Table Of ContentDünnwandige Stäbe . Band 1
c.
F. Kollbrunner . N. Haj din
Dünnwandige Stäbe
Band 1
Stäbe mit undeformierbaren
Querschni tten
Springer •V erlag Berlin Heidelberg N ew Y ork 1972
Curt F. Kollbrunner
Senator h. c., Dr. h. c., Dr. sc. techno Dipl. Bau-Ing. ETH, SIA
ZollikonjZürich (Schweiz).
Präsident des Instituts für bauwissenschaftliche Forschung,
Zürich (Schweiz).
Nikola Hajdin
Dr. sc. techn., Dipl. Bau-Ing.
Professor an der Universität Belgrad (Jugoslawien).
k. Mitglied der Serbischen Akademie der Wissenschaften und Künste
Wissenschaftlicher Mitarbeiter des Instituts für
bauwissenschaftliche Forschung, Zürich (Schweiz).
l'!it 143 Abbildungen
ISBN 978-3-662-00422- 7 ISBN 978-3-662-00421-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-00421-0
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© by Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1972.
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1972
Library of Congress Catalog Card Number 71-178754
Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt
auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen-und
Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Vorwort
Nach fünfzehnjähriger praktischer und theoretischer Zusammenarbeit der
beiden Autoren wird hier ein Buch herausgegeben, das sowohl für den Bau
ingenieur in der Praxis wie auch für den Studenten geschrieben wurde. Es be
handelt die Berechnung und Ausführung dünnwandiger Stäbe, wobei der Baustoff
dieser Stäbe aus Stahl, Leichtmetall, Stahlbeton oder vorgespanntem Stahlbeton
bestehen kann.
Mit der zunehmenden Beliebtheit leichter Konstruktionen, vorwiegend im
Hochbau, stellte sich die Forderung nach einer möglichst genauen Erfassung neu
zeitlicher Berechnungsmethoden für solche Leichtkonstruktionen. Es drängte sich
daher der Gedanke auf, das bisher Erreichte festzuhalten, zu ergänzen und zu er
weitern, um dem Konstrukteur die Unterlagen in einer ihm verständlichen Form
zu übermitteln. Dieses Buch legt infolgedessen nicht in erster Linie Wert auf die
Darstellung komplizierter Theorien, sondem möchte dem in der Praxis stehenden
Ingenieur als Grundlage und Rüstzeug für die Lösung seiner Aufgaben dienen.
Dabei soll jedoch festgehalten werden, daß, um den Geltungsbereich und die
Grenzen der angegebenen Formeln zu erkennen, die hier gegebenen theoretischen
Kenntnisse unerläßlich sind.
Die Berechnung von dünnwandigen Konstruktionen verlangt im allgemeinen
erhebliche mathematische Kenntnisse. Für die numerische Auswertung stehen
heute dem Ingenieur verschiedene numerische Methoden zur Verfügung, welche
unter Benutzung der Rechenautomaten mit tragbarem Zeitaufwand die Ergeb
nisse bis zu einer gewünschten Genauigkeit liefern. Gleich wie die früher im
Springer-Verlag herausgegebenen Bücher! wendet sich auch dieses Buch an den
Praktiker. Es entwickelt neue, verfeinerte Theorien und versucht, dem in der
Praxis stehenden Ingenieur die heutigen Erkenntnisse und Erfahrungen aus
Theorie und Versuch so weit zu übermitteln, daß er in der Lage ist, auch kompli
ziertere Fälle richtig zu lösen.
1 C. F. Kollbrunner und 1If.1Ifeister: Knicken. Theorie und Berechnung von Knickstäben.
Knickvorschriften. Springer. Verlag, BerlinjGöttingenjHeidelberg, 1955.
C. F. Kollbrunner und 1If.1Ifeister: Ausbeulen. Theorie und Berechnung von Blechen.
Springer-Verlag, BerlinjGöttingenjHeidelberg, 1958.
C. F. Kollbrunner und 1If.1Ifeister: Knicken, Biegedrillknicken, Kippen. Theorie und
Berechnung von Knickstäben. Knickvorschriften. Zweite, umgearbeitete und stark erweiterte
Auflage des Buches "Knicken". Springer-Verlag, BerlinjGöttingenjHeidelberg, 1961.
C. F. Kollbrunner und K. Basler: Torsion. Springer-Verlag, BerlinjHeidelbergfNew York,
1966.
