immer komplexere Elemente
entwickelt, ein FE-Programm bot dem Benutzer 50 oder mehr verschiede-
ne Elemente an. Die dritte Phase, die der Aufklärung, begann damit, dass
sich die Mathematiker mit der Methode beschäftigten und versuchten, die
Hintergründe der Methode zu finden. In Teilen war ihr Bemühen vergeblich
oder extrem schwierig, da die Ingenieure in der Vergangenheit ‚Kunstgriffe‘
angewandt hatten (reduzierte Integration, nichtkonforme Elemente, diskrete
Kirchhoff-Elemente), die nicht in das Muster der Voraussetzungen passten.
Hinzu kam das Problem, dass manche mathematischen Gesetze (z.B. das
Maximumsprinzip) auf diskrete Systeme angepasst werden mussten. Zug um
Zug wuchs aber die Erkenntnis, und heute haben zumindest Mathematiker
kein schlechtes Gefühl mehr, wenn sie sich mit den Grundlagen der finiten
Elementeauseinandersetzen,jaesgelingtsogarjetztzutreffendeVoraussagen
über die Eigenschaften eines Elements zu machen, das man analysiert hat.
Insofernmussmananerkennen,dasszudenGrundlagenderfinitenElemente
auch mathematische Aspekte gehören.
Die Autoren dieses Buches sind beide Ingenieure mit mathematischem
Hintergrund, die zwischen der Welt der angewandten Mathematik und der
Praxis stehen. Mit ein Ziel dieses Buches ist es, dem Praktiker die mathema-
tischen Grundlagen in einer Form nahe zu bringen, die es ihm erlaubt, ohne
detaillierte Kenntnisse der Mathematik vertiefte Einsicht in die Grundlagen
der Methode zu erwerben. Wenn es die letztlich unersetzliche kritische Be-
schäftigung mit den Ergebnissen der FE-Methode unterstützt, hat es seinen
Zweck erreicht.
Im Mai 2001 Friedel Hartmann, Casimir Katz
Danksagung Die Kolleginnen und Kollegen Dipl.-Ing. Baumann, Prof. Dr.-Ing. Barth,
Dr.-Ing. Bellmann, Dipl.-Ing. Filus, Dipl.-Ing. Grätsch, Prof. Dr.-Ing. Holzer, Dr.rer.nat
Dr.-Ing. Jahn, Dipl.-Ing. Kemmler, Dr.-Ing. Kimmich, Prof. Dr.-Ing. Pauli, Dr.-Ing.
Pflanz, Prof. Dr.-Ing. Ramm, Prof. Dr.-Ing. Schikora, Prof. Dr.-Ing. Schnellenbach-Held,
Dr.-Ing. Schroeter, Dipl.-Ing. v. Spiess haben uns tatkräftig unterstützt. Ihnen gilt unser
besondererDank.
Vorwort VII
Zweite Auflage
Zwischen der ersten deutschen Auflage im Jahr 2001 und der hier vorlie-
genden neuen zweiten deutschen Auflage liegen 18 Jahre. Nur unterbrochen
von der ersten und dann stark erweiterten zweiten englischen Ausgabe (600
Seiten),diedentheoretischenDetailsvielRaumgibt.WennmandieAuflagen
nebeneinander legt, dann fällt auf, wie sich die Gewichte in der Darstellung
der finiten Elemente verschoben haben.
Ging es früher um die technischen und numerischen Aspekte, so geht es
heute vorwiegend um die Modellierung eines Tragwerks mit finiten Elemen-
ten, denn das Paradies, in das uns die finiten Elemente geführt haben, hat
Dornen. Finite Elemente sind alles andere als einfach. Spätestens die Ver-
gleichsberechnungen eines Prüfingenieurs mit einem zweiten FE-Programm
geben Anlass über das ‚wie‘ einer Modellierung mit finiten Elementen nach-
zudenken.
Es sind praktisch zwei Aspekte, die sich miteinander verschränken der
numerische Aspekt, wie groß mache ich die finiten Elemente, wo verfeinere
ich das Netz und alle Fragen der Modellierung, wie löse ich das Tragwerk
in Elemente auf, welche Elemente wähle ich? In einer Umgebung, die durch
das Ausufern der technischen Normen und Nachweise strapaziert ist, ist die
Beantwortung dieser Fragen essentiell.
