Sous-algèbre commutative définie dans l'ensemble des matrices bisymétriques d'ordre n

266 Pages·2017·1.94 MB·French

by  Richard Riedel

Sous-algèbre commutative définie dans l’ensemble des
matrices bisymétriques d’ordre n
Richard Riedel
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Richard Riedel. Sous-algèbre commutative définie dans l’ensemble des matrices bisymétriques d’ordre
n. 2013. ￿hal-00473768v2￿
HAL Id: hal-00473768
https://hal.science/hal-00473768v2
Preprint submitted on 5 Feb 2014
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SOUS-ALGÈBRE COMMUTATIVE DÉFINIE DANS
L’ENSEMBLE DES MATRICES BISYMÉTRIQUES
D’ORDRE n

Richard Riedel
RR 7567/01-2
Version 2 Richard Riedel
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Sous-algèbre commutative définie dans l’ensemble des matrices bisymétriques d’ordre n

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Introduction

ℝ désigne le corps des réels. ℂ désigne le corps des nombres complexes.

ℤ/2ℤ est le corps fini constitué des 2 seuls éléments notés 0 et 1. Pour alléger les notations à
venir, nous poserons systématiquement : ℤ/2ℤ = (cid:1).

M ((cid:1)) et M ((cid:1)) désignent respectivement l’ensemble des matrices à n lignes et p
n,p n
colonnes et l’ensemble des matrices carrées d’ordre n, à éléments dans (cid:1). BS ((cid:1)) désigne
n
le sous-espace vectoriel de M ((cid:1)) renfermant les matrices carrées bisymétriques d’ordre n.
n

L’objectif de cette étude est d’établir l’existence d’un (cid:1)-sous-espace vectoriel de BS ((cid:1)),
n
dénommé BSC ((cid:1)), de dimension égale à n et dans lequel le produit matriciel est
n
commutatif. Nous démontrerons ainsi que BSC ((cid:1)) est une (cid:1)-algèbre commutative, la 2ème
n
loi interne étant la multiplication matricielle.

Nous définirons la base canonique de BSC ((cid:1)).
n

L’étude mettra en lumière de nombreuses propriétés spécifiques aux matrices de BSC ((cid:1)).
n

La conclusion de cette étude démontrera l’existence d’autres sous-espaces vectoriels de
BS ((cid:1)) dont le produit matriciel est commutatif, de dimension inférieure ou égale à n.
n
Elle fournira aussi la définition de BSC (ℝ) et de BSC (ℂ), et donnera des indications
n n
relatives à la transposition de certaines propriétés de BSC ((cid:1)) vers BSC (ℝ) et BSC (ℂ).
n n n

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Version 2 Richard Riedel
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Abstract

ℝ is the field of the reals. ℂ is the field of the complex numbers.

ℤ/2ℤ is the finite field, consisting of 2 elements denoted by 0 and 1. In order to simplify
forthcoming notations, we will systematically write : ℤ/2ℤ = (cid:1).

M ((cid:1)) et M ((cid:1)) are respectively the set of the n × p matrices (n rows, pcolumns) and
n,p n
the set of the n × n square matrices with elements belonging to (cid:1). BS ((cid:1)) designates the
n
subspace of M ((cid:1)) consisting of n × n bisymmetrical matrices.
n

The purpose of this paper is to demonstrate the existence of an n-dimensional (cid:1)-vector sub-
space of BS ((cid:1)), called BSC ((cid:1)), where the product of matrices is commutative. We will
n n
consequently prove that BSC ((cid:1)) is a commutative (cid:1)-algebra, the 2nd internal law being the
n
product of matrices.

We will define the canonical basis of BSC ((cid:1)).
n

This paper will also highlight numerous properties specific to the matrices belonging to
BSC ((cid:1)).
n

The conclusion of this document will prove the existence of other (cid:1)-vector sub-spaces
of BS ((cid:1)), where the product of matrices is commutative, with a dimension less than or
n
equal to n. It will also provide the definition of the BSC (ℝ) and BSC (ℂ) vector-spaces, as
n n
well as indications about the transposition of certain properties of BSC ((cid:1)) to BSC (ℝ) and
n n
BSC (ℂ).
n

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Sous-algèbre commutative définie dans l’ensemble des matrices bisymétriques d’ordre n

