Table Of ContentKonrad Sattler
Lehrbuch der Statik
Theorie und ihre Anwendung
Zweiter Band
Höhere Berechnungsverfahren
Teil B: Stabilität und Schwingungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH 1975
Dr.-Ing. Dr. techno h.c. Konrad Sattler
o. Professor an der Technischen Hochschule in Graz
M. I. Struct. E., Chartered Structural Engineer, London
Mit 400 Abbildungen
ISBN 978-3-642-52186-7 ISBN 978-3-642-52185-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-52185-0
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1975
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1975
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1975
Liurary of Congress Catalog Card Number 69·14537
Vorwort
Während im Band I die klassischen, grundlegenden Methoden der Statik ebener
Stab- und Fachwerke enthalten sind, werden im Band II eine Reihe von besonderen
Gebieten der Statik behandelt, deren Beherrschung für einen verantwortlich arbei
tenden Ingenieur von Vorteil ist. Es handelt sich dabei sowohl um Verfahren zur
Ermittlung von Schnittbelastungen (Bd. II A) als auch um solche zur Bestimmung
ven Eigenwerten (Bd. II B), wie sie bei Stabilitätsproblemen und bei Fragen der
Eigenschwingungen zur Anwendung kommen.
Ein wesentlicher Teil dieses Werkes betrifft räumliche Stab- und Fachwerke.
Letztere werden vorteilhaft unter Verwendung der Vektoren-, Dyaden-und Matrizen
rechnung erfaßt. Ein kurzer Auszug der wesentlichen, aber vielfältig anwendbaren
Operationen mit Vektoren, Dyaden und Matrizen bildet daher den Beginn des Werkes.
Aus den Schnittbelastungen erhält der Ingenieur über die Spannungsermittlung
einen Einblick über die Beanspruchungen und die Sicherheit der Konstruktionen,
wobei sowohl ebene als auch räumliche Spannungszustände Berücksichtigung finden
müssen. Die Aussagen über Anstrengungshypothesen weisen jedoch einen wesentlich
größeren Streubereich auf, als die Ermittlung der Schnittbelastungen, die genauer er
faßt werden können. Ein eigenes zusammenfassendes Kapitel gibt sowohl Einblick in
die Berechnung ebener und räumlicher Spannungszustände aus den Schnittbelastun
gen, als auch eine Gegenüberstellung der verschiedenen Anstrengungshypothesen,
damit der Ingenieur sich selbst ein Urteil über die vielen damit verbundenen schwie
rigen Probleme bilden kann.
Die Torsion und die sich daraus ergebenden Spannungen werden - wegen ihrer
besonderen Bedeutung - in einem eigenen Kapitel behandelt.
Die Kapitel über Trägerroste und Rautenfachwerke zeigen, wie mit geringem
Aufwand vielfach statisch unbestimmte Systeme mit einfachen Näherungsberech
nungen erfaßt werden können, wobei deren Ergebnisse nur wenige Prozente von den
genauen Werten abweichen.
In den Kapiteln über die Stabilität und die Schwingungen wird gezeigt, wie nicht
nur Einzelstäbe, sondern beliebige ebene und räumliche Systeme im elastischen und
plastischen Bereich erfaßt werden können, wobei genauen Methoden wieder einfache
Xäherungsberechnungen gegenübergestellt werden.
Obwohl in diesem Werk nur Teilgebiete der Statik aufgenommen werden konnten,
wird darin eine Vielfalt der verschiedensten Methoden geboten, die auch bei immer
wieder neu auftretenden Problemen sinngemäß zur Anwendung kommen können.
Sie werden daher dem Ingenieur bei der Schaffung neuer Konstruktionen eine Hilfe
sein können, um die volle Verantwortung für deren Sicherheit zu tragen.
Zahlenbeispiele zeigen zu allen Kapiteln die Anwendung der Theorien.
Mit den vier Bänden I A und B, II A und B ist ein Werk abgeschlossen, das
einen großen Bereich der Statik ebener und räumlicher Tragwerke erfaßt. Dieses
soll eine zusammenfassende Grundlage zu den anderweitigen, modernen Werken über
Flächentragwerke und Finite Elemente bilden. Ein Ingenieur, der Stab- und Fach-
IV Vorwort
werke voll beherrscht und sich auch über Anstrengungsprobleme Rechenschaft geben
kann, wird sich auch in anderen Bereichen zurecht finden.