Dabei ist es aber wichtig, dass die Verhältnismäßigkeit gewahrt wird, und
dasbedingtwieder,dassmanverstehtwasfiniteElementesind,welcheIdeen
hinter den finiten Elementen stecken, man mit der nötigen Gelassenheit an
die Numerik herangehen kann, Herr im Hause bleibt.
IndiesemSinnewilldasBuchHilfeundUnterstützunganbieten,indemes
demTragwerksplanerdieStatikhinterdenfinitenElementendeutlichmacht
–überraschenderweiseistdasklassischeThemaderEinflussfunktionendabei
eine große Hilfe – und über die Klippen und Untiefen einer FE-Berechnung
führt.
Kassel/München Friedel Hartmann, Casimir Katz
Januar 2019 [email protected], Casimir.Katz@sofistik.de
Danksagung Herr Kollege Werkle, Hochschule Konstanz, hat uns bei der korrekten
Formulierung der Äquivalenten Spannungs Tranformation, Abschn. 4.6, tatkräftig
unterstützt.DafürseiihmandieserStellegedankt.
Inhaltsverzeichnis
1 Was sind finite Elemente? ................................ 1
1.1 Finite Elemente in drei Zeilen............................ 1
1.2 Fünf Thesen ........................................... 1
1.3 Finite Elemente am Seil ................................. 9
1.4 Addition der lokalen Lösung ............................. 13
1.5 Projektion............................................. 14
1.6 Der Fehler der FE-Lösung ............................... 19
1.7 Eine schöne Idee, die nicht funktioniert.................... 21
1.8 Schwache Lösung....................................... 22
1.9 Seil ................................................... 29
1.10 Fehlerquadrat.......................................... 32
1.11 Skalarprodukt und schwache Lösung ...................... 33
1.12 Äquivalente Knotenkräfte ............................... 37
1.13 Warum FE-Ergebnisse nur Näherungen sind ............... 39
1.14 Steifigkeitsmatrizen..................................... 43
1.15 Gesamtsteifigkeitsmatrix ................................ 47
1.16 Lagerbedingungen ...................................... 50
1.17 Gleichgewicht .......................................... 51
1.17.1 Das Schnittprinzip................................ 52
1.18 Die Ergebnisse im Ausdruck ............................. 53
1.19 Einfluss der Modellbildung bei der Berechnung am
Gesamtmodell.......................................... 55
1.19.1 Kritische Punkte bei der Statik am Gesamtsystem.... 56
1.19.2 Steifigkeit im Gesamtsystem ....................... 61
1.19.3 Beispiel Unterzug ................................ 62
1.19.4 Die Abweichungen in den Ergebnissen .............. 66
2 Einflussfunktionen ........................................ 69
2.1 Funktionale............................................ 72
2.2 Berechnung von Einflussfunktionen mit finiten Elementen ... 74
2.3 Allgemeine Form einer FE-Einflussfunktion ................ 77
2.4 Beispiele .............................................. 78
2.5 Die inverse Steifigkeitsmatrix ............................ 82
2.6 Einflussfunktionen für integrale Werte..................... 85
2.7 Monopole und Dipole ................................... 90
IX
X Inhaltsverzeichnis
2.8 Prinzip von St. Venant .................................. 94
2.9 Die Reduktion der Dimension ............................ 96
3 Stabtragwerke ............................................ 101
3.1 Einleitung ............................................. 101
3.2 Der verallgemeinerte FE-Ansatz.......................... 102
3.2.1 Querschnittswerte ................................ 109
3.2.2 Steifigkeitsmatrix................................. 111
3.2.3 Schubspannungen und Schubverformungen........... 112
3.2.4 Einfluss des Schubmittelpunkts, Wölbkrafttorsion .... 115
3.2.5 Der allgemeine Stab .............................. 116
3.2.6 Plastische Nachweise.............................. 117
3.2.7 Prandtl-Lösung .................................. 118
3.2.8 Isotrope Reduktion ............................... 118
3.2.9 Vorrang Schub ................................... 119
3.3 Nichtlineare Berechnung................................. 120
3.4 Finite Elemente und das Drehwinkelverfahren.............. 123
3.5 Steifigkeitsmatrizen..................................... 125
3.5.1 Die Dimension der f ............................. 130
i
3.6 Näherungen für Steifigkeitsmatrizen....................... 131
3.7 Temperatur, Vorspannung und Lagersenkung .............. 133
