Table Of ContentStatik der
Formanderungen
von Vollwandtragvverken
Von
Ing. Leopold Herzka
Wien
Mit zahlreichen Beispielen, 28 Tabellen
und ;[22 Textabbildungen
Wien
Springer-Ve rlag
1948
ISBN-13: 978-3-211-80051-5 e-ISBN-13: 978-3-7091-7709-9
DOl: 10.1007/978-3-7091-7709-9
Aile Rechte, insbesondere das der Dbersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten
Copyright 1948 by Springer-Verlag in Vienna
Vorwort.
Tragwerke, die besonderen Belastungen oder au13ergewohnlichen Kraft
einwirkungen ausgesetzt sind, durch die Kiihnheit ihrer Konstruktion bzw.
eine nicht alltagliche Zweckbestimmung sich auszeichnen, endlich solche, die
aus neuartigem, noch nicht geniigend durchforschtem Material bestehen, werden
unmittelbar vor Dbergabe an den Betrieb einer amtlichen Belastungsprobe
unterzogen, die in bestimmten Zeitabschnitten wiederholt wird (periodische
Erprobung). In Verbindung mit den Ergebnissen einer plangema13en Dberpriifung
stehen uns damit ausreichende Anhalte zur Abgabe eines zutreffenden Urteiles
iiber die Giite des in Frage stehenden Bauwerkes zur Verfiigung. Die periodischen
Deformationsmessungen an bereits im Betriebe stehenden Tragwerken geben
wieder Aufschlu13 iiber zwischenzeitlich etwa entstandene, optisch nur schwer
wahmehmbare Mangel an lebenswichtigen Traggliedern, mit deren Bestehen
immer dann zu rechnen ist, wenn im Vergleiche mit den Ergebnissen voran
gegangener Proben unzulassig gro13e Deformationen auftreten. Die Wichtigkeit
und Notwendigkeit solcher diagnostisch unentbehrlichen Messungen wurde
schon friih erkannt. Fehldiagnosen sind allerdings nicht ausgeschlossen, besonders
wenn die verschiedenen Faktoren, die das Me13ergebnis ma13geblich beeinflussen,
nicht richtig gedeutet und gegeneinander abgeschatzt werden. Hier setzt die
ebenso schwierige wie verantwortungsvolle Tatigkeit des mit der Priifung und
Erprobung betrauten Ingenieurs ein, der daher nicht nur iiber griindliches Wissen
und reiche Erfahrung, sondern dariiber hinaus auch liber gewisse technisch
diagnostische F iihigkeiten verfligen mli13te. Andernfalls besteht, wie die Erfahrung
lehrt, die nicht llnbegriindete Befiirchtung, daB z. B. Rekonstruktionen angeordnet
werden, die, abgesehen von den Kosten, zumindest abwegig, wenn nicht gar
system widrig sein konnen.
Die notwendige Voraussetzung Hir fachlich vertretbare Folgerungen ist an
das Vorhandensein einer geeigneten Vergleichsbasis gekniipft; als solche gilt,
weil im We sen der Probebelastung gelegen, die tunlichst genaue Kenntnis der
theoretisch richtig erfa13ten FormanderungsgroBen. Das bis in die letzte Zeit
vorherrschende Bestreben, geeignete Verfahren zu ihrer Ermittlung zur Ver
fiigung zu stellen, ist schon yom Standpunkte einer einwandfreien Entwurfs
bearbeitung begreiflich; denn es ist vielfach geboten, sich iiber die GroBe der
in Frage kommenden Deformationen schon vor Ausfiihrung bzw. Belastung
des Tragwerkes ein zutreffendes Urteil zu bilden, urn erforderlichenfalls die
statischen Untersuchungen durch jene der Formanderung zu erganzen und
diese bei der endgiiltigen Bemessung zu berlicksichtigen bzw. als maBgeblich
fiir die Verstarkung, Verbesserung oder gar Abanderung des gewahlten Trag
systems heranzuziehen. Solche Vorberechnungen sind notwendig, wenn z. B.
durch die besondere Zweckbestimmung des Bauwerkes die Einhaltung be
stimmter, durch behordliche Vorschriften oder auf Grund von Erfahrungen
festgelegter DeformationsmaBe gefordert wird.