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TABLE DES MATIÈRES

PARTIE 1 : CHAPITRES 1 – 2
INTRODUCTION

ABSTRACT
PRINCIPAUX APPORTS DE LA VERSION 2 7
CHAPITRE 1 9
MATRICES SYMETRIQUES – MATRICES 2-SYMETRIQUES – MATRICES
BISYMETRIQUES 9
1.1. Matrices symétriques 9
1.2. Matrices 2-symétriques 10
1.3. Matrices bisymétriques 13
CHAPITRE 2 25
MATRICES BISYMETRIQUES COMMUTATIVES – ESPACE VECTORIEL BSC ((cid:1)) –
n
SOUS-ALGEBRE COMMUTATIVE BSC ((cid:1)) 25
n
2.1. Introduction 25
2.2. Matrices B , 1≤i≤n 26
ni
2.3. Définition de l’ensemble BSC ((cid:1)) 31
n
2.4. Schéma représentant les inclusions : BSC ((cid:1)) ⊆ BS ((cid:1)) ⊆ M ((cid:1)) 65
n n

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Version 2 Richard Riedel
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Sous-algèbre commutative définie dans l’ensemble des matrices bisymétriques d’ordre n

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PRINCIPAUX APPORTS DE LA VERSION 2

La démarche adoptée pour introduire l’ensemble BSC ((cid:1)), qui constitue la partie centrale de
n
cette étude, a été légèrement modifiée dans la présente Version 2, par rapport à la Version 1
d’origine. Cette approche nouvelle a pour objectif de fluidifier l’ensemble de l’exposé.

A cet égard, dans le Chapitre 2, les matrices B , 1≤i ≤ n, de la base canonique de BSC ((cid:1))
ni n
ont été définies d’emblée, avant toute définition de BSC ((cid:1)).
n

Dans le Chapitre 3 ont été introduites trois nouvelles définitions de BSC ((cid:1)) et une nouvelle
n
définition des matrices B , 1≤i≤n. Ces définitions apportent un éclairage nouveau sur
ni
certaines propriétés caractéristiques des matrices de BSC ((cid:1)).
n

Dans le Chapitre 4 apparaît maintenant la démonstration des Théorèmes 4-1 et 4-4. Dans la
Version 1, cette démonstration avait été renvoyée à une publication ultérieure.

Enfin, diverses erreurs typographiques (ne modifiant en rien le fond de l’exposé) ont été
corrigées.

Par ailleurs, pour une meilleure gestion de taille des fichiers, l’ensemble de cette étude a été
subdivisé en 4 Parties (et non plus en 2 Parties, comme précédemment). Le découpage réalisé
est le suivant :

1ère Partie : Chapitres 1-2
2ème Partie : Chapitres 3-4
3ème Partie : Chapitres 5-6
4ème Partie : Chapitres 7-Conclusion.

*
* *

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Version 2 Richard Riedel
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Sous-algèbre commutative définie dans l’ensemble des matrices bisymétriques d’ordre n

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CHAPITRE 1
Matrices symétriques – Matrices 2-symétriques – Matrices
bisymétriques

1.1. Matrices symétriques (Rappels de notions classiques).

Soit A = [a ] une matrice quelconque de M ((cid:1)).
ij n

 a a ... a a 
11 12 1n−1 1n
 
a a ... a a
 21 22 2n−1 2n 
A =  ... ... ... ... ... 
 
an−11 an−12 ... an−1n−1 an−1n
 
a a ... a a
 n1 n2 nn−1 nn 

Définition 1-1. On appelle matrice transposée de la matriceA , la matrice de M ((cid:1))
n
obtenue à partir de A par symétrie par rapport à sa 1ère diagonale (a , a , ... ,a , a ).
11 22 n−1n−1 nn
Elle est notéetA.

tA s’écrit donc :

 a a ... a a 
11 21 n−11 n1
 
a a ... a a
 12 22 n−12 n2 
tA =  ... ... ... ... ... 
 
a1n−1 a2n−1 ... an−1n−1 ann−1
 
a a ... a a
 1n 2n n−1n nn 

Définition 1-2. Une matrice carrée A de M ((cid:1)) est dite symétrique si et seulement si :
n
tA = A.

Définition 1-3. On note S ((cid:1)) l’ensemble des matrices symétriques d’ordre n à éléments
n
dans (cid:1).

n(n+1)
Théorème 1-4. S ((cid:1)) est un s.e.v. de M ((cid:1)) de dimension .
n n 2
Remarque :
Le produit de 2 matrices symétriques d’ordre supérieur à n ≥ 2 peut ne pas être symétrique.
0 1 1 0 0 0
Exemple :     =  .
1 0 0 0 1 0

Théorème 1-5. ∀(A,B)∈ (S ((cid:1)))2 : AB ∈ S ((cid:1)) ⇔ AB = BA.
n n
Autrement dit : le produit de 2 matrices symétriques est symétrique si et seulement si ce
produit est commutatif.

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