C. F. Kollbrunner und K. Basler: Torsion in Strnctures. An Engineering Approach. (Trans
lated from the German Edition by E. C. Glauser. With Annotations and an Appendix by
B. G. Johnston.) Springer-Verlag, Berlill.jHeidelbergjNew York, 1969.
a
C. F. Kollbrunner und K. Basler: Torsion. Application l'etude des strnctures. (Tra
duction et adaptation de P.-A. Eperon. Preface de 1If. Cosanaey.) Traduction Francaise,
autorisee par Springer-Verlag, BerlinjHeidelberg. Editions SPES, Lausanne, 1970.
VI Vorwort
Dieser erste Band ist aufgebaut auf früheren Publikationen der Verfasser, die
in der Zwischenzeit ergänzt und stark erweitert wurden.1 Er behandelt in vier
Hauptkapiteln die St.Venantsche Torsion dünnwandiger Stäbe (1.), dünnwandige
Stäbe mit offenem Profil und geradliniger Achse (11.), dünnwandige Stäbe mit
geschlossenem Profil und geradliniger Achse (IH.) und dünnwandige Stäbe mit
gekrümmter Achse (IV.). Die angegebenen Beispiele zeigen die Durchführung der
Berechnungen.
Der zweite Band behandelt die dünnwandigen Stäbe mit deformierbaren Quer
schnitten wie auch das nicht-elastische Verhalten dünnwandiger Stäbe. Er zeigt
zudem den Einfluß von Kriechen und Schwinden des Betons in dünnwandigen
Verbund- und vorgespannten Stäben.
An dieser Stelle soll unserem Freund und jahrzehntelangem Mitarbeiter,
Dipl.-Ing. S. Milosawljevic, welcher im Februar 1971 durch einen Autounfall ums
Leben kam, herzlichst gedankt werden. Gleichzeitig gebührt unser Dank Dipl.
Ing. Duniza Scherif, Assistent von N. Hajdin, für die Berechnung einiger hier
veröffentlichter Beispiele wie auch für die Kontrolle des Manuskriptes und der
Abbildungen.
Festgehalten werden soll, daß ohne die große Unterstützung durch das Institut
für bauwissenschaftliche Forschung Zürich, Stütung KollbrunnerjRodio, wie auch
durch die Stahlton AG, Zürich (Präsident Dr. h.c. Max Birkenmaier), dieses Buch
nicht hätte herausgegeben werden können.
Außerdem soll an dieser Stelle unser Dank dem Springer-Verlag für die ge
wohnte gute Ausstattung dieses Buches übermittelt werden.
Zürich und Belgrad,
im Januar 1972 Curt F. Kollbrunner • Nikola Hajdin
1 C. F. Kollbrunner und N. Hajdin: Beitrag zur Berechnung von Stauwehrklappen. Mit·
teilungen über Forschung und Konstruktion im Stahlbau. Heft Nr.28, Dezember 1961.
Verlag Leemann, Zürich.
C. F. Kollbrunner und N. Hajdin: Die St. Venantsche Torsion. Mitteilungen der Tech·
nischen Kommission, Heft 26. Sept. 1963. Verlag Schweizer Stahlbau-Vereinigung, Zürich.
C. F. Kollbrunner und N. Hajdin: Wölbkrafttorsion dünnwandiger Stäbe mit offenem
Profil. Mitteilungen der Technischen Kommission. Teil I, Heft 29, Oktober 1964, Teil 11,
Heft 30, März 1965. Verlag Schweizer Stahlbau-Vereinigung, Zürich.
C. F. Kollbrunner und N. Hajdin: Wölbkrafttorsion dünnwandiger Stäbe mit geschlos.
senem Profil. Mitteilungen der Technischen Kommission, Heft 32. Juni 1966. Verlag Schweizer
Stahlbau-Vereinigung, Zürich.
C. F. Kollbrunner und N. Hajdin: Beitrag zur Theorie dünnwandiger Stäbe mit ge·
krümmter Achse. Institut für bauwissenschaftliche Forschung. Stiftung KolIbrunnerjRodio.
Heft Nr. 8, Juni 1969. Verlag Leemann, Zürich.
Inhaltsverzeichnis
Bezeichnungen. X
Einführung. . 1
Erster Teil
Stäbe mit undeformierbaren Querschnitten
I. St. Venant8che Tor8ion dünnwandiger Stäbe. . . . . . 9
1. Die Grundgleichungen der St. Venantschen Torsion 9
2. Dünnwandige, offene Profile ..... 22
3. Dünnwandige, geschlossene Profile . . . 35
4. Dünnwandige, offen-geschlossene Profile 44
5. Veränderliches Torsionsmoment . . . . 45
II. Dünnwandige Stäbe mit offenem Profil und geradliniger Achse 49
1. Die Theorie des dünnwandigen Stabes mit offenem Profil 49
1.1. Die Verformung des Stabes . . . . . . . . . . . 49
1.2. Beziehungen zwischen den Spannungen und den Formänderungen. Gleich·
gewichtsbedingungen. Schnittkräfte . . . . . . . . 54
1.3. Differentialgleichungen des Stabes. Wölbkrafttorsion . 60
1.4. Darstellung der Spannungen mittels der Schnittgrößen 64
1.5. Vereinfachungen. Grenzfälle der Beanspruchung 69
2. Querschnittswerte . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1. Sektorielle Koordinate und Schubmittelpunkt . 72
2.2. Rechnerische Bestimmung der Querschnittswerte 78
2.3. Querschnittswerte einiger einfacherer Profile. . . 87
a) Der I -Querschnitt mit ungleichen Flanschen . 88
b) Der [ -Querschnitt 90
c) Das l..-Profil . 92
d) Der Kreisbogen. . 93
3. Berechnung auf Wölbkrafttorsion für einzelne Lastfälle . 96
3.1. Randbedingungen. Allgemeine Lösung der Differentialgleichung der Wölb-
krafttorsion . . . . . . . . . . . . . 96
3.2. Torsion des Stabes unter Querbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . 102
a) Belastung durch ein an einem Stabende angreifendes Torsionsmoment T* 102
b) Belastung durch ein konzentriertes Torsionsmoment an einer beliebigen
Stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
c) Belastung durch ein verteiltes Torsionsmoment mn 109
d) Einfluß eines äußeren konzentrierten Biegungsmomentes 112
e) Einfluß eines äußeren, verteilten Biegungsmomentes . . 114
VIII Inhaltsverzeichnis
3.3. Torsion des Stabes unter Belastung in der Längsrichtung 114
M:
a) Belastung durch ein Bimoment an einem Stabende ..... . 114
b) Belastung durch ein an einer beliebigen StabsteIle angreifendes Bi-
moment ................. . 116
c) Belastung durch ein äußeres verteiltes Bimoment 117
3.4. Beispiel der Berechnung . 132
3.5. Veränderliche Querschnitte 135
4. Stabsysteme 139
4.1. Einleitung ....................... . 139
4.2. Prinzip der virtuellen Arbeit bei der Variation der Spannungen 140
4.3. Bestimmung der Verschiebungen. 145
4.4. Kraftgrößenmethode . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.5. Durchlaufender Träger . . . . . . . . . . . . . . 155
4.6. Durchlaufender Träger auf elastisch drehbaren Stützen 162
4.7. Bemerkungen zur Berechnung von Rahmen und Trägerrosten 165
4.8. Durch Querverbindungen ausgesteifte Stäbe. . . . . . . . 170
Ill. Dünnwandige Stäbe mit geschlossenem Profil und geradliniger Achse . . . 182
1. Näherungstheorie des dünnwandigen Stabes mit geschlossenem Profil . 182
1.1. Grundlegende Annahmen. Verformung des Stabes . . . . . . . 182
1.2. Beziehungen zwischen Spannungen und Verformungen. Gleichgewichts-
bedingungen, Schnittkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 183
1.3. Differentialgleichungen des Stabes. Wölbkrafttorsion . . . . . . .. 185
1.4. Ausdrücke für die Spannungen in Abhängigkeit von den Schnittgrößen 188
1.5. Geometrische Kennwerte des Querschnitts . . . . . . . . 194
1.6. Lösung der Differentialgleichung und die Randbedingungen . . . .. 201
1.7. Torsion des Stabes unter Querbelastung . . . . . . . . . . . . .. 203
a) Belastung durch ein konzentriertes Torsionsmoment an einer beliebigen
Stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
b) Belastung durch ein verteiltes Torsionsmoment mD 208
1.8. Torsion des Stabes unter Belastung in der Längsrichtung 209
M!
a) Belastung durch ein Bimoment an einem Stabende . 209
b) Belastung durch ein an einer beliebigen Stelle angreifendes Bimoment 211
c) Belastung durch ein äußeres verteiltes Bimoment . . . . . . . . . . 211
2. Berechnung des dünnwandigen Stabes mit geschlossenem Profil als langes pris-
matisches Faltwerk mit unverformbarem Querschnitt. . . . . . . . . .. 212
2.1. Voraussetzungen. Formänderungen des Stabes. . . . . . . . . . .. 212
2.2. Differentialgleichungen des Stabes. Randbedingungen und Schnittkräfte 214
2.3. Lösung der Aufgabe in Matrizenform . . . . . . . . . . . . . . .. 221
2.4. Kastenträger mit einfach-symmetrischem Querschnitt. Näherungslösung
für Profile mit einer Symmetrieachse. . . . . . . . . . . . . . . . . 225
IV. Dünnwandige Stäbe mit gekrümmter Achse 236
1. Einleitung . . . . . . . . . . . . 236
2. Grundlegende Voraussetzungen. Verformung des Stabes. 237
3. Spannungen und Gleichgewichtsbedingungen. . . . . . 248
Inhaltsverzeichnis IX
4. Beziehungen zwischen den Schnittkräften und Formänderungen. Differential
gleichungen des Stabes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5. Torsion des statisch bestimmten Stabes mit gekrümmter Achse. Berechnung des
Stabes mittels der Kraftgrößenmethode . 263
6. Numerische Lösung. 273
Literatur. . . . 289
Namenverzeichnis 295
Inhalt des 2. Bandes
Zweiter Teil: Stäbe mit deformierbaren Querschnitten
Dritter Teil: Nicht-elastisches Verhalten dünnwandiger Stäbe
Bezeichnungen
e Abstand von der Mittelfläche in Richtung der Normalen
h Abstand der Tangente zur Profilmittellinie vom Pol
h,. Abstand der Normalen zur Profilmittellinie vom Pol
7, ), k Einheitsvektoren in den Richtungen x, y, z
7', j', k' Einheitsvektoren in den Richtungen der Tangenten an die Koordinatenlinien
nach der Verformung
Stablänge
Äußeres verteiltes Torsionsmoment
nlz' my Äußere verteilte Biegemomente
m Äußeres verteiltes Bimoment
n w
Einheitsvektor in der Richtung der Normalen auf die Mittelfläche
f
((Pz, Py' pz)) } Linienbelastung
P PmPs'Pz
~ (~z' ~II' ~z) } Flächenbelastung
]l (p,., Ps' pz)
q Schubfluß
r
Ortsvektor des beliebigen Punktes der Mittelfläche nach der Verformung
;0 Ortsvektor des beliebigen Punktes der Mittelfläche vor der Verformung
s Koordinate der Profilmittellinie
t Wandstärke
t Einheitsvektor in der Richtung der Tangente auf die Profilmittellinie
u Verschiebung in Richtung der Normalen zur Mittelfläche
u(u, v, w) } Verschiebungsvektor des Punktes der Mittelfläche
ü(~, 1], w)
U1 Projektion der Verschiebung u auf der x,y-Ebene
v*(u, v*, w*)} Verschiebungsvektor des beliebigen, im Abstand e von der Mittelfläche
ü* (~*' 'I'J*, w*) gelegenen Punktes
Verschiebung in Richtung der Tangente zur Profilmittellinie
Verschiebung in Richtung der Stabachse
} Kartesische Koordinaten der Profilmittellinie bzw. des Querschnitts
Koordinate in Richtung der Stabachse
A,Ai Eingeschlossene Fläche
C Schwerpunkt
D Schubmittelpunkt
E Elastizitätsmodul
E'=~
1 _112
F Querschnittsfläche
aF = tas
aF* = ae as
F Fläche des abgeschnittenen Teiles des Querschnitts
G Schubmodul
f
lhh = h2 aF Zentrales Trägheitsmoment, aF = tas
F
Bezeichnungen XI
Flächenträgheitsmoment, dF* = de ds
f
lyy = y2dF }
j
Flächenträgheitsmoment
Jyy = y*2dF*
f
lXY = xydF
F } D,vI;.tiow momoot
f
JXY = x*y* dF*
F
FJ(12-'~)
lww = w2dF
_ Sektorielles Trägheitsmoment
f
Jww - w* dl*
F
Sektorielles Deviationsmoment
f
lyW = ywdF
F } ""'tori,lI" Dcviatioo,,"om,nt
f
JyW = y*w* dF*
F
K, K* Torsionskonstante
f
11Ix = azx dF
F } Bieg.mom,nt
f
1"lx = azx* dF*
F
f
"lly = azy dF
F } Biogrunom'ot
f
,lly = azy* dF*
F
M~,M: Äußere konzentrierte Biegemomente
"l[w Bimoment
M! Äußeres konzentriertes Bimoment
"V Normalkraft
o Nullpunkt der Profilmittellinie, Koordinatennullpunkt
p Äußere Kraft. Drehpol
Querkräfte in x und y Richtungen
Krümmungsradius der Schwerachse
f
Sx = XdF}
Ff Statische Momente
Sy = ydF
F
s
x' Sy Statische Momente des abgeschnittenen Teiles F des Querschnitts
f
Sw = wdF Sektorielles statisches Moment
F