IV Vorwort
Es muB als Mangel empfunden werden, daB fUr die Errechnung von Form
anderungsgraBen vollwandiger Tragwerke eine einheitliche und einfache Lasung
bisher nicht angegeben wurde, obzwar die aus der Arbeitsgleichung abgeleitete
Grundformel das Bestehen einer so1chen vermuten laBt. Das nachstehend ent
wickeIte, rein mathematische Verfahren, das sich zwanglos aus der Interpretation
eines der Biegelinie eingeschriebenen Polygons ergibt und als Biegelinie-Polygon
Verfahren (BPV) bezeichnet werde, wird dieser Forderung gerecht; es fUhrt
ohne Rucksicht auf die Art der Belastung - gleichguItig, ob die Tragwerksteile
konstantes bzw. stetig veranderliches oder selbst gestuftes Tragheitsmoment
aufweisen - zu einer im Gebrauche einfachen Lasung und gestattet die Ableitung
geschlossener Formeln sowohl zur Berechnung von auf Biegung als auch auf
Knickung beanspruchter Trager. Endlich ermaglicht dieses Verfahren die durch
biegungsgemiif3e Bemessung von Triigern bei vorgegebenem Biegungspfeil.
Die Ableitung des BPV fUhrt zwanglos zur Verwendung des in die Statik
eingefUhrten Begriffes der dimensionslosen und richtungsfreien ideellen Krafte,
der elastischen Gewichte, deren in einem bestimmten Punkte auftretende Quer
krafte bzw. Momente unmittelbar das MaB der gefragten Verdrehung oder
Durchbiegung angeben.
Die 1938 begonnene Bearbeitung und buchmaBige Zusammenfassung des be
handelten Wissenszweiges fiel sohin in die tragischeste Epoche Europas (zweiter
WeItkrieg); sie war nicht zuletzt dadurch gekennzeichnet, daB politisch Verfolgte,
zu den en auch ich geharte, ihrer persanlichen Freiheit und aller burgerlichen Rechte
beraubt waren. In der hiedurch bedingten seelischen Vereinsamung und erzwungenen
Abgeschlossenheit bot meine Forscherarbeit die erwlinschte, wenn auch zwischen
zeitig oft labile Stutze, die Nate der Zeiten zu uberdauern.
Ich ubergebe mein Buch der Fachwelt mit dem Wunsche, das darin entwickelte
Verfahren - des sen Einfachheit, Brauchbarkeit bzw. Verlaf31ichkeit an zahl
reichen, meist dem neuzeitlichen Fachschrifttum entnommenen, voUstandig
durchgerechneten Beispielen nachgepruft wurde - mage sich in die Praxis
einburgern und darliber hinaus zu weiterer Forschertatigkeit anregen.
Die Durchsicht und Korrektur der Druckbi:igen besorgte mein langjahriger
Mitarbeiter Herr Dipl.-Ing. Dr. Josef Schreier. Ich fUhle mich verpflichtet,
ihm fUr seine Tatigkeit meinen Dank auszusprechen; ebenso gebuhrt dem Veri age
fUr sein verstandnisvolles Eingehen auf meine zahlreichen, im Zuge der Druck
legung aufscheinenden Wunsche und insbesondere fUr die hervorragende satz-und
drucktechnische Buchausstattung meine voUste Anerkennung.
Wien, September 1948.
