Table Of ContentSpezialgebiete der
Gasdynamik
Schall no he, Hyperschall,
Tragflochen, Wellenausbreitung
K.Oswatitsch
Springer-Verlag
Wien New York
Prof. Dr. KLAus OSWATITSOH
Vorstand des Institutes ffir Stromungslehre
der Technischen Universitat Wien, (Jsterreich,
Ehemaliger Direktor des Institutes fiir Theoretische Gasdynamik
der DFVLR, Aachen, Bundesrepublik Deutschland
Das Werk ist urheberrechtlich geschiitzt.
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oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei
nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten.
® 1977 by Springer.Verlag/Wien
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1977
Library of Congress Cataloging in Publication Data. Oswatitsch, Klaus. Spezialgebiete der Gasdynamik. 1. Aero
dynamics. 2. Gas dynamics. I. Title. QA 930.088. 533'.01'51. 77·22302
Mit 161 Abbildungen
ISBN-13:978-3-7091-8441-7 e-ISBN-13:978-3-7091-8440-0
DOl: 10.1007/978-3-7091-8440-0
Vorwort
1m Rahmen del' Gasdynamik ist eine Reihe von Spezialgebieten entstanden,
die in einem allgemeinen Lehrbuch nicht mehr in ausreichender Breite und Tiefe
behandelt werden konnen und denen daher diesel' gesonderte Band gewidmet ist.
Das Hauptgewicht wird darin auf eine moglichst verstandliche Analyse del' wich
tigsten Phanomene gelegt, nicht abel' auf eine vollstandige Wiedergabe del' gan
gigen Methoden. Von diesen wird nul' die eine odeI' andere verwendet, im iibrigen
wird mit einer kurzen Erlauterung auf die Literatur verwiesen.
Bei Steigerung del' Machzahlen stationarer Stromungen begegnet man den
ersten ernsteren Schwierigkeiten beim gleichzeitigen Auftreten del' in ihren Eigen
schaften so grundlegend verschiedenen Stromungsformen bei Unter- und Uber
schallgeschwindigkeit. 1m ersten Tell werden daher diese sogenannten sehallnahen
Stromungen behandelt. Am ausgepragtesten treten die Probleme hier bei del'
ebenen, stationaren Stromung zutage. Ihr ist daher eine Reihe von Kapiteln
gewidmet, wobei die leistungsfahige Rheographenmethode von Sobieczky wieder
holt herangezogen wird. AnschlieBend werden achsensymmetrische und raumliche
Stromungen bearbeitet. Dabei findet del' Aquivalenzsatz seine besondere Beach
tung.
Del' zweite Tell umfaBt die Hyperschallstromung, also den Bereich sehr hoher
Maehzahlen. Die Probleme liegen hier etwas einfacher, da selbst bei stumpfen
Korpern in del' Newton- und Busemann-Naherung sehr einfache, brauchbare
Verfahren zur Verfiigung stehen. Fur hohere Genauigkeitsanspriiche wird die Me
thode von W. Schneider dargelegt.
Del' dritte Tell ist del' raumlichen stationaren Stromung gewidmet, VOl' aHem
den Tragflachen in reiner Unterschall- odeI' reiner Ubersehallstromung. Hier
kann die lineare gasdynamische Gleichung mit den dazugehorigen Singularitaten
method en angewendet werden. Die wesentliche Entwicklung erfolgte hier bereits
VOl' rund 30 Jahren. GroBere Telle del' Darstellung sind dem alteren Bueh [.11]
entnommen. Die Hauptaufgabe in diesem Gebiet besteht in del' Entwicklung des
erforderliehen mathematischen Rustzeuges. Die Behandlung del' TragfHichen in
Uberschallstromung fiihrt bereits zu Problemen del' raumlichen Wellenausbrei
tung und damit zu Problemen, wie sie ausfiihrlicher im letzten Teil behandelt
werden.