Von den angegebenen Entwicklungen sind manche während meiner langen Tätig
keit als Hochschullehrer an der Technischen Universität Berlin und der Technischen
Hochschule in Graz - die nun zu Ende geht - entwickelt worden. Während dieser
ganzen Zeit war ich im ständigen Gedankenaustausch mit meinen jeweiligen Assi
stenten, die auch die umfangreichen Zahlenrechnungen durchgeführt haben. Sie sind
somit wesentlich am Zustandekommen dieses Werkes beteiligt. So danke ich als
erstes meinen ehemaligen und jetzigen Mitarbeitern, den Herren:
Civ. Eng. Dr.-Ing. Hk. Bandei, New York;
Baurat Dr. techno W. Gobiet, Graz;
Dr. techno G. Gsell, Linz;
Prüf. Ing. Dr.-Ing. S. Krug, Aachen;
Prok. Dr.-Ing. K. Kunert, Mainz;
Dr. techno K. Matz, Graz;
Prof. Dr. techno W. Mudrak, Wien;
Ziv. Ing. Dr. techno H. Passer, Innsbruck;
Prok. Dr.-Ing. E. Schaber, Saarlouis ;
Dir. Dr.-Ing. H. J. Schrader, Hannover;
Dr. techno H. Spener, München;
Prof. Dr.-Ing. P. Stein, Wien;
Prof. Dr.-Ing. W. Steinbach, Hannover;
Dr. techno H. Steiner, Linz;
Dr. techno T. Szyszkowitz, Graz;
Dr. techno L. Wagner, Frankfurt;
Dr. techno W. Walluschek-Wallfeld, Graz.
Von diesen Herren wurden interessante Dissertationen am Institut angefertigt,
deren Ergebnisse zu großen Teilen in diesem Werk aufgenommen wurden.
Dies betrifft auch die Dissertationen der Herren Dr. techno W. leItsch und
Dr. techno F. Tschemmernegg. Ich danke auch Herrn Dipl.-Ing. R. Kersten für seine
Zustimmung, daß ein kurzer Auszug des Reduktionsverfahrens aus seinem Buch auf
genommen werden konnte. Meinem Assistenten Dipl.-Ing. H. Adelsberger gebührt
mein Dank für die Mitarbeit bei der Fertigstellung dieses Buches.
Dieses Buch habe ich in großer Dankbarkeit meiner Frau gewidmet, denn sie hat
durch eine lange Lebenszeit hindurch, unter Inkaufnahme manchen Verzichtes, mir
die günstigen Voraussetzungen zu einer gedeihlichen wissenschaftlichen Arbeit ge
schaffen.
Besonderer Dank gebührt dem Springer-Verlag für die Drucklegung und schöne
Ausstattung dieses Buches.
Graz, im Sommer 1974
Konrad Sattler
Inhaltsverzeichnis
Wesentliche Bezeichnungen IX
Einleitung . . . . . . . XV
I. Stabilität ebener Systeme
A. Mittig belastete Einzelstäbe mit konstantem Querschnitt 2
I. Yollstäbe ..\ usknicken nach den Hauptachsen 2
a) :\Iethode der Differentialgleichung 2
x) Elastischer Bereich 2
ß) Plastischer Bereich 4
b) Energiemethode . . . 12
c) Durchbiegeverfahren . 13
d ) Differenzen-Verfahren 18
e) Zusammenfassung .. 19
2. Gegliederte Stäbe ..\ usknicken in den Hauptachsenrichtungen 20
a) Vergitterte Stäbe 20
b) Hahmenstäbe ..... . 23
c) Vergitterung. Bindebleche 25
3· Biegedrehknicken 27
B. Festlegung der Knicksicherheiten 30
I. Stahl ..... . 30
2. Beton ..... . 37
3. Beliebiges :\Iaterial 38
C. Mittig belastete Einzelstäbe mit veränderlichem Querschnitt 38
I. Vollstäbe ....... . 38
a) Energie-:\Iethode 38
b) Durchbiegungsmethode . 39
x) Elastischer Bereich 39
ß) Plastischer Bereich 40
2. Gegliederte Stäbe 42
D. Einzelstäbe bei Druck und Biegung 45
I. Gerade. planmäßig außermittig gedrückte Stäbe 45
2. Biegedrillknicken planmäßig außermittig gedrückter Stäbe 46
3. Druck und Biegung (Theorie II.Onlnung) 47
4. Zug und Biegung (Theorie II. Ordnung) 52
5· Kippen von Trägern 54
a) Elastischer Bereich 55
b) Plastischer Bereich 63
VI
Inhaltsverzeichnis
E. Stabilität ebener Stabwerke. Allgemeine Deformationsmethode . 65
1. Grundlagen. Der Elementarstab im Stabwerk 66
a) Der durch eine Druckkraft belastete Einzelstab 66
b) Der durch eine Zugkraft belastete Einzelstab . 72
c) Einzelstab unter der Wirkung einer Stabdehnung 75
d) Einzelknoten i unter der Wirkung von elastischen Stützungen. 75
2. Steifigkeiten . . . . 77