lng. Leopold Herzka.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
I. Einleitung ............................................................ .
II. Biegelinien-Polygon-Verfahren (BPV) ..................................... 2
I II. Die elastischen Gewichte................................................ 5
A. Die Endverdrehungswinkel ........................................... 5
B. Allgemeine Formeln fur die clastischen Gewichtc....................... 9
IV. Anwendungsbeispiele.................................................... I I
A. Durchbiegung bei beliebiger Belastung................................. II
B. Tragerdurchbiegung infolge von Drehmomenten (j = konst.) ............ 34
C. Durchbiegung von durch Lamellen verstarktcn Tragern. . . . . . . . . . . . . . . .. 40
D. Durchbiegung eines Vierendeeltragers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58
E. Auslenkung von Konsoltragern (j = konst.) ........................... 60
F. Ausbiegung lamellenverstarkter Konsolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65
G. Durchbiegung eines Stahlmastes mit gegen das freie Ende gradlinig ver-
jungtem Stegblech................................................... 75
V. Durchbiegungsgemal3e Bemessung von Vollwandtragern aus Stahl........... 78
A. Freiaufliegende Trager.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
B. Konsoltrager........................................................ 93
C. Maste aus unverstarkten \Valztragern ...............................•. 97.
VI. Saulen (Maste) unter exzentrischem Kraftangriff .......................... 102
VII. Knicklast von Saulen mit abgestuftem Traghcitsmomcnt . . . . . . . . . . . . . . . . . .. I 12
VIII. Langenanclerung cler Sehne eines Stabzuges (Sehnenformel) ................. 128
IX. Anwent!ungsbeispiele (Rahmen) .......................................... 130
X. Berechnung von Tragwerksverschiebungen mit Hilfe des Sehnensatzes....... 140
XI. Deformation von Rahmentragwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15 I
XII. Rahmen- (Tragswerks-) Verformungen infoJge von Normalkraften ............ 153
XIII. Rahmen- (Tragswerks-) Verformungen infoJge von Schubkraften ............. 155
XIV. Tragwerksdeformationen infolge ungleichmaf3iger Durchwarmung . . . . . . . . . . .. 161
XV. Beispiele zu den Abschnitten XI bis XlV ................................ 163
XVI. Durch Anlaufe (Vouten, Schragen) verstarkte Trager ...................... 187
A. Endverdrehungsmaf3 und Schragehochzahl ............................. 187
B. Tragwerksdurchbiegungen unt! Rahment!eformationcn. BeispieJe ......... 192
XVII. Kragtrager mit Anlauf .................................................. 22 I
Literaturverzeichnis .................................................... 231
I. Einleitung.
Die GroSe der Verformungen irgendwie belasteter Tragwerke ist vom
verwendeten Baustoff und den Eigenheiten, bezw. der Lagerung des Trag
werksystems abhangig; ihr MaS wird zumeist mit Hilfe der nur von den
Momenten bedingten Arbeitsgleichung:
O=JM M'ds
EJ
bestimmt. Der oft betrachtliche Beitrag aus den Warmewirkungen, den
N ormal- und Querkraften wird mit Vorteil durch einen gesonderten Rech
nungsgang nachtraglich ermittelt.
Die Geschlossenheit obiger Grundformel, die ohne Riicksicht auf
.Form, Belastung und Querschnittsgestaltung des Tragwerkes fUr samtliche
Deformationsarten gilt, laSt das Bestehen eines allgemein giiltigen Ver
fahrens vermuten. Dieses Ziel wurde meines Wissens trotz vielfacher
Versuche noch nicht in befriedigender Weise erreicht. Die zahlreichen bis
her bekannten, teils rein mathematischen, teils graphischen oder kombi
niertenMethoden, - erwahnt seien nur die von Mohr, N elds, Miiller-Breslall,
und von neueren jene von Abeles [7P, Kammer [76], Schroeter [25], ViJl
cenz [29], Wanke [30e}, - die unter gewissen Voraussetzungen oft iiber
raschend einfach das gestellte Problem lOsen, stellen eigentlich Sonder
lOsungen dar, die, auf verschiedenen Gedankengangen aufgebaut, jeweils
ein besoncleres Stuclium erfordern.
Das nachstehend entwickelte Biegelinien-Polygoll-T" erjahren, tiber
dessen Wesen erstmalig a. a. O. berichtet wurde (12, k), lOst das gegen
standliche Problem mit den einfachsten Mitteln auf durchwegs einheit
licher Grundlage; es stiitzt sich auf in der Statik allgemein gebrauchliche
Grundsatze und liefert fast unmittelbar den genauen mathematischen
Ausdruck fUr die gesuchten Deformationen.
1 Hinweise auf beniitztes oder bezogenes Schrifttum, das am Schlusse iibersicht
lich zusammengestellt ist, sind durch in Klammer gesetzte Bezugszahlen gekenn
zeichnet.
Her z k a, Vollwandtragwerke.