3.8 Stabilitätsprobleme ..................................... 134
3.8.1 Knicklängen ..................................... 138
3.8.2 Seile ............................................ 141
3.9 Stabilitätsnachweise komplexer Tragstrukturen ............ 146
3.9.1 Die Stabtheorie .................................. 146
3.9.2 Querschnittswerte ............................... 148
3.9.3 Nachweise am Querschnitt ........................ 154
3.9.4 Nichtlineare Verfahren ............................ 157
3.9.5 Interaktion von Schub- und Normalspannungen ...... 157
3.9.6 Stabilitätsnachweise am Querschnitt ............... 159
3.9.7 Stabilitätsnachweise am Gesamtsystem ............. 161
3.9.8 Zusammenfassung ............................... 163
4 Scheiben.................................................. 165
4.1 Kragscheibe ........................................... 165
4.1.1 Ergebnis und Interpretation ....................... 171
4.2 Grundlagen............................................ 174
4.3 Der FE-Ansatz......................................... 179
4.4 Scheibenelemente....................................... 181
4.5 Das Netz .............................................. 183
4.6 Äquivalente Spannungs Transformation.................... 184
4.7 Der Patch-Test......................................... 190
4.8 Lasten ................................................ 194
4.9 Lager ................................................. 196
Inhaltsverzeichnis XI
4.9.1 Steifigkeiten der Lager ............................ 197
4.9.2 Punktlager sind hot spots ......................... 198
4.9.3 Der amputierte Dipol ............................. 202
4.9.4 Lagersenkung .................................... 203
4.9.5 Dehnungsbehinderung ............................ 203
4.9.6 Wandpfeiler, Fenster- und Türstürze ................ 203
4.10 Elementspannungen..................................... 205
4.11 Warum die Spannungen springen ......................... 209
4.12 Bemessung ............................................ 210
4.13 Mehrgeschossige Wandscheibe............................ 215
4.14 Wandscheibe mit angehängter Last ....................... 222
4.15 Ebene Probleme der Bodenmechanik...................... 226
4.15.1 Eigenspannungen und Primärlastfälle ............... 227
4.15.2 Setzungsberechnung .............................. 228
4.15.3 Diskontinuitäten ................................. 230
4.16 3D Probleme........................................... 231
4.17 Inkompressible Medien .................................. 232
4.18 Adaptive Verfahren ..................................... 234
4.18.1 Dualitätstechniken................................ 236
4.19 Singularitäten.......................................... 238
4.19.1 Einzelkräfte ..................................... 241
4.19.2 Kragscheibe ..................................... 243
4.20 Sensitivitätsplots ....................................... 247
4.21 Reanalysis............................................. 248
4.22 Dipole und Monopole ................................... 253
4.23 Die Bedeutung für die Praxis ............................ 255
4.24 Integrale Brücken....................................... 260
4.25 Verstärkungen ......................................... 263
5 Platten ................................................... 265
5.1 Schubstarre Platten..................................... 267
5.1.1 Querdehnung .................................... 268
5.1.2 Gleichgewicht.................................... 270
5.1.3 Eckkraft ........................................ 271
5.2 Der Weggrößenansatz ................................... 271
5.3 Elemente .............................................. 272
5.4 Steifigkeitsmatrizen..................................... 273
5.5 Die Kinematik schubstarrer Platten....................... 275
5.6 Pollution .............................................. 276
5.7 Schubweiche Platten .................................... 281
5.8 Die Kinematik der schubweichen Platte ................... 285
5.8.1 Shear locking .................................... 287
5.9 Schubweiche Plattenelemente ............................ 289
5.9.1 Das Bathe-Dvorkin-Element ....................... 289
5.9.2 Das DKT-Element................................ 290
