Table Of ContentISBN 978-3-7091-3954-7 ISBN 978-3-7091-3953-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-7091-3953-0
Stabilität elastischer Platten
unter zufallsabhängiger Temperatur
Von
Heinz Bargmann, Wien
(Mit 9 Abbildungen)
(Vorgelegt in der Sitzung am 15. Jänner 1970 durch das w. M. Heinz Parkus)
Zusammenfassung - Abstract
Considered is the problem of thermal buekling of an elastic square
plate, simply supported along the edges, exposed to a random tempera
ture field which produees abiaxial stress field within the plate. It is
the aim of this work, the statistical properties of the temperature field
being given, to determine the proba bility for stability of the plate.
If P = 1, there is "almost sure" stability.
For a mechanieally and thermally homogeneous and isotropie
material with temperature-independent E and v the stability problem
is governed by Eqs. (2.1) and (2.2) i.e. (3.1). Inertia terms and thermal
coupling are negleeted. Eq. (3.1) and the appropriate Navier boundary
eonditions (2.4) form an eigenvalue problem, the smallest eigenvalue
will define the eritieal stress, hence, temperature. A produced random
stress field nx, ny, nxy will be eritical if)... = 1 is an eigenvalue of Eq. (3.1).
The plate will remain stable for eigenvalues )... > 1, i.e. fJ. < 0, Eqs. (3.2),
(3.3). Eq. (3.1) is a differential equation with eoeffieients varying ran
domly across the plate. Hence, the eigenvalues are stochastic quanti
ties, too.
The temperature field represented by Eq. (4.1) produces a stress
field, Eq. (4.3). Substitution of (4.3) together with the general solution
Sitzungsberichte der mathem.-naturw. KI., Abt. II. . 179. Bd., 1.-3. Heft.
2 H.Bargmann
(5.1) into Eq. (3.1) yields a homogeneous infinite set of linear equations.
For a nontrivial solution its determinant must vanish. For a given
temperature field (Le. prescribed parameters Pm, qn, bmn) this equa
tion defines those values /.: in Eq. (3.1) which correspond to buckling.
On the other hand, requiring A > 1 (IL < 0) for stability, deterministic
restrictions on Pm, qn, bmn are obtained; required for eaeh realization
of the stoehastic temperature field. The obtained stability boundary
defines the region of integration when the probability is calculated.
An approximation leads to the determinant equation (5.3), or
upon substitutions (5.4), (5.5) to Eq. (5.6). If now in an approximation
onIy a few more terms (parameters) are taken, it is already hopeless,
in the ease of a general stress field or temperature field, to attack the
problem by the Routh-Hurwitz eriterion; this would provide a few,
in fact highly involved, conditions on the parameters onIy, which could
not be solved explicitly, and therefore would not give explieit restrietions
on the parameters. In this case it is necessary to employ equivalent
algebraic eonditions on the prineipal minors of the symmetrie buck
ling matrix, which must be negative definite for stabiIity; in addition
to eertain manipulations on the matrix (interehanging rows and columns
simultaneously in any symmetrie way), to get a maximum number of
conditions, rather deeomposed already, see (5.7).
Henee, Eq. (5.6), the principal minors of the matrix will have to
satisfy conditions (5.7). A tedious solution provides explicit restrietions
on the parameters as necessaryand sufficient conditions deseribing the
stability boundary; for plane stress nx, ny, na;y set (6.8); for plane
stress na;, ny (i. e. principal stresses in direction of the edges of the
plate) set (6.13); for linear stress Eqs. (6.16).
Since the temperature field is randomly distributed across the plate,
the coeffieients in Eq. (4.1) are random variables, their joint proba bility
density is assumed to be given. The probability is studied that the
plate will remain stable.
In particular, for jointly normal independent random variables
the corresponding density in the ease of plane stress nz, ny, nxy is (7.5)
and the prob ability for stability is given by (7.6); in the ease of plane
stress nz, ny the probability is expressed by (7.7); for linear stress it
is given by (7.9) or (7.10).
Stabilität elastischer Platten unter zufallsabhängiger Temperatur 3
Expression (7.7) for the probability has been evaluated for various
values of variances. The results are presented in Figs. 7 to 9. It can be
seen that for sufficiently small mean square deviations there is almost
sure stability. The influence of the first harmonics PI, qI on the result
is much less compared with the uniform Po, qo. So, e.g., the pro ba
bility is P = 0.995 for mean square deviations (Jpo' aqo = 1.0, and (JP1'
aq1 = 3.0. Thus, numerical results for almost sure stability are obtained.