II. Biegelinien-Polygon'-Verfahren (BPV).
Dem frei gelagert gedachten Trager (Abbo 1 a) entspricht fiir eine vor
gegebene Belastung die Momentenlinie (Abbo 1 b) und die tatsachIiclze Biege
Iinie (Abbo 1 c); denkt man sich den Trager an beliebiger, vor allel1iaber
an allen Stellen der Unstetigkeit (sprunghafte Anderung der Hohe, Einzel
lastangriff) und am Orte del' Zlt suchenden Durclzbiegung, Zo Bo /2' durch
schnitten und die einzelnen Tragerteile II' I20 durch eingeschaltete Ge
0 0
lenke 1, 20 .. , die samtlich auf der Biegelinie liegen, wieder verbunden,
so entsteht der dieser Linie eingeschriebene Polygonzug .4, 1, 2, ... B
0
Infolge der in den Gelenken wirksamen Endmomente 1\111' 1',12, ... und der
auf die Tragerstiicke Iv 12"" allen falls ent/allenden Streckenbelastungell
erfahren die Polygonseiten gewisse Endverdrehungen i, z. 'Bo die Seite II
die Verdrehung IiI (links vom Gelenk 1) und 12 eine so1che von ,i1 (rechts
~~
a.)
~I
b)
c)
Abb. 1
hiervon). Die Summe der in einem Gelenke "k" auftretenden Verdrehungen
betragt allgemein: ik = (Iik + ,i,,). SoH in den GelenksteHen wieder
Kontinuitat bestehen, so miissen die Schenkel der von den Polygonseiten
abgetragenen Verdrehungswinkel auf einer Geraden liegen (gemeinsame
Tangente an die Biegelinie). Bezeichnet man die Sehnendl'ehwinkel del'
Tragerendteile mit YA und YB, so gilt die rein geometrische Beziehung
YA+YB=I:i. (1)
Sie folgt unmi ttelbar a us der Winkelsumme eines n-Eckes:
k=(2n-,I-). (; -
; (n-2) YA + Yn + ik) = YA + YB + ~ (n-2)-1:' ..
=--0
k=2
Biegelinien-Polygon-Verfahrcn (BPV).
Links steht der allgemeine Ausdruck hiefiir, rechts als Funktion von
Y und ,. Wegen der Kleinheit der WinkelmaSe darf gesetzt werden:
sin, ::::::; tg, ::::::; ,; cos i ::::::; 1; dies gilt auch fiir y.
Fur den zu suchenden Biegepfeil 12 entnimmt man unmittelbar Abb. 1 c:
12 = 11 -12 £52 = 13 + 13 £53, (2)
wobei
11 = 11 YA und 13 = 14 Yn .
£52 und £53 sind die ideellen Stabdrehwinkel von 12 bezw. 13,
Ersichtlich ist
clamit aus Gl. (2)
(3)
+
GI. (1) mit (la '4) multipliziert liefert durch Verknupfung mit G1. (3)
+ + '4 +
12 13 13 14 14
YA= I "1+-I--·'2+1· T3'
ebenso gilt (4)
+ + +
II II 12 II l2 13
Yll=I·'1+--l-·T2+ l .T3·
Bezeichnet man, ''''ie ublich, die T-Werte als elastische Gewichte, (von
Miiller-Breslau mit bezeichnet), so stellen die Se1menstabdrehwinkel
(J)
YA und Yn auch schon die elastischen A ullagerdriicke aus diesen Gewichten
dar. Hiebei wird vorausgesetzt, daB sie in Richtung der Durchbiegung,
also senkrecht zur Balkenachse wirken. Nach Abb. 1 c betragt die ge
.mchte Durchbiegung:
und mit clem \Vertc fiir 15
2
12 = (it + 12)YA -/2'1 (5)
Dafiir laSt sich auch schreiben Gl. (4)
I - ~L+~ 4] + (II + l2) (13 + l4) + (ll -t~~ (6)
2- I "1 I "2 I .T3 ·
Gl. (5) und (6) stellen ersichtlich jene Biegungsmomente dar, die durch
die in gewissen ausgezeichneten, im iibrigen abel' Irei gewiilzlten Triigerpun!?ten
angreilenden elastischen Gewichte an del' Stelle der zu suchel1den Durch
biegllng hervorgerlllen ,verden.