Wahrend in del' Aerodynamik del' Tragflachen und somit im vorangegangenen
Teil im wesentlichen die Geschwindigkeits- und Druckverteilungen auf del' Fliigel
oberflache interessieren, werden in del' ersten Halfte des vierten Buehteiles die
stehenden Wellen behandelt, die an einem mit Uberschallgeschwindigkeit ange
blasenen Fliigel im Raume auftreten. Dies fiihrt bereits im Linearisierungsgebiet
del' gasdynamischen Gleichung zu interessanten Aufgaben, die mittels del' GauB-
VI Vorwort
schen Flachentheorie gelost werden. Zur richtigen Darstellung der Wellenfronten
in groI3erer Entfernung vom Fliigel und - bei schallnahen Kanten - selbst in
unmittelbarer Kantenumgebung muI3 iiber die lineare akustische Theorie hinaus
gegangen werden. Zur Losung wird hier und im folgenden das analytische Charak
teristikenverfahren herangezogen. Die zweite Halfte des vierten Teiles ist den
instationaren Wellenausbreitungsvorgangen bei zwei raumlichen Veranderlichen
gewidmet, also instationaren Wellen bei ebener oder achsensymmetrischer Stro
mung. Dazu muI3 zunachst die akustische Theorie hergeleitet werden. AbschlieI3end
werden mittels der analytischen Charakteristikentheorie typische Beispiele beim
Auftreten schwacher instationarer StoI3e behandelt. Die Berechnung allgemeiner
flachenformiger Wellenfronten in diesem Teil ist in der Buchliteratur wohl neu.
Die Darstellung wurde so gewahlt, daI3 das Werk auch ohne mein Grundlagen
buch, [.13], verwendet werden kann. Auf S. 369 und 370 sind die erforderlichen
Gleichungen aus [.13] zusammengestellt, die in ahnlicher Weise aber auch in den
anderen Fachbiichern zu finden sind.
Nicht aufgenommen wurden die Vorgange der Reibungsschichten und des
Warmeiiberganges. Diese werden besser gemeinsam mit den entsprechenden eng
verwandten Problemen der inkompressiblen Stromung in eigenen Lehrbiichern
behandelt. 1m Buchverzeichnis von [.13] sind einige dieser Fachbiicher erwahnt:
[.18], [.26], [.40], [·45]. Auch fUr das ausgedehnte Gebiet des Fliigelflatterns sei
auf Spezialwerke verwiesen, die unter Umstanden auch die Fragen der Aero
elastizitat mit umfassen, [.2], [.6], (.10], [. . 21]. Selbst im Themenkreis des vorlie
genden Werkes war eine gewisse Umfangsbeschrankung erforderlich. Zur Ergan
zung sind auf S. 371-373 weitere einschlagige Spezialwerke zitiert.
Es bedarf wohl kaum einer Erwahnung, daB ich verschiedene Teile des
Buches erst nach intensiver Diskussion mit Mitarbeitern geschrieben habe. Dies
kommt in entsprechender Namensnennung im Text zum Ausdruck. Vorweg habe
ich aber dem Verlag und vor allem seinem Leiter, Direktor Dr. W. Schwabl, fUr
das verstandnisvolle Eingehen auf meine Wiinsche und fiir die ausgezeichnete
Ausstattung des Werkes zu danken. Von meinen standigen Mitarbeitern mochte
ich wie im vorangegangenen Werk vor allem jenen danken, die die verantwortungs
volle Aufgabe der Korrektur auf sich genommen haben, namlich Dr. W. Koch,
Dr. P. Niederdrenk, Dr. H. S. Schwarze und Dipl.-Math. R. Schwarzenberger.
Mein ganz besonderer Dank richtet sich aber wieder an meinen Wiener Mit
arbeiter Dipl.-Ing. M. Horvat, der abermals die Redaktion in selbstandiger Weise
iibernommen und mich in vielen Details beraten hat. Er hat zum erfolgreichen
AbschluB der "Grundlagen" wie der "Spezialgebiete" der Gasdynamik einen
entscheidenden Beitrag geliefert..