1. Einleitung
Das Problem der Stabilität elastischer Platten unter zufallsab
hängigen Membranspannungen (Mittelflächenspannungen) ist erstmals
von Par kus [1] untersucht worden. Das Beulen linear viskoelastischer
Platten unter zufallsabhängiger Temperatur, die ein einachsiges (zeit
abhängiges) Spannungsfeld erzeugt, wurde vom Verfasser studiert [2].
Die vorliegende Arbeit ist eine Erweiterung von [1] auf den Fall eines
zufallsabhängigen Temperaturfeldes, das einen allgemeinen Scheiben
spannungszustand mit örtlich zufälliger Verteilung über die Platte
erzeugt. Beschleunigungsglieder und thermische Kopplung werden
vernachlässigt.
Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, bei statistisch gegebenen Eigen
schaften des Temperaturfeldes die Wahrscheinlichkeit für Stabilität
der ebenen Gleichgewichtslage (d. h. für Nicht-Beulen) der Platte zu
bestimmen. Für P = 1 herrscht "fast sichere" Stabilität.
Die Lösung des Beulproblems erfordert die Lösung eines Eigen
wertproblems. Aus Bedingungen für die Eigenwerte können die Sta
bilitätsgrenzen bestimmt werden. Bei technischen Aufgaben sind ge
schlossene Lösungen nicht zu erwarten. Zweckmäßige Näherungen für
die Ausdrücke des Temperatur- und Verschiebungsfeldes führen das
Problem auf algebraische Zusammenhänge, der Stabilitätsbereich kann
durch endlich viele Ungleichungen festgelegt werden.
Nun sind die Routh-Hurwitz-Kriterien, die sich in erster Linie
zur Prüfung eines gegebenen vorliegenden Belastungsfalles auf Stabilität
eignen, für einen allgemeinen Belastungsfall, schon bei einer Näherung
mit nur einigen Termen (Parametern), wegen der zu starken Zusammen
fassung der Größen, praktisch nicht mehr auflösbar, d. h. nicht mehr
geeignet, die einzelnen Parameter einzuschranken.
1*
4 H. Bargmann
Hier bietet sich, wegen der Symmetrie der Beulmatrix, die Haupt
minorenmethode an, die im Verein mit gewissen symmetrischen Um
formungen der Matrix sofort eine wesentlich größere Anzahl von Be
dingungen liefert, in bereits weitgehend zerlegter Form. Schließlich
können explizite Einschrankungen der Parameter erhalten werden,
wie sie für die Integrationsgrenzen des endgültigen Wahrscheinlich
keitsintegrals erforderlich sind.
2. Die thermo-elastischen Grundgleichungen der Plattenbeulung
Untersucht wird eine ideal ebene Platte, ursprünglich spannungs
frei. Der Werkstoff der Platte sei mechanisch und thermisch homogen
und isotrop und gehorche dem Hookeschen Gesetz mit temperaturunab
hängigen Koeffizienten. Das Temperaturfeld in der Platte verlaufe
konstant über die Dicke h. Die thermo-elastischen Grundgleichungen
des Stabilitätsproblems lauten dann in rechtwinkeligen kartesischen
Koordinaten, Oxy [3]
\72 '72 F = - Eh Cl(. \72 T, (2.1)
w)
(82 F 82 W 82 F 82 W + 82 F 82 (2.2)
K \7 2 \7 2 W = 8 y2 8 x2 - 2 8 x 8 y 8 x 8 Y 8 x2 8 y2 .
T(x, y) ist das Temperaturfeld in der Platte, F(x, y) die entsprechende
Airysche Spannungsfunktion, w(x, y) die Durchbiegung der Platte,
K = Eh3j12(1 - v2) die Plattensteifigkeit.
Die Airysche Spannungsfunktion ist mit den Schnittkräften ver
knüpft durch
82F 82F 82F
(2.3)
nx = 8 y2' ny = 8 x2 ' nxy=-8~x-8y·
GIn. (2.1) bzw. (2.2) bilden ein System hinsichtlich F bzw. w je
weils linearer Differentialgleichungen. GI. (2.2) hat variable Koeffi
zienten.
Die Platte sei quadratisch mit der Länge L und frei drehbar ge
lagert. Dann gelten für GI. (2.2) die Randbedingungen
w = 0, \72 W = 0, (2.4)
entlang der vier Ränder x = 0, L, Y = 0, L (Naviersche Randbedin
gungen).
