Table Of ContentWerner Krabs
Spieltheorie
Werner Krabs
Spieltheorie
Dynamische Behandlung
von Spielen
1m
Teubner
B. G. Teubner Stuttgart· Leipzig· Wiesbaden
Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie;
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Prof. Dr. Werner Krabs
Geboren 1934. 1963 Promotion Universitat Hamburg. 1967 - 1968 Visiting Assistant Prof. an der Uni
versity of Washington in Seatlle. 1968 Habilitation Universitat Hamburg. 1970 - 1972 Wissenschaftli
cher Rat und Prof. RWTH Aachen. 1971 Visiting Associate Prof. Michigan State University East Lansing.
1977 Full Prof. Oregon State University Corvallis. 1972 - 1999 Professor an der TU Darmstadt. Emeri
tiert seit 1999. Arbeitsschwerpunkte: Approximation, Optimierung, Kontrolltheorie, Mathematische
Modellierung, Dynamische Systeme.
1. Auflage Marz 2005
Aile Rechte vorbehalten
© B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2005
Lektorat: Ulrich Sandten
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Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN-13: 978-3-519-00523-0 e-ISBN-13: 978-3-322-80087-9
DOT: 10.1007/978-3-322-80087-9
Vorwort
Dieses Buch ist aus einer Vorlesung hervorgegangen, die ich im Sommer
semester 2003 an der TV Darmstadt gehalten habe. Es besteht aus einer
Einleitung, 4 Kapiteln und einem Anhang, in dem Hilfsmittel bereitgestellt
werden. Die Einleitung geht von der beriihmten Arbeit von John v. Neu
mann iiber die Theorie der Gesellschaftsspiele aus, mit der im Jahre 1928
die Spieltheorie begonnen hat, und gibt eine Ubersicht iiber den Inhalt des
Buches.
Kapitel 1 ist der Theorie der nicht-kooperativen Spiele gewidmet. Hier
steht der Begriff des Nash-Gleichgewichtes im Zentrum der Uberlegungen.
Zum Nachweis der Existenz eines solchen in der gemischten Erweiterung
eines n-Personen-Spiels mit endlichen Strategiemengen wird auf eine Origi
nalarbeit von John Nash zuriickgegriffen.
Kapitel 2 befaBt sich mit kooperativen Spielen. Hier spielt der Begriff des
Core eine dominante Rolle, dessen Nichtleer-Sein garantiert, daB die groBe
Koalition, d.h. ein ZusammenschluB aller Spieler, stabil ist in dem Sinne, daB
ein Abweichen von dieser hochstens zu einer Verschlechterung fiihrt.
In Kapitel 3 geht es urn die Frage, unter welchen Bedingungen es moglich
ist, ein nicht-kooperatives Spiel in ein kooperatives iiberzufiihren, dessen Core
nichtleer und in dem somit die groBe Koalition stabil ist.
In Kapitel 4 werden sog. dynamische Spiele behandelt, bei denen das
Spiel mit einer zeitlichen Dynamik verkniipft wird. -Hier geht es einerseits
urn die Frage der Steuerbarkeit dieser Dynamik in ein Gleichgewicht und
das auf kooperative und nicht-kooperative Weise und andererseits urn die
VI VORWORT
asymptotische Stabilitat von Nash-Gleichgewichten, insbesondere in Matrix
Evolutionsspielen und Bi-Matrixspielen.
Danken m6chte ich Frau A. Garhammer fUr das Schreiben dieses Buches
auf dem Computer und Herrn E. Kropat fur die Anfertigung der Graphiken.
Darmstadt, September 2004 Werner Krabs
Inhaltsverzeichnis
Vorwort i
Inhaltsverzeichnis iii
Einleitung und Ubersicht vii
1 Nicht-kooperative Spiele 1
1.1 Zwei-Personen-Spiele............. 1
1.1.1 Definition und Nash-Gleichgewichte 1
1.1.2 Bi-Matrix-Spiele . 5
1.1.3 Nullsummen-Spiele......... 17
1.1.4 Matrix-Spiele . . . . . . . . . . . . 24
1.1.5 Matrix-Spiele und lineare Optimierung 28
1.1.6 Evolutions-Matrix-Spiele 30
1.1. 7 Baumspiele ... . . . 35
1.1.8 Lasung der Aufgaben . 45
1.2 n-Personen-Spiele....... 48
1.2.1 Nash-Gleichgewichte . 48
1.2.2 Drei-Personen-Nullsummen-Spiele 57
1.2.3 Pareto-Optima . . . . . . . . . . 61
2 Kooperative Spiele 65
2.1 Definition und Lasungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 Der Core eines n-Personen-Spieles . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2.1 Definition und Bedingungen fUr das Nichtleer-Sein . 68
2.2.2 Der Fall eines 3-Personen-Spieles .......... 75
2.2.3 Berechnung von Core-Elementen im allgemeinen Fall 79
VIII INHALTSVERZEICHNIS
2.2.4 Der Core eines Produktionsspieles . 82
2.2.5 Der Core eines konvexen Spieles .. 84
2.3 Der T-~ert ................ . 88
2.3.1 Der Ober-Vektor, der Konzessions-Vektor und die Liicken-
funktion eines Spieles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 88
2.3.2 Der T-~ert eines quasi-balancierten Spieles. . . . . .. 90
2.3.3 Notwendige und hinreichende Bedingungen dafiir, daB
der T-~ert zum Core gehort 91
2.3.4 Der Fall n = 3 . 93
2.4 Kostenspiele ............ . 94
2.4.1 Definition.......... 94
2.4.2 Der T-~ert des zugeordneten Spar-Spieles 96
2.5 Einige Anwendungen ....... . 97
2.5.1 Eine Produktionsokonomie . 97
2.5.2 Eine Austauschokonomie 98
2.5.3 Das Flughafenspiel · 101
2.5.4 Das Bankrott-Spiel . . . · 105
3 Von Nicht-Kooperation zu Kooperation 107
3.1 Ein allgemeines n-Personen-Kosten-Spiel · 107
3.2 Uberfiihrung in ein kooperatives Spiel .. · 110
3.3 SpeziaWUle ............... . · 115
3.4 von Neumannsche Theorie kooperativer Spiele · 119
3.4.1 Die charakteristische Funktion eines Spieles · 119
3.4.2 Der von Neumannsche Losungsbegriff . · 124
4 Dynamische Spiele 129
4.1 Definition eines Problems der Steuerbarkeit · 129
4.2 Eine spieltheoretische Losung . . · 131
4.2.1 Der nicht-kooperative Fall ..... . · 131
4.2.2 Der kooperative Fall ........ . · 133
4.3 Ein Modell zur Reduktion der COTEmission . · 135
4.3.1 Das ungesteuerte Modell .. · 135
4.3.2 Das gesteuerte Modell . . . · 137
4.3.3 Kostenminimale Steuerung . · 140
4.4 Dynamische Evolutionsspiele . · 152
4.5 Dynamische Bi-Matrix-Spiele ... · 159
INHALTSVERZEICHNIS IX
4.6 Dynamische n-Personen-Spiele . · 167
5 Appendix 183
5.1 Lineare Ungleichungen .......... . · 183
5.Z Hauptsatze der linearen Optimierung .. . · 185
5.3 Asymptotische Stabilitat von Fixpunkten . · 186
5.4 Der Fixpunktsatz von Kakutani · 189
5.5 Bibliographische Bemerkungen . . . . . . . · 191
Literaturverzeichnis 193
Index 195
••
Einleitung und Ubersicht
Die Spieltheorie begann im Jahre 1928 mit einer Arbeit von John v. Neumann
mit dem Titel "Zur Theorie der Gesellschaftsspiele" im Band 100 der Ma
thematischen Annalen. In dieser Arbeit geht er von folgender Fragestellung
aus:
"n Spieler, Sl, S2, ... ,Sn, spielen ein gegebenes Gesellschaftsspiel G. WiE
muB einer dieser Spieler, Sm, spielen, urn dabei ein moglichst gtinstiges Re
suit at zu erzielen?"
Diese Fragestellung muB nattirlich prazisiert werden. In einem erst en
Schritt beschreibt John v. Neumann ein Gesellschaftsspiel folgendermaBen:
"Ein Gesellschaftsspiel besteht aus einer bestimmten Reihe von Ereignissen:
deren jedes auf endlich viele verschiedene Arten ausfallen kann. Bei gewissen
unter diesen Ereignissen hangt der Ausfall vom Zufall ab, d.h.: es ist bekannt
mit welchen Wahrscheinlichkeiten die einzelnen Resultate eintreten werden:
aber niemand vermag sie zu beeinfiussen. Die tibrigen Ereignisse aber hangen
vom Willen der einzelnen Spieler Sl, S2,' .. ,Sn abo D.h.: es ist bei jedem die
ser Ereignisse bekannt, welcher Spieler Sm seinen Ausfall bestimmt, und von
den Resultaten welcher anderer ("frtiherer") Ereignisse er im Moment sei
ner Entscheidung bereits Kenntnis hat. Nachdem der Ausfall aller EreignissE
bereits bekannt ist, kann nach einer festen Regel berechnet werden, welchE
Zahlungen die Spieler Sl, S2,' .. ,Sn aneinander zu leisten haben."
Diese Beschreibung gieBt er nun in ein mathematisches Modell, das el
schrittweise so vereinfacht, daB am Ende die folgende Normalform eines Ge
sellschaftsspieles herauskommt:
"Jeder der Spieler Sl, S2,' .. ,Sn wahlt eine Zahl, und zwar Sm eine del
Zahlen 1,2, ... , 'Em(m = 1,2, ... , n). Jeder hat seinen EntschluB zu fassen:
ohne tiber die Resultate der Wahlen seiner Mitspieler Kenntnis zu haben.
Wenn Sie die Wahlen Xl, X2,"" Xn getroffen haben (xm = 1,2, ... , 'Em, m =