Wien, im Sommer 1977 KLAus OSWATITSCH
Inhaltsverzeichnis
I. Stationiire, reibungsfreie, schallnahe Striimung 1
1. Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Vberblick uber das Umstriimungsproblem, Einilusse und Abhangigkeiten . 2
3. Entwicklungen in Schallnahe . . . . . . . . . . 10
4. Die gasdynamische GIeichung fUr kleine Stiirungen 18
5. Kleine Streckung in Schallnahe . . . . . 21
6. Darstelhmgen in Stiirvariablen . . . . . 22
i. AhnIichkeitsgesetz fUr Profile lmd Fhigel . 26
8. Widerstand, Entropie, hiihere Naherungen 31
9. Symmetrie-Eigenschaften der Liisungen .. 35
10. AhnIichkeitsgesetz fUr Rotationsrumpfe 38
11. Schallnahe Vberschallanstriimung am Kreiskegel 44
12. Exakte Liisungen . . . . . . . . . . . . 48
13. Liisungen im Rheographen ....... . 50
14. Lokales Vberschallgebiet ohne und mit StoB 58
15. Profil bei Schallanstriimung . . . . . . . 63
16. Die StoBpolare in der Rheographenebene . . 67
17. Profil bei geringer Vberschallgeschwindigkeit 69
18. Machzahlabhangigkeit des Widerstandes, Einfrieren 75
19. Konvexe Ecken bei Unterschallanstriimung . 78
20. GabeIstiiBe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
21. Abklingen im Raume bei Schallanstriimung. . . . 83
22. Aufsetzen des senkrechten StoBes auf gekrummter Wand. 84
23. Einflusse auf StiiBe durch stromabwartsgelegene Stiirungen 89
24. Machreflexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
25. Dusenstriimung . . . . ... . . . . . . . . . . . . . 94
26. Naherung durch die parabolische Differentialgleichung . . 98
27. Integralgleichung fUr schallnahe Umstriimung von Profilen 105
28. Naherungsweise Liisung der Integralgleichung . 113
29. Numerisches Verfahren von Murman und Cole 119
30. Verfahren von Garabedian und Korn 122
31. Aquivalenzsatz . . . . . . . . . . . . . . 124
32. Flachenregeln. . . . . . . . . . . . . . . 134
33. Ahnlichkeitsgesetze fUr FlugeI kleiner Streckung . 140
Literatur .................. . 144
II. Hyperschallstriimung 147
1. Vorbemerkung 147
2. Eigenschaften der Hyperschallumstriimung, kleine Richtungsstiirungen . 151
3. Vertraglichkeitsbedingungen und N eigungsbedingungen bei reiner hoher HyperschaIl-
striimung. . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4. Starke schiefe VerdichtungsstiiBe . . . . . . 159
5. Machzahlunabhangigkeit im Hyperschall-Limes 163
6. Ahnlichkeitsgesetze . . . . . . . . . . . . 167
VIn Inhaltsverzeichnis
7. Analogie zur instationaren Wellenausbreitung ........... . 173
8. Prandtl-Meyer-Expansion, endlicher Keil in hoher Hyperschallstromung 175
9. Profilkriimmung an der Vorderkante. . . . . . . . • . . 178
10. Charakteristikenverfahren fiir hohe Hyperschallstromung . 180
11. Naherungen durch analytische Charakteristiken-Theorie 183
12. Newton-Naherung, Busemann-Korrektur 185
13. Naherung von W. Schneider _ ... 190
14. Hyperschall-Nachlauf . . . . . . 197
15. Raumliche Hyperschallstromungen 201
Literatur ............ . 203
ID. Stationiire Stromung urn Fliigel endlicher Spannweite 204
1. Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
2. Die Unterschallstriimung an fIachen symmetrischen Korpern 204
3. Einige typische Beispiele zum Dickenproblem. . . . . . . 207
4. Wirbelband und Wirbelsatze . . . . . . . . . . . . . . 212
5. Integralgleichung der tragenden Flache in Unterschallstromung 214
6. Auftrieb und induzierter Widerstand. . . . . . . . 217
7. Fliigel groBer und kleiner Streckung . . . . . . . . . . . . 220
8. Einfliisse und Abhangigkeiten bei Uberschallstriimung . . . . 226
9. Uberschallstriimung an flachen Kiirpern ohne Kantenumstromung . 229
10. Umformung auf spezielle Machebenen .......... . 233
11. Gleichungen fiir kegelige Striimung . . . . . . . . . . . . 235
12. Nichtangestellte kegelige Kiirper mit Unterschallvorderkanten 240
13. Tragendes Dreieck mit Unterschallkanten ........ . 242
14. Fliigel ohne Kantenumstromung ............ . 246
15. Integralgleichung der tragenden Flache in Uberschallstriimung 253
16. Tragende Flache mit teilweise umstromter Vorderkante 255