3. Fortleitungszahlen . 78
4. Stabilitätsbedingung 79
a) Gleichungssystem 79
b) Koeffizienten des Gleichungssystems 81
c) Knickbelastung und Sicherheit 86
5. Betrachtungen zu verschiedenen Systemen . 88
a) Unverschiebliche Rahmensysteme 88
b) Fachwerksysteme . . . . . . . . . . 91
c) Verschie bliche Rahmensysteme 94
d) Seitliches Ausknicken der Druckgurte oben offener Brücken. 97
F. Stabilität ebener Stabwerke. Momentenausgleichsverfahren . . . . . 101
1. Verfahren der Momentenbelastung für unverschiebliche Systeme 101
a) Steifigkeiten und Fortleitungszahlen 101
b) Knickkriterien 103
(X) Steifigkeitskriterien . . . . . . 103
ß) Serienkriterium . . . . . . . . 105
y) Bestimmung der Knickbelastung aus Verformungen II.Ordnung von Be-
lastungszuständen. . . . . . . . 109
cl Anwendung auf verschiedene Systeme 111
(X) Der Einzelstab . . . . . . . . . 111
ß) 1Jnverschiebliche Rahmen .... 113
y) Fachwerke mit biegesteifen Knoten 115
2. Verfahren der Festhaltestäbe bei verschieblichen Systemen 117
a) Festhaltestabkräfte infolge Einheitsverschiebungszuständen 118
b) Momentenausgleich für die Einheitsverschiebungszustände 119
c) Festhaltestabkräfte aus der Belastung (11. Ordnung) . . . 121
d) KnickkFiterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3. Das Durchbiegeverfahren für verschiebliche und unverschiebliche Systeme 125
a) Verschiebliche Stockwerkrahmen mit senkrechten und gleich hohen Stielen 125
(X) Unbestimmte Rahmenmomente im Augenblick des Ausknickens 125
ß) Angenähertes Knickkriterium 129
y) Verbessertes Knickkriterium 131
b) Unverschiebliche Systeme 137
Zahlenb eispiele . . . . . 141
Beispiele 1 - 8 . . . . . 141
Vollwandige und gegliederte Einzelstäbe mit konstanten und veränderlichen Quer
schnitten mit verschiedenen Lagerbedingungen. Einfeldstäbe, Kragträger, durch
laufende Stäbe mit starrer und elastischer Lagerung. Anwendung der verschiedenen
Methoden.
Beispiele 9-11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Stockwerkrahmen. Anwendung der verschiedenen Methoden.
Beispiele 12 - 1 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Beliebige Rahmen mit Schrägstielen. Anwendung der verschiedenen Methoden.
Literatur zum Kapitel I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11. Stabilität räumlicher Tragwerke
Einleitung .................. . 257
A. Stabilität von Stabwerken bei infiniten Verschiebungen 258
1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Inhaltsverzeichnis VII
2. Elastischer Bereich . . . . . . . . . . . . . . 260
a) Verformungen und Zusatz kräfte . . . . . . . 260
b) Arbeiten aus virtuellen Verformungszuständen 261
c) Knickkriterium ..... . 270
d) Durchführung der Rechnung 271
3. Plastischer Bereich . . . . . . 272
B. Stabilität von Fachwerken mit Gelenkknoten bei infiniten Verschiebungen 275
1. Knickkriterium . . . . . 276
2. Berechnung der Stabkräfte 276
C. Grenzlasten bei Fachwerken mit Gelenkknoten bei finiten Verschiebungen 277
1. Elastischer Bereich 278
2. Plastischer Bereich . . 280
Zahlenbeispiele . . . . . . 281
Beispiel 1: Bogensysteme 281
Beispiel 2: Vierstieliger räumlicher Rahmen 293
Beispiel 3: Räumliche Fach\yerkstütze 295
'Beispiel 4: Abgespannter Bock 303
Literatur zu Kapitel II . . . . . . . . . 309
III. Stabilität von Scheiben
A. Spannungsfunktion und Spannungen 311
1. Isotrope Scheibe . . . 311
a) Grundlagen. . . . . . . 311
b) Spannungsfunktion 312
C\:) Äußere Spannungsfunktion 312
ß) Innere Spannungsfunktion für eine Vollscheibe 315
y) Innere Spannungsfunktion für eine Scheibe mit einer Öffnung 316
2. Orthotrope VQllscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
B. Stabilität der Scheiben . . 323
1. Differenzenmethode 324
