Table Of ContentStabilizing bisets and expansive subgroups
THÈSE NO 6223 (2014)
PRÉSENTÉE LE 24 JUIN 2014
À LA FACULTÉ DES SCIENCES DE BASE
CHAIRE DE THÉORIE DES GROUPES
PROGRAMME DOCTORAL EN MATHÉMATIQUES
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE
POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES
PAR
Alex MONNARD
acceptée sur proposition du jury:
Prof. M. Troyanov, président du jury
Prof. J. Thévenaz, directeur de thèse
Prof. S. Bouc, rapporteur
Dr R. Stancu, rapporteur
Prof. D. Testerman, rapporteuse
Suisse
2014
Abstract
The research of this thesis belongs to the representation theory of groups.
One purpose in representation theory is to try to describe representations of
a finite group via information about those of a subgroup of order as small as
possible. A way to do so is to use stabilizing bisets. Indeed, let k be a field,
G a finite group, U a (G,G)-biset and L a kG-module. Then U is said to sta-
bilize L if U(L) := kU L is isomorphic to L. If we suppose that L is inde-
kG
⊗
composable, thenonecanshowthatU isoftheformIndinfG Iso DefresG
A/B φ C/D
for some subgroups and an isomorphism φ : C/D A/B. In particular, this
→
means that L can be constructed from a representation of A/B. Given an
indecomposable module it is not easy in general to find explicitly a proper
stabilizing biset. In [3] it is proved that a good example of stabilizing bisets
arises from expansive subgroups.
Indeed, for a finite group G, it is shown that if V is a simple kG-module
thenthereexistageneticsubgroupT ofGandafaithfulsimplek(N (T)/T)-
G
module M such that V = IndinfG (M) and V is stabilized by the biset
∼ NG(T)/T
U = IndinfG DefresG . However, it is possible that T is trivial. As
NG(T)/T NG(T)/T
N (T)/T is Roquette, T could only be trivial if G is Roquette.
G
This raises the question of proving the existence, or non-existence, of
stabilizing bisets for Roquette groups. To do so, one will use two approaches.
The first one is to improve the theorem and find some genetic subgroups in
Roquette groups. The second one is to find stabilizing bisets for Roquette
groups without the use of genetic subgroups.
The purpose of this thesis is to investigate these two directions, also to
try to generalize the theory of stabilizing bisets to n-stabilizing bisets, i.e.
bisets U such that U(L) = nL.
∼
Key words: stabilizing biset, indecomposable module, Roquette group,
genetic and expansive subgroup.
Résumé
Cette thèse s’inscrit dans la théorie des représentations de groupes finis.
L’un des buts de cette théorie est de décrire les représentations d’un groupe
donnéGparcellesdesous-groupesd’ordresaussipetitsquepossible. Unedes
manièresde lefaireestd’utiliserles bi-ensemblesstabilisants. Eneffet, soient
k un corps, U un (G,G)-bi-ensemble et L un kG-module indécomposable.
Alors U stabilise L si U(L) := kU L est isomorphe à L. On peut
kG
⊗
montrer que dans ce cas U est de la forme IndinfG Iso DefresG et donc
A/B φ C/D
L provient d’une représentation de A/B. Dans l’article [3], il est montré que
des exemples d’une telle situation proviennent de sous-groupes expansifs.
En effet, il est montré que si V est un kG-module simple, alors il ex-
iste un sous-groupe génétique T tel que IndinfG DefresG stabilise
NG(T)/T NG(T)/T
L. Toutefois, T peut être trivial et donc le bi-ensemble réduit à l’identité.
Comme N (T)/T doit être Roquette cela n’est possible que lorsque G est
G
Roquette. Pour contrer ce problème nous avons deux solutions. La pre-
mière est d’améliorer ce théorème pour les groupes de Roquette et montrer
l’existence d’un tel T non-trivial. La deuxième est de trouver un bi-ensemble
stabilisant L en utilisant d’autres types de sous-groupes que les sous-groupes
génétiques.
Lebutdecettethèseesttoutd’abordd’examinercesdeuxoptionsetdans
un deuxième temps d’étudier le cas des n-stabilisations, c’est-à-dire lorsque
U(L) = nL.
∼
Mots clés: bi-ensemble stabilisant, module indécomposable, groupe de
Roquette, sous-groupe génétique et expansif.
Quant à parler à des non-spécialistes de mes recherches ou de toute autre
recherche mathématique, autant vaudrait, il me semble, expliquer une
symphonie à un sourd. Cela peut se faire; on emploie des images, on parle
de thèmes qui se poursuivent, qui s’entrelacent, qui se marient ou divorcent;
d’harmonies tristes ou de dissonances triomphantes: mais qu’a-t-on fait
quand on a
fini? Des phrases, ou tout au plus un poème, bon ou mauvais, sans rapport
avec ce qu’il prétendait décrire. La mathématique de ce point de vue n’est
pas autre chose qu’un art, une espèce de sculpture dans une matière
extrêmement dure et résistante.
André Weil (1906-1998), France.
Acknowledgments
I wish to extend my deepest thanks to Professor Jacques Thévenaz for
allowing me to undertake this PhD thesis under his supervision. The last
four years have been truly amazing and one of the main factors was the fine
and accurate guidance provided to me by Jacques Thévenaz.
I am grateful for the choice of the subject, his advice, his help and his
constant optimism during the last four years and without forgetting the time
he spent reading this dissertation.
I would like to thank the jury members: Prof. Marc Troyanov, Prof.
Donna Testerman, Prof. Serge Bouc and Dr. Radu Stancu for their precious
time reading my thesis and for their constructive comments.
Four years on the same project is quite a long time. More than a thesis
on a specific subject it is a journey on which people embark. I could not
mention all of them in this brief section but their impact as well as my
acknowledgment to them is undoubted.
Finally this thesis, as well as me, would not have seen the light of the
day without my parents and their unswerving support. To you and my little
twin brother, I dedicate this thesis.
iv
Contents
List of Notation viii
Introduction x
1 Basics 1
1.1 Background of group theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Symplectic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 A little bit of bisets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 n-Stabilizing Bisets 9
2.1 Some elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 n-stabilizing bisets and strong minimality . . . . . . . . . . . . 19
2.3 n-idempotent bisets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 n-expansivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Stabilizing Bisets 29
3.1 Stabilizing bisets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Stabilizing bisets and minimality . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 On Roquette Groups 37
5 Expansivity and Roquette Groups 41
5.1 Roquette p-groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Some simple groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Expansive subgroups in a group with cyclic Fitting subgroup . 43
5.4 p-hyper-elementary groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
vi
CONTENTS
5.5 Groups with extraspecial groups in the Fitting subgroup . . . 51
5.5.1 Q8 SL2(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.5.2 E Sp(E/Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5.3 (E Cpi)SL(P/Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
◦
5.5.4 E SL(E/Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.5.5 Ep SL(Ep/Zp) Eq SL(Eq/Zq) . . . . . . . . . 73
×
6 Stabilizing Bisets and Roquette Groups 85
6.1 Roquette p-groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Some simple groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5
6.2.2 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6
6.2.3 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7
6.2.4 PSL2(F11) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3 Groups with cyclic Fitting subgroup . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4 p-hyper-elementary groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5 Groups with extraspecial subgroups in the Fitting subgroup. . 103
6.5.1 Q8 S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.5.2 E Sp(E/Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.5.3 E SL(E/Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.5.4 E Cp+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Bibliography 116
Index 119
vii
