Table Of ContentJaures Cecconi (Ed.)
Spectral Analysis
Lectures given at a Su mmer School o f the
Centro Internazionale Matematico Estivo (C.I.M.E.),
held in Varenna (Como), Italy,
August 24-September 2, 1973
C.I.M.E. Foundation
c/o Dipartimento di Matematica “U. Dini”
Viale Morgagni n. 67/a
50134 Firenze
Italy
[email protected]
ISBN 978-3-642-10953-9 e-ISBN: 978-3-642-10955-3
DOI:10.1007/978-3-642-10955-3
Springer Heidelberg Dordrecht London New York
©Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010
Reprint of the 1sted . C.I.M.E., Ed. Cremonese, Rom a 1974
With kind permission of C.I.M.E.
Printed on acid-free paper
Springer.com
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO
(C.LM.E.)
III Cielo - Varenna - dal 24 Agosto a1 2 Settembre 1973
SPECTRAL ANALYSIS
J.
Coordinatore: Prof. Cecconi
G. BOTTARO: Quelques resultats d'analyse spectrale pour
des operateurs differentiels a coefficients
constants sur des domaines non bornes Pag. 1
L. GARDING: Eigenfunction expansions »21
C. GOULAOUIC: Valeurs propres de problemes aux limites
irreguliers: applications » 79
G. GRUBB: Essential spectra of elliptic systems on
compact manifolds » 141
J. C. GUILLOT: Quelques resultats recents en Scattering » 171
M. SCHECHTER: Theory of perturbations of partial differen-
tial operators » 187
C. H. WILCOX: Spectral analysis of the Laplacian with a
discontinuous coefficient » 231
CENTRO INTERNAZIONALE MATEMATICO ESTIVO
(C.I.M.E.)
, '"
.
QUELQUES RESULTATS D'ANALYSE SPECTRALE POUR DES OPERA-
DIFF~RENTIELSA
TEURS COEFFICIENTS CO,NSTANTS SUR DES DO-
MAINES NON BORNES
GIANFRANCOBOTTARO
Corso tenuto a Varenna da1 24 agosto a1 2 settembre 1973
GIANFRANCO BOTTARO
Quelques resultats d' analyse spectrale pour des operateurs
a
differentiels coefficients constants sur des domaines non bemps
1. Nous connaissons Ie resultat suivant
Theor. 5i A est un operateur autoadjoint de domain~contenu dans un
espace de Hilbert H, il admet une diagonalisation canonique,
a
c'est dire qu'il existe un operateur unitaire
~J
U H H(A)dtt
<r(A)
j
ou H( ). )dI:'" est une integrale directe dI espaces de
6"(A)
t-
Hilbert separables, est une mesure de Radon sur @' (A)
(spectre de A), la dimension des H( ~) est supposee fonction
mesurable Borel, U a la propriete suivante
f(
>.)
U f(A) u( A) A) U u(
ou fest une fonction de Baire sur 6"'(A) pour tous les uf H
r
tels que
j If(').) ~
>.)
U u( d <: :x>
a-(A)
a
c'est dire cpeUf(A)U*est 1'operation de multiplication par f
J
r.
x
sur H( )d
(T(A)
- 4 -
G. Bottaro
Garding [4] a expose une idee pour construire cette diagonalisation dans
a
Ie cas d 'operateurs differentiels elliptiques coefficients constants
2(Rn), a " 'i~~X
sur L c'est dire A=:, P ,(i fx ,. ) ,ou ,p 'est urr pol.ynd-
1 n
me ,reel d~fini 'positi~Nous savonsque la transformee de Fourier
I I
A : L2(Rn, ) ~ L2(Rn,
est une application unitaire qui diagonalise A d'une fa~on non
canonique. En effet, si nous prenons A,
domA=
on a
A
Au( ).) = p( ) O( ) •
La methode que Garding a propose pour construire la diagonalisation
n
canonique est celle-ci si p(A) = 2.. a \ ).j'
ij
i,j=l
p defini positif, on considere R(p) =R+ S la variete d'equation
t
p( ). ) = t , et on pose
Ht = L2(St,wt), ou dt dI,.}t
Si h.(t,.) est une base ort.honormee pour H, on defLnft;
J t
'~ J
v H dt
t
R(p)
- 5 -
G. Bottaro
ou
(Vv)(t)
.
pour tous les ve L2(Rn, )
Vest sQrement unitaire et alors
J
2 n ~
W= V'/\ : L (R , I) H dt
t
R(p)
est aussi unitaire et on a
(W Au)(t) I J p().)QO)h.(t,1)dW .(t,A) t(vQ)t = t(Wu)(t) •
t)h
5 J J
j
t
5i nous connaissons une diagonalisation canonique, il est facile de
construire une collection complete de fonctions propres generalisees
pour A, c'est a dire des distributions Cfj telles que
<Au, Lf .(t,.) >
J
pour chaque u t ~ (Rn). En effet 11 suffit d' exprimer (Wu).(t) de
J
la fa~on suivante
(Wu)/t) <u, f/t, .) >
pour chaque u ~ ~ (Rn); et cela est possible, parce que A est
elliptique et par consequent 5 est compact. En appliquant le
t
theoreme de Fubini on a alors
J( -()
J J-ei(x,~) - 'f
(Wu) .(t) o u(x)h.(t,~)dx d..>:. u x) j t,x dx
J 5 Rn J t Rn
t
- 6 -
G. Bottar-o
'f.
OU e la fonction suivante
J
J
s
t
2. Geci dit, voyons comment une telle idee est r~alisee pour
J 2(Rn)
l'operateur dassique - sur L [2] et comment on peut laisser
a
tomber l'hypothese que l'operateur coefficients constants soit ilefini
sur tout l'espace.
11 est clair que pour un operateur A, ayant un domaine dense dans
2(fi)(oun n),
L est un ouvert de R il suffit de construire un
operateur unitaire
2 2 n I ,
U : L (0.) - L (R ,
tel que
(U Au)( A) p( A)(Uu)(A )
pour chaque u 6. dom A parce qu ' apres cela,nous pouvons encore
a
appliquer l'idee que nous avons decrite: c'est dire que nous avons besom
d'une diagonalisation non canoniqu~, qui prenne la place de la
transformee de Fourier.
Etudions done le cas de l'operateur de Laplace: on peut considerer
2
comme base orthonormee pour L de la sphere unite une collection d'
harmoniques spheriques Ykj (k est le degre du polynome harmonique
- 7 -
G. Bottaro
correspondant et j=l••••••••N(k,n) n+n2+kk-2-2 (n+kk-2) est le
nombre d I harmoniques spheriques de degre k lineairement ind~pendantes
en dimension n. On peut prendre comme base orthonormee pour
2
L (S ,~ ) les fonctions
t t
~
avec ).
Si alors nous faisons le calcul que nous avons decrit poor_construire
4 )
une collection complete de fonctions propres gen~raliseespour (-
nous avons
ik l_n/2
crkj(t,x) =( (2 ) Ixl J(n/2)+k_l
cette formule est obtenue en representant la fonction exponentielle aumoyen
les harmoniques spheriques et les fonctions de Bessel de premi~re espece.
Cf e n 2n
On peut aussi verifier que LP(R ) si p >-n-=:'::"" , en
kj - 2
connaissant l'expression asymptotique Jv(r) = 0 (r-\); en outre
n
Cf kj €. C<» (R ), parce que Ix,k Ykj(x) est un polynfhne harmonique et
(jxl {t)l-k-(n/2)J (Ix/[t)
(n/2)+k-l
(tlx~).
est une fonction analytique en
A partir de l'operateur qui diagonalise canoniquement on peut obtenir
d'une fa~on naturelle l'expression
J5 , If 2 n
f(x) = lim L- f (t) k (t,x)dt, pour chaque f €. L (R );
kj kj j
5-)00 o