17. Naherungen fiir Fliigel mit Unterschallvorderkanten . 259
18. Verallgemeinerungen durch Transformation. 261
19. Verallgemeinerung durch Superposition 264
Literatur •......•......... 265
IV. Riiurnliche und zeitliche Wellenausbreitung 267
1. Vo rbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . 267
2. Stationare Wellenfronten, allgemeine Gleichungen 268
3. Akustische Wellenfronten ..... 275
4. Stiirtheorie stationarer Wellenfronten. . . 280
5. Fronten schwacher stationarer StiiBe. . . 283
6. Dilierentialgleichungen in Storkoordinaten 289
7. Schallkanten . . . . . . . . 291
8. Ubergang zu Uberschallkanten . . . . . 300
9. Fliigel mit Kantenumstriimung . . . . . 310
10. Verallgemeinerte Prandtl-Meyer-Expansion . 312
11. Charakteristiken-Grenzflache der ebenen Prandtl-Meyer-Expansion 318
12. Nah-und Fern£eld eines Fliigels, Uberschallknall. . . . . 323
13. Potentialgleichungen fiir instationare, raumliche Vorgange . 329
14. Einige singulare Liisungen . . . . . . . . . . . . . . . 331
15. Raumliche instationare Striimungen in akustischer Niiherung 332
16. Randbedingungen, Integrationsgrenzen. . . . . . . . 335
17. Ungleichfiirmig bewegte raumliche QueUe ..... . 339
18. Allgemeine Gleichungen fiir instationare WeUenfronten . 341
19. Akustische Wellenfronten, Beispiele ........ . 343
Inhaltsverzeichnis IX
20. Stortheorie instationarer Wellenfronten .. . . . . . . 348
21. Fronten schwacher instationarer St5Be. . . . . . . . . 350
22. Uberschallstr5mnng an einer pl5tzlich angestellten Platte. 352
23. Abl5slmg der Kopfwelle bei verz5gertem Uberschallflug. 355
Literatur ...................... . 357
Tabellen . 359
Integrale und Integralsatze ... . . . . . . . . . . . . . . 365
Gleichnngen aus [·13], K. Oswatitsch, Grnndlagen del' Gasdynamik 369
Bucher ............. . 371
Monographieartikel, Symposiumsbande 372
Namen- und Sachverzeichnis .... 374
I. Stationare, reihungsfreie, schallnahe Stromung
1. Vorbemerkung
Mit dem Wort "Schallnahe" sei alles umfaBt, was das Wort selbst bereits
ausdriickt. Es ist dabei nicht erforderlich, daB die gesamte Stromung Machsche
Zahlen nahe an M = 1 aufweist. Schon das Erreichen oder Vberschreiten der
kritischen Geschwindigkeit an einer einzigen Stelle bei sonst tiefen Unterschall
geschwindigkeiten oder hohen Vberschallgeschwindigkeiten geniigt, um die Stro
mung in den Problemkreis dieses Teiles einzuordnen. Freilich wird in der Praxis
nur dann auf die besonderen Erscheinungen Riicksicht zu nehmen sein, wenn die
schallnahe Stromung einen wesentlichen Teil der betrachteten Stromung aus
macht. Denn genau genommen iiberschreitet die Geschwindigkeit auch bei
niedrigster Machzahl der Anstromung an einer konvexen Kante stets den Wert
M* = 1, und es befindet sich auch in der praktischen Ausfiihrung an der Spitze
jedes noch so schnell fliegenden Geschosses ein lokales Unterschallgebiet. Doch
werden solche Erscheinungen nur dann der "schallnahen Stromung" zuzuzahlen
sein, wenn man sich ganz speziell fUr die Vorgange in diesen fUr die Gesamt
stromung unbedeutenden Teilgebieten interessiert.
Zumeist werden in der Literatur Vorgange behandelt, bei welchen die Ge
schwindigkeit in allen Teilen schallnahe ist. Dann wird die kritische Geschwin
digkeit bereits bei kleinen Geschwindigkeitsstorungen durchschritten. Das er
leichtert nicht nur die Behandlung der Aufgaben etwas, sondern entspricht auch
weitgehend den praktischen Erfordernissen, weil kleine Storungen auch im all
gemeinen mit kleinen Widerstanden verbunden sind.
Der Begriff der "Schallnahe" deckt sich weitgehend mit dem, wasim angloameri
kanischen Sprachgebrauch mit "transonic" (richtiger trans-sonic) bezeichnet wird.
Dabei ist ein Durchschreiten der Schallgeschwindigkeit nicht unbedingt erforderlich.
Besonders bei tJberschallgeschwindigkeit zeigen sich die Effekte der Schallnahe
schon deutlich, wenn die Schallgeschwindigkeit an den Stellen geringster Ge
schwindigkeit auch nur erreicht wird. In Anlehnung an die internationale Be
zeichnungsweise spricht man auch im Deutschen von "transsonischer Stromung".
1m Gegensatz zu anderen Gebieten muB man sich bei schallnaher Stromung
trotz der groBen Bedeutung, welche diesem Problemkreis zukommt, mit ver
haltnismaBig bescheidenen Ergebnissen begniigen. Es ist anzunehmen, daB noch
wesentliche Fortschritte erzielt werden, so daB nur das berichtet werden soil,
wo das Resultat den Aufwand einigermaBen rechtfertigt. Dariiber hinaus sei dem
Forschenden ein Bild iiber die bisher beschrittenen Wege gegeben und im iibrigen
auf die Spezialwerke und Monographien verwiesen.
1 Oswatitsch. Spezialgebiete
2 I. Stationare, reibungfsreie, schallnahe Stromung
Zwei Problernkreise stehen bei schallnaher Stromung im Vordergrund, jener
des in Unterschallstromung eingebetteten lokalen tJberschallgebietes und jener des
in "Oberschallstromung eingebetteten lokalen Untersckallgebietes. Das erstere er
scheint in Unterschallstromungen an Stellen hochster Geschwindigkeit, wenn die
mittlere Geschwindigkeit ein gewisses MaB iiberschreitet. Lokale Unterschall
gebiete dagegen treten vor allem an Profil-und Korpernasen bei nicht zu hoher
"Oberschallanstromung auf, selbst wenn die Nasen spitz sind.
Ein weiteres wichtiges Problem bildet das Durchschreiten der Schallgeschwin
digkeit auf allen Stromlinien, wie es in der engst-en Stelle einer beschleunigt
durchstromten Lavaldiise auftritt. Auch die Umstromung eines Profiles oder
eines Korpers bei Schallgeschwindigkeit in der Anstromung, Moo = 1, liefert
dafiir Beispiele.
2. Uberblick iiber das Umstromungsproblem,
Einfiiisse und Abhangigkeiten
Das allgemeine Verhalten der schallnahen Umstromung eines Korpers liiBt
sich am besten an der Umstromung eines schlanken Profiles studieren. Die typi
schen Eigenschaften einer gemischten Unterschall-Vberschallstromung treten bei
ebener Stromung am stiirksten hervor. Dabei handelt es sich keineswegs um den
Fall geringster, sondern um den Fall ausgepriigtester transsonischer Problematik.
Die Anschaulichkeit ist dariiber hinaus bei ebener stationiirer Stromung am
groBten. Dagegen wird bei riiumlicher Stromung der Vbergang von Unterschall
zu "Oberschallgeschwindigkeit durch die MOglichkeit des Ausweichens in eine
dritte Dimension gemildert. Das geht beirn Auftriebsproblem angestellter Rota
tionskorper oder angestellter Fliigel kleiner Streckung so weit, daB die Querkriifte
in erster Niiherung sogar im Rahmen linearer Theorie erfaBt werden konnen.
Die ebene Stromung um ein nichtangestelltes, schlankes ProfilliiBt sich durch
aus verstehen, wenn sich auch der Berechnung erhebliche Schwierigkeiten ent
gegenstellen. Sie sei daher zur Diskussion der verschiedenen Typen schallnaher
Stromung herangezogen. Das Profil sei dabei als vorne und auch hinten zugespitzt
angenommen, um bei Vberschall-Anstromung, Moo > 1, den AnschluB an reine
Vberschallstromung herstellen zu konnen. Die noch wenig durchgearbeitete,
allerdings iiuBerst wichtige Stromung am angestellten oder gewolbten Profil wird
erst in den niichsten Abschnitten untersucht. Die verschiedenen Stromungs
formen seien in der durch ansteigende Machzahl der Anstromung Moo gegebenen
Reihenfolge erliiutert.
Nach "Oberschreiten der unteren kritischen Machzahl Moo, d. i. jene Machzahl
der Anstromung Moo < 1, bei der in einem Punkt am Profil Schallgeschwindigkeit
gerade erreicht wird, bildet sich in der Umgebung des Dickenmaximums ein
"lokales Vberschallgebiet" aus. Die Geschwindigkeitsverteilung in diesem unter
sten schallnahen Bereich scheint sich im allgemeinen nur wenig von der reinen
Unterschallstromung zu unterscheiden, indem die Geschwindigkeit in der Um
gebung des Dickenmaximums eine nun im Vberschallbereich liegende Maximal
geschwindigkeit erreicht und danach gegen das Korperende zu wieder abnimmt.
Fiir solche Stromungsformen werden in Abschn. 14 Belegbeispiele gegeben. Die