Stabilität elastischer Platten unter zufallsabhängiger Temperatur 5
3. Stabilitätskriterium
Bei der Lösung des gekoppelten Systems von Differentialgleichun
gen (2.1), (2.2) mit den Randbedingungen ergibt sich zunächst für ein
gegebenes Temperaturfeld eine Spannungsfunktion. GI. (2.2) wird für
die folgende Untersuchung geschrieben in der Form [4]
2 2W)
82 w 8 w 8
KV2 V2w=A ( nX 8x2 +2nXY8x8y+nY8y2' (3.1)
Sie ist linear und homogen in w; auch die zugehörigen Randbedin
gungen (2.4) sind homogen. Eine nichttriviale Lösung w kann nur für
diskrete Eigenwerte A existieren, deren kleinster, i. a., die kritische
Belastung und damit das kritische Temperaturfeld bestimmt.
Einem Temperaturfeld mit beliebiger (zufallsabhängiger) örtlicher
Verteilung entspricht dann ein (im Rahmen der Gleichgewichtsbedin
gungen zufallsabhängiges) Spannungsfeld nx, ny, nxy. Dieses Spannungs
feld wird gerade dann kritisch sein, wenn A = 1 ein Eigenwert der
GI. (3.1) ist. Die Platte wird daher stabil sein für Eigenwerte A> 1.
Nach Einführung des Parameters
1
[.L = ---1 (3.2)
A
lautet also das Stabilitätskriterium unter einem (zufallsabhängigen)
Temperaturfeld [1]:
Stabilität für !1. < 0,
Instabilität für !1. > 0, (3.3)
für sämtliche Eigenwerte A der GI. (3.1). Bei einem zufallsabhängigen
Temperaturfeld wird GI. (3.1) eine Differentialgleichung mit örtlich
variablen stochastischen Koeffizienten. Damit sind auch die Eigen.
werte Zufallsvariable.
4. Temperatur- und Spannungsfeld
Die Platte sei einem Temperaturfeld ausgesetzt, das sich durch
folgende Fouriersche Doppelreihe darstellen läßt:
T (x, y) = To ~~ l~: bmn cos (1.m Y cos (l.n X, (l.k = k7tJL; (4.1)
m=O n=O
6 H. Bargmann
dabei hat
K
TO=CX12.~~
Ehcx
die Dimension einer Temperatur. Die dimensionslosen Beiwerte bm n
sind im Falle eines zufallsabhängigen Temperaturfeldes Zufallsvariable.
Die Koeffizienten der einfachen Teilreihen werden im folgenden
speziell geschrieben
bmo=Pm, bon=qn (m,n#-O); boo=Po+qo. (4.2)
Ein entsprechendes, genügend allgemeines Spannungsfeld in der
Platte sei, GIn. (2.1), (2.3),
(i: t t
nx = -CX12K Pm cos CXmY + bmn - 2m2 2 cos cxmY cos OCnx) ,
m=O m=l n=l m +n
(i: t 1:
ny = - CX12 K qn cos CXnX + bmn 2 n+2 2 COS ('J.mY COS OCn x), (4.3)
n=O m=l n=l m n
00 00
nxy = - 1X12 K ~ L bmn 2m n 2 sin CXm Y sin OCn x .
m=l n=l m +n
Es wird vorausgesetzt, daß die Randlasten mit diesen Kräften im
Gleichgewicht sind.
5. Lösung des Eigenwertproblems
Die Lösung der GI. (2.2) sei dargestellt durch den Ansatz
1co: 100:
w (x, y) = Aik sin OCi x sin ('J.kY, (5.1)
i=l k=l
der die vorgeschriebenen Randbedingungen erfüllt.
Eintragen dieses Ausdrucks zusammen mit GIn. (4.3) in GI. (3.1)
gibt eine Identität trigonometrischer Reihen. Identität für jeden Term
verlangt
Stabilität elastischer Platten unter zufaIIsabhängiger Te=peratur 7
A{
Ai/e (i2 + k2)2 = 4"" 2 i2 m~00 o Pm (Aik- m + Auc+m) + 2 k2 n0~0 o qn (At-nk + AHnk) +
b
+ 100: 100: 2+mn 2 [At- nk- m (m(i-n)-n(k-m»)2+
m=l n=l m n
+ + + +
Ai-nk+m (m (i-n) n (k m»)2 +AHn k-m (m (i n) +
+ + +
n(k-m»)2 AHn k+m (m (i +n)-n(k m»)2]}
(i, k = 1, 2, 3 ... ), (5.2)
wo Ark- m = - Arm-k, wenn (k - m) ~ 0, Ai-ns = - An-is, wenn
(i-n) ~ 0, insbesondere Aro = Aos = Aoo = O.
Dieses unendliche System linearer Gleichungen in Ai k ist homogen.
Für eine nichttriviale Lösung muß seine Determinante verschwinden.
Für gegebene Pm, qn, bmn bestimmt diese Gleichung dann jene Werte
A in GI. (3.1), denen Beulen entspricht. Umgekehrt erhält man aus der
Forderung, A > 1 für Stabilität, Bedingungen für Pm, qn, bm n·
Im allgemeinen genügt es, als Näherung nur die ersten Reihen der
Determinante zu berücksichtigen [5]. Damit gibt die kleinste positive
Wurzel der Determinantengleichung eine obere Schranke für den klein
sten kritischen Wert von A.
Berücksichtigt man als Näherung nur die ersten fünf Terme in
der Entwicklung des Temperaturfeldes, GIn. (4.1), (4.3), nämlich Po,
Pb qo, qb bn; die ersten vier Terme in GI. (5.1), nämlich Au, A12, A21,
A22; dann erhält man die Determinantengleichung, mit dem Para
meter fl. nach GI. (3.2),
2(po +qo) o
+ PI
-8(fl. 1)
2(po +4qo)- 9
PI -bn ql
-50(tJ.+1) 4
9 2(4po+qo)- =0. (5.3)
ql -4b ll -50(tJ.+1) PI
1
0 ql PI 2 (po+qo)-
-8«(.1.+1)
8 H.Bargmann
Mit der Substitution
sowie mit den Hilfsgrößen
B =1-2A,
1
B2= 1-0,8A -D,
(5.5)
Ba=1-0,8A +D,
A
B4=1- 2
- man beachte, daß diese vier Größen Funktionen nur der 2 Variablen A,
D sind! - geht GI. (5.3) über in
-B1-{l P q 0
P -B2-{l b q
=0. (5.6)
q b -B3-{l P
0 q P -B4-[l
GI. (5.6) ist eine algebraische Gleichung vierten Grades in {l,
det (B - (l I) = 0, die Matrix B ist symmetrisch. Die Gleichung hat
nur negative Wurzeln, wenn B negativ definit ist, d. h., wenn die Haupt
minoren von B negativ beginnend im Vorzeichen alternieren [6]. Nun
ist es zweckmäßig, die Matrix B nach Determinantenregeln durch
gleichzeitiges Vertauschen von Zeilen und Spalten symmetrisch umzu
formen: alle so möglichen Hauptminoren müssen die entsprechenden
Bedingungen erfüllen.
Im vorliegenden Fall, GI. (5.6), müssen die Hauptminoren von
det B somit den folgenden Ungleichungen genügen 1:
1 Im folgenden werden Produkte der Hilfsgräßen abgekürzt, z. B.: Bl B2 B3 =
= B12a, B2 B4 = B24, ...
Stabilität elastischer Platten lUlter zufallsabhängiger Temperatur !)
I BI>O, d. h. ausführlich 1-2A >0, (a)
B2>0, 1-0,8A- D>O, (b)
+
B3>0, 1-0,8A D>O, (c)
A
B4>0, 1- 2>0, (d)
II B12-p2 >0, (e)
B1a-q2 >0, (f)
Bl4 > 0, (g)
(5.7)
B2a-b2 > 0, (h)
B24-q2 > 0, (i)
Ba4-p2 > 0, (j)
III B123-B3p2_B2q2_Blb2_2pqb > 0, (k)
B134 - BIp2 - B4 q2 >0, (I)
B124-B4p2 -BI q2 >0, (m)
B234-B2p2-Baq2-B4b2_2pqb > 0, (n)
+
IV Bt{B234-B2p2_B3q2_B4b2_2pqb)
+ +
p(p3_pq2_B34p-B4qb)
>0. (0)
6. Stabilitätsg renzen des Temperaturfeldes
Scheibenspannungszustand n::r;, ny, n::r;y
Dieses System, (5.7), von 15 Ungleichungen für die 5 Variablen A,
D, p, q, b (substituiert für die ursprünglichen Koeffizienten Po, qo, PI,
ql, bu ) ist nun aufzulösen. Im Hinblick auf ihre spätere Bedeutung
als Integrationsvariable im mehrfachen Wahrscheinlichkeitsintegral,
GI. (7.6), ist die explizite Einschrankung dieser Variablen erforderlich,
siehe Bedingungen (6.8).
Zur leichteren Kontrolle der folgenden Auflösung sei bereits hier
vorweggenommen:
