Spektren verallgemeinerter Hodge-Laplace-Operatoren : Am Beispiel von flachen Tori und runden Sphären

68 Pages·2016·0.856 MB·German

by  Stine Franziska Beitz (auth.)

Stine Franziska Beitz
Spektren verallgemeinerter
Hodge-Laplace-Operatoren
Am Beispiel von flachen
Tori und runden Sphären
BestMasters
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öffentlichung empfohlen und behandeln aktuelle Themen aus unterschiedlichen
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senschaften.
Die Reihe wendet sich an Praktiker und Wissenschaftler gleichermaßen und soll
insbesondere auch Nachwuchswissenschaftlern Orientierung geben.
Stine Franziska Beitz
Spektren verallgemeinerter
Hodge-Laplace-Operatoren
Am Beispiel von flachen
Tori und runden Sphären
Stine Franziska Beitz
Münster, Deutschland
BestMasters
ISBN 978­3­658­13109­8 ISBN 978­3­658­13110­4 (eBook)
DOI 10.1007/978­3­658­13110­4
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Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei all denjenigen bedanken, die mich
während der Anfertigung dieser Masterarbeit unterstützt haben. Ganz be-
sonders gilt mein Dank Prof. Dr. Christian Bär für die gute Betreuung,
viele anregende Gespräche und dafür, dass ich dieses interessante Thema
überhaupt bearbeiten durfte. Ich danke auch Dr. Andreas Hermann, mit
dem ich immer über den aktuellen Stand der Arbeit und meine neuesten
ErkenntnissediskutierenkonnteunddermirvielenützlicheHinweisegege-
ben hat. Meinen Kommilitonen Matthias Ludewig, Max Lewandowski und
Oliver Lindblad Petersen, welche mich die ganze Zeit über unterstützt ha-
ben,binichfürzahlreichehilfreicheDiskussionenundfachlicheAnregungen
dankbar.IchmöchteauchArianeBeyer,VictoriaRotheundClaudiaGrabs
danken, die mir immer einen Platz in ihrem Büro zur Verfügung gestellt
und somit für eine angenehme Arbeitsatmosphäre gesorgt haben. Über-
haupt bedanke ich mich bei der gesamten Potsdamer Arbeitsgruppe für
die amüsanten und über die Mathematik hinaus sehr lehrreichen Mittags-
undKaffeerunden,diedafürsorgten,denKopfzwischendenArbeitsphasen
wieder freizubekommen, um mir diesen mit neuem Elan wieder zerbrechen
zukönnen.NichtzuletztgebührtmeinDankmeinenEltern,ohnediedieses
Unternehmen schon von vornherein nicht möglich gewesen wäre.
V
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Definitionen und Vorüberlegungen 5
3 Spektrum auf flachen Tori 17
3.1 Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Eigenzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Multiplizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Isospektralität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.1 Eigenschaften von Isometrien . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.2 Isometrische flache Tori . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.3 Variation der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Spektrum auf Sphären 37
4.1 Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Eigenzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1 Eigenformen zu δSnd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Eigenformen zu dδSn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.3 Beweis der Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Multiplizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Isospektralität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4.1 F auf Sphären verschiedener Radien . . . . . . . . 55
αβ
4.4.2 Variation der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Literaturverzeichnis 61
VII
1 Einleitung
Kann man eigentlich die Form einer Trommel hören? Kann man allein an-
hand ihres Klanges Rückschlüsse auf deren Form ziehen? Diese Frage warf
Mark Kac schon 1966 in seinem Artikel "Can One Hear the Shape of a
Drum" auf ([Kac66]). Vollständig beantworten konnte er diese allerdings
nicht. Mathematisch wird in seiner Arbeit die aufgespannte Schwingungs-
membran durch ein Gebiet G in der Ebene modelliert. Die Resonanzfre-
quenzen sind gerade die Eigenwerte des Dirichlet-Problems des Laplace-
Operators Δ0 auf Funktionen, d.h., diejenigen reellen Zahlen λ, für die es
Funktionen f :GÑR, f ı0, gibt, die auf dem Rand von G verschwinden
und die Eigenwertgleichung Δ0f “λf erfüllen.
InderSpektralgeometriewerdenähnlicheProblemeineinemallgemeineren
Rahmen untersucht. Man interessiert sich hier für die Beziehung zwischen
den geometrischen Strukturen von riemannschen Mannigfaltigkeiten und
den Spektren elliptischer Differentialoperatoren. Insbesondere fragt man
sich, welche Informationen das Spektrum dieser Operatoren über die Geo-
metrie der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeiten liefert. Eines der ersten
Resultate dieser Art entdeckte Hermann Weyl 1911 ([Wey11]). Er zeig-
te, dass das Volumen eines beschränkten Gebietes im euklidischen Raum
durch das asymptotische Verhalten der Eigenwerte des Dirichlet-Problems
desLaplace-Beltrami-Operatorsbestimmtist.UmeineMannigfaltigkeitbis
auf Isometrie vollständig zu rekonstruieren, reicht die reine Kenntnis der
Eigenwerteallerdingsnichtaus.DieAntwortaufdieFrage"CanOneHear
theShapeofaDrum"lautetalso"nein".DieserkannteschonJohnMilnor,
welcher die Existenz von zwei nichtisometrischen 16-dimensionalen Tori
mit identischen Spektren der Laplace-Operatoren bewies ([Mil64]). Auch
Gordon, Webb und Wolpert konstruierten unterschiedliche Gebiete in der
Ebene, deren Eigenwerte übereinstimmen ([GWW92]).
In dieser Arbeit betrachten wir für reelle Zahlen α,β ą 0 die Familie von
DifferentialoperatorenFM :“αdδ`βδdaufdemHilbertraumL2pM,T˚Mq,
αβ
d.h. den L2-Einsformen auf einer kompakten riemannschen Mannigfaltig-
keit pM,gq der Dimension n mit dem Sobolevraum H2pM,T˚Mq als Defi-
nitionsbereich. Hierbei bezeichnen d die äußere Ableitung auf Differential-
formen und δ den zu d adjungierten Operator. Für α “ β “ 1 ergibt sich
gerade der wohlbekannte Hodge-Laplace-Operator. Unser Ziel ist es, für
gewisse Mannigfaltigkeiten das Spektrum SpekpFMq der Operatoren FM
αβ αβ
explizitzubestimmenundzuuntersuchen,unterwelchenUmständendiese
Operatoren isospektral sind, also dasselbe Spektrum besitzen.
DerOperatorFM istaufseinemDefinitionsbereichselbstadjungiert.Daher
αβ
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2016 1
S.F. Beitz, Spektren verallgemeinerter Hodge-Laplace-Operatoren,
BestMasters, DOI 10.1007/978-3-658-13110-4_1
liefertderSpektralsatzfürunbeschränkteselbstadjungierteOperatorenaus
der Funktionalanalysis ([Wer04, Theorem VII.3.2]) ein eindeutig bestimm-
tes Spektralmaß E und mit Hilfe dessen eine Spektralzerlegung unseres
Operators: ż
FMω “ λdE ω
αβ λ
SpekpFM q
αβ
für ω PH2pM,T˚Mq. Das Spektralmaß E ist dabei ein Operator-wertiges
Maß, welches alle Informationen über das Spektrum kodiert und dieses
insbesondere als Träger hat. Da die riemannsche Mannigfaltigkeit M kom-
paktist,istdasSpektrumvonFM diskretundbestehtnurausEigenwerten
αβ
endlicher Multiplizitäten. Diese sind aufgrund der Selbstadjungiertheit des
Operatorsreell.InunseremFallistdasSpektralmaßsomitgeradedieSum-
me von Projektoren P auf die Eigenräume EigpFM,λq:
λ αβ
ÿ
E “ P
λ
λPSpekpFMq
αβ
und wir erhalten die Spektralzerlegung
ÿ
FMω “ λP ω
αβ λ
λPSpekpFMq
αβ
fürω PH2pM,T˚Mq.UmdasSpektrumdesOperatorsFM zubestimmen,
αβ
reicht es also das algebraische Eigenwertproblem zu untersuchen, d.h., Lö-
sungen λ P R und ω P H2pM,T˚Mq der Eigenwertgleichung FMω “ λω
αβ
zu finden, das bedeutet, alle Eigenwerte und Eigenformen von FM.
αβ
Zu ξ PT˚M aus dem Kotangentialbündel von M ist
` ˘
´ β|ξ|2id`pα´βqξ^pξ7{ ¨q
dasHauptsymbolvonFM.Hierbeiistξ7{ω :“ωpξ7qfürω PH2pM,T˚Mq
αβ
und 7 bezeichnet den musikalischen Isomorphismus, der jedem ξ P T˚M
einen eindeutig bestimmten Vektor ξ P TM so zuordnet, dass gpξ7,¨q “ ξ.
Auf Einsformen entspricht das Hauptsymbol bezüglich einer Orthonormal-
basis gerade der Matrix
` ˘
A:“´ β|ξ|21 `pα´βqξξt
n
mit ξ P Rn und der n-dimensionalen Einheitsmatrix 1 . Ergänzt man für
n
ξ ‰ 0 den Vektor |ξξ| zu einer Orthonormalbasis von Rn durch b2,...,bn
2
und wählt ein QPOpnq so, dass Q|ξξ| “e1 und Qbi “ei für iPt2,...,nu,
wobei te1,...,enu die Standardbasis des Rn sei, so sieht man, dass
detpAq“detpQAQtq“p´1qnαβn´1|ξ|2n ‰0.
Das Hauptsymbol ist also invertierbar für alle ξ ‰ 0 und FM somit ellip-
αβ
tisch.MitderelliptischenRegularitätstheorieaufMannigfaltigkeiten(siehe
z.B. [Gil95, Lemma 1.6.3]) folgt nun, dass all seine Eigenformen glatt sind.
Esgenügtdaher,FM alsOperatoraufdenglattenEinsformenΩ1pMqauf-
αβ
zufassen.
WirwerdenindieserArbeitdasSpektrum,alsodieEigenwertemitzugehö-
rigenEigenräumen,derOperatorenFM fürzweiBeispielmannigfaltigkeiten
αβ
M berechnen - den Sphären Sn verschiedener Radien r ą0 und den durch
r
Gitter Λ Ă Rn induzierten flachen Tori Rn{Λ. Wir werden dabei feststel-
len, dass sich dieses in Eigenwerte zum Parameter α und Eigenwerte zum
Parameterβ aufspaltet,d.h.,zuEigenwertenderOperatorenαdδ undβδd.
In der Dimension n“2 ist das Spektrum sogar symmetrisch in α und β.
Es wird sich herausstellen, dass das Spektrum von FT auf flachen Tori T
αβ
gerade die Vereinigung des einmal mit α und einmal mit β multiplizierten
SpektrumsdesgewöhnlichenLaplace-OperatorsΔ0 aufglattenFunktionen
ist.MitdieserErkenntnislassensichAussagenüberdieIsospektralitätvon
zwei Operatoren FαTβ1 und FαT12β1 für α,α1,β,β1 ą0 auf flachen Tori T1 und
T2 treffen.
WirwerdendieKoeffizientenα undβ zunächstfesthaltenundzeigen,dass
für zwei kompakte isometrische riemannsche Mannigfaltigkeiten M und N
die Operatoren FM und FN dasselbe Spektrum besitzen. Es stellt sich
αβ αβ
danndieFrage,obauchdieUmkehrungdieserAussageimFallvonflachen
Tori gilt, d.h., ob das Spektrum von FT den flachen Torus T schon bis
αβ
auf Isometrie bestimmt. In der Dimension n “ 1, also für eindimensiona-
le Sphären, sieht man sofort, dass die Antwort "ja" lautet. Wir beweisen
als nächstes, dass für zwei flache Tori T1 und T2 die Operatoren FαTβ1 und
FT2 genau dann isospektral sind, wenn die Laplace-Operatoren ΔT1 und
αβ 0
ΔT2 dasselbe Spektrum haben. Damit können wir die obige Frage auch
0
für höhere Dimensionen beantworten, da die Antwort im Fall des Laplace-
Operators auf Funktionen bereits bekannt ist: In der Dimension n “ 2
lautet sie ebenfalls "ja" und ab der Dimension n “ 4 gibt es flache Tori,
die nicht isometrisch, deren Spektren bzgl. F jedoch identisch sind. Für
αβ
die Dimension n“3 scheint die Frage noch offen zu sein.
ImdarauffolgendenAbschnittlassenwirbeliebigeParameterα,α1,β,β1 ą
0 zu und stellen für n ‰ 2 fest, dass FT und FT für flache Tori T nur
αβ α1β1
3