a) Elastischer Bereich 324
b) Plastischer Bereich 327
2. Methode der Finiten Elemente . . 328
3. Allgemeines zum Beulen von Rechteckscheiben 330
Zahlenbeispiele .. . . . . . . . . ... . . . . . 334
Beispiel 1 : Vollscheibe mit Lagerung an den Scheibenenden (Spannungsermittlung) 334
Beispiel 2: An den Außenrändern gestützte gelochte Scheibe (Spannungsermittlung) 338
Beispiel 3: Beulen einer vollen Rechteckscheibe mit dreiseitig gestützten Rändern und
einem freien Rand . . . . . . . . . 346
Beispiel 4: Beulen einer gelochten Rechteckscheibe 349
Literatur zu KapitelIII. . . . . . . . . . . . . . 353
IV. Eigenfrequenzen von Tragwerken
A. Energie-Methode 355
1. Ebene vollwandige Träger 355
2. Ebene Stabwerke. . . . 360
a) Cnverschiebliche Systeme 360
b) Verschiebliche Systeme. 361
3. Ebene Fachwerke 363
4. Hängebrücken . . . . . 364
a) Biegeschwingungen 364
b) Torsionsschwingungen 366
VIII
Inhaltsverzeichnis
B. Deformationsmethodefür ebene Stabwerke. . 372
1. Grundlagen für den Elementarstab . . . 372
a) Der Elementarstab ohne Normalkraft 372
<X) Querschwingung 372
ß) Längsschwingung . . . . . . . 375
y) Drehschwingung . . . . . . . 376
b) Der Elementarstab mit Normalkraft 377
2. Resonanzbedingung ....... 377
3. Koeffizienten des Gleichungssystems . 381
c. Deformationsmethode für räumliche Stabwerke 384
1. Verformungen und Zusatzkräfte im q-System 384
2. Arbeiten aus virtuellen Verformungs zuständen 385
3. Resonanzkriterium . . . . . 389
4. Durchführung der Rechnung. . . . . . . . 391
Zahlenbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Beispiele 1-6: Schwingungen verschiedener ebener Systeme. Anwendung der verschie
denen Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Beispiel 7: Eingespannter Doppelbogen mit Querriegeln. Anwendung der verschiedenen
Methoden . 412
Literatur zum Kapitel IV . 424
TafelnF-H. . 425
Sachverzeichnis. 463
Inhaltsübersicht von Band 11 A
I. Grundlagen der Vektor-, Dyaden- und ~Iatrizenrechnung
II. Spannungen, Verzerrungen, Formänderungsarbeit, Anstrengungshypothesen
III. Torsion
IV. Pfahlrost mit starrer Fundamentplatte (D.yaden-Methode)
V. Ebene Stabwerke (Matrizen-11ethode)
VI. Rautenfachwerke
VII. Räumliche Stabwerke (Matrizen-Methode)
VIII. Räumliche Fachwerke
IX. Trägerroste
Tafeln Abis E
Wesentliche Bezeichnungen
Querschnittswerte
F Fläche;
I Trägheitsmomente (z.B. 11' Ix, Ix"; usw.);
w Widerstandsmoment ;
S. Statisches ;\Ioment einer Teilfläche;
se = Se + Cg (Cg = Integrationskonstante) ;
i Trägheitsradius ;
Id Drillungswiderstand;
W Einheitsverwölbungen (auf den Schubmittelpunkt bezogen);
J
Cm = I ww = w2 dF Wölbwiderstand ;
J
Sm = wdF sektorielles statisches Moment;
Sm = SJm + Cm J (Cw = Integrationskonstante) ;
lwx = wxdF; 1m"; = wydF;
k Schubkonstante.
Allgemeine Größen
E;G Elastizitätsmodul, Schubmodul;
e;l';a;T Dehnungen, Schiebungen, Zug-Druckspannungen, Schubspan
nungen;
Schubspannungen für dünnwandige Querschnitte
(0 offener Querschnitt, S Hohlquerschnitt, - sekundäre Span
nungen);
Schubkraft;
1
m Poisson-Konstante, " = - ;
m
e Räumliche Dehnung;
Um Mittlere räumliche Spannung (hydraulischer Druck) ;
S;_k Länge des Stabes i - k;
6Si-k Längenänderung des Stabes i - k;
s· k
;.=~ Schlankheit;
i
A; Formänderungsarbeit ;
Aä Äußere Arbeit;
VA virtuelle Arbeit;
kik = li,k
, Si-k
si,k; °Si,k; sSi,k; aSi,k Steifigkeiten eines Stabes i - k (beiderseits eingespannte
Knoten, einseitig Gelenkknoten, Symmetrie, Antimetrie);
Federkonstante;
Verteilungszahl für Momentenausgleich aus Knotendrehung;
Verteilungszahl für Momentenausgleich aus Stockwerksver
schiebung;
1-';-k Fortleitungszahl bei Momentenausgleich;
CXT Wärmeausdehnungszahl für 1°e;
I' spezifisches Gewicht.