Die nachtriigl£che Bestimmung der Durchbiegttng 1m im beliebigen
Punkte m' der Gelenkstrecke li = (i - 1)' - i' (Abb. 2) laSt sich gleich
falls mit Hilfe der Gl. (6) berechnen. Es besteht:
1m = I",' + L1 1m
und mit den gewahlten Bezeichn*ung en:
1m' = (v I(i-l) + 11 lil
l'
4 Biegelinien-Polygon-Verfahren (BPV).
l(i-I) , Ii sind die bekannten Durchbiegungen der Punkte (i - 1)' und i';
an Stelle der elastischen Teilgewichte ,T(i-I) und ITi, die vor Einschaltung
des Gelenkes "m" in den Gelenken (i - 1) und i bestanden, treten die
Teilgewichte r"f(i-I) und l"fi; im Gelenke m wirkt T",. Dem neuen Biege
linien-Teilpolygon (i - 1), 111, i sind nachstehende elastische Auflagerreak
tionen zugeordnet:
=
YU-IJ [rTU-I)-r1:(i-I)J,
Yi = ({ri -/"fi)
Gema/3 Gl. (1) und Gl. (4) besteht:
Till = YU-I) + Yi, T",U = y,l"
Till V = Y(i-li li ,
fUr die Teildurchbiegung:
= L11 ... = =
1'11" -1n YiV
UV
= =
Y(i-I) U T",T.
Abb. 2 und fUr die gesamte Senkung des
Punktes m':
1
I", =r;[uli+vlu-I) +ttVT",] (6')
Neigung "a" der Tangente in ,,2" der Biegelinie (Abb. 1 c)
-T3) -YB)
<9: 23 B = (; = (: + : + (a + rT2)
daraus:
(7)
d. h. der Neigungswinkel a ergibt sich als ideelle Querkralt samtlicher
rechts yom Gelenke ,,2" wirkenden elastischen Gewichte.
Totale Verdrehung der Triigerenden.
N ach Erweiterung der Y-W erte urn die durch etwaigc Endmomente und
allfallige Feldbelastungen der Tragerendstiicke in A und B entstehenden
Endverdrehungen rTA, bezw. ITB (Abb. 1 c) findet sich:
+
=
OTA YA rTA (8)
+
=
oTB YB ITB
Diese Beziehungen kannen u. a. auch zur Aufsuchung statisch unbestimmter
Gra/3en herangezogen werden.
III. Die elastischen Gewichte.
Dieser Begriff wurde von Miiller-Breslau in die Statik eingefuhrt; nach
V orstehendem handelt es sich um die Summe der in einem Gelenk zweier
zusammensto13enden Tragerteile zufolge beliebiger Belastungen, bezw.
\;v'armeanderungen entstehenden Endverdrehungswinkel i, also um dimen
sionslose Werte.
A. Die Endverdrehungswinkel.
lhre Ableitung ist aus folgenden Beispielen zu ersehen: Mit der zulassigen
Annahme ] =konst. ist e:; bei richtiger Anordnung und genugender Anzahl
der Gelenke stets moglich, den Genauigkeitsgrad der Ergebnisse beliebig
zu steigern. Fur Trager mit gesetzmaBigem Verlauf der Tragheits
momente lassen sich die Enclverdrehungswinkel formelma13ig erfassen;
die Auswertung ist je nach cler bestehenclen GesetzmaBigkeit mehr oder
weniger umstandlich, zumindest aber zeitraubend. [72 b, c, d, e, g.] Man
ersetzt, wie im Abschnitt XVI, B gezeigt wird, die betreffenden Trager
form en durch ein- odeI' mehrfach gestufte Tragerstiicke mit konstantem
(mittleren) Tragheitsmmnent.
Fur clie Praxis genugt die Kenntnis cler Endverdrehungsma13e fiir folgende
Belastungsfalle:
a) Das Tragerstiick A B (Abb. 3) ist
durch die Endmomeute All wid Jl be
r
lastet. (] =konst.) Die Enclverclrehung
rechts yom Gelenk (A) \Verde mit ir, links
yom Gelenk (B) mit il bezeichnet; dann Abb. 3
besteht:
(9)
und fiir Ml = Mr = Ai
1\;[ l
2E] (10)
io =
(3) Das Tragerstiick A B (Abb. 4) ist durch eine 7!eranderliche Streckenlast
f (q) und durch die Endmomente Mo4 und 1vl H belastet. (] =konst.) Die Ge
lenke sind so nahe zu legen, cla13 innerhalb dx keine Unstetigkeit auf
scheint. Die beiclerseits x liegenden Balkenelemente dx verdrehen sich
infolge der Momente an cler Zusammenschlu13stelle x gema13 Gl. (9) um